《四邊形面積二等分問題》課件

四邊形面積二等分問題四邊形面積二等分問題對(duì)于任意四邊形ABCD，如圖。MN

我們可以任作一條直線MN交四邊形的兩邊于M、N兩點(diǎn)，則直線MN把四邊形ABCD分成兩部分?，F(xiàn)在把直線MN向右平移細(xì)心的你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)：開始時(shí)是左邊的面積較小，后來是右邊的面積較小，在此過程中，必存在一個(gè)位置，直線MN移動(dòng)到此位置時(shí)，把四邊形ABCD分成面積相等的左、右兩部分。如何找到這個(gè)位置?請(qǐng)往下看。對(duì)于任意四邊形ABCD，如圖。MN我們可以任作一條直線如圖，已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。（1）連結(jié)AC;解：（3）取AC的中點(diǎn)E,（2）連結(jié)BD,（5）連結(jié)DF.則直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。BADCEF（4）作EF∥BD

交BC于點(diǎn)F；

●如圖，已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相連結(jié)BE、DE,交點(diǎn)為G;證明：S△ABE

=S△ACE

∴E

為AC的中點(diǎn),∵S△ADE

=S△DCE

∴S△ABE

+S△ADE

=S△ACE+S△DCE

EF∥BD∵∴S△BDF

=S△BDE

S△BGF=

S△DGE

∴∴S四邊形BADG+S四邊形BADG+S△BGF=

S△DGE

S五邊形BADEF=S四邊形DCFE=∴S四邊形ABCD=S五邊形BADEF=S四邊形BADFS四邊形ABCD∴∴直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。連結(jié)BE、DE,交點(diǎn)為G;證明：S△ABE=S△ACE

已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。

因?yàn)樗倪呅问侨我馑倪呅?，所以，我們不妨可以先考慮特殊四邊形，分三種情況:（1）對(duì)角線互相平分的四邊形，如圖（1）：

此時(shí)，由于四邊形是中心對(duì)稱圖形，所以，過對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線都可以把四邊形分成面積相等的兩部分已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成（2）一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，

四邊形ABCD中，P為AC的中點(diǎn)，Q為BD的中點(diǎn)，P、Q不重合。此時(shí)BD平分四邊形ABCD。如圖（2）：注意:左圖BD>AC,右圖BD<AC。（2）一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，四邊形AB在這兩個(gè)圖中，除了BD,CE、AF也都能平分四邊形ABCD.

現(xiàn)在的問題是：能不能過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)作直線，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分？在這兩個(gè)圖中，除了BD,CE、AF也都能平分四邊形ABCD.

答案是肯定的。過A、B、C、D、E、F肯定能做自不必說了。A、B、C、D、E、F之外呢？

過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)R求作直線RS，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。答案是肯定的。過A、B、C、D、E、F肯定能做自不必（1）（2）連結(jié)RC，作ES∥RC交CD于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RD，作BS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。此為R在E、B之間時(shí)，S必在C、D之間。（1）（2）連結(jié)RC，作ES∥RC交CD于S，連結(jié)RS，如圖（1）（2）

此為R在F、B之間時(shí)，S必在A、D之間。連結(jié)RD，作BS∥RD交AD于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RD，作BS∥RD交AD于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。（1）（2）此為R在F、B之間時(shí)，S必在A、D之間。（1）（2）

當(dāng)R在F、C之間時(shí)，S必在A、E之間。連結(jié)RA，作FS∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RE，作CS∥RE交AB于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。（1）（2）當(dāng)R在F、C之間時(shí)，S必在A、E之間。連

綜上所述，一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，過每一個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。這樣的直線共三條，這三條直線把四邊形的邊分成六條線段。過這六條線段中每條線段上的每一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。所以，過這樣的四邊形的邊上的任意一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。綜上所述，一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，過每

（3）對(duì)角線都不過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形如圖（3）：四邊形ABCD中，P為BD的中點(diǎn)，Q為AC的中點(diǎn)。（3）對(duì)角線都不過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形

由例題可知：過四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分，這樣的直線有四條。這四條直線把四邊形的邊分成八條線段，且每條直線都把原四邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)小四邊形。圖（3）中的AE、BF、CG、DH都能把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分

過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)R求作直線RS，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。由例題可知：過四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在B、H之間時(shí)，點(diǎn)S必在F、D之間，R從B移動(dòng)到H時(shí)，S從F移動(dòng)到D。連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在H、E之間時(shí)，點(diǎn)S必在D、A之間，R從H移動(dòng)到E時(shí)，S從D移動(dòng)到A。連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R連結(jié)RA，作ES∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在E、C之間時(shí)，點(diǎn)S必在A、G之間，R從E移動(dòng)到C時(shí)，S從A移動(dòng)到G。連結(jié)RA，作ES∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R連結(jié)RG，作CS∥RG交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在C、F之間時(shí)，點(diǎn)S必在G、B之間，R從C移動(dòng)到F時(shí)，S從G移動(dòng)到B。連結(jié)RG，作CS∥RG交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R

此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)線段CF和線段GB長度不一定相等，但兩條線段上的點(diǎn)卻存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這屬于數(shù)學(xué)中引進(jìn)無限的概念以后引發(fā)的一個(gè)新的悖論。這個(gè)問題有待于人們進(jìn)一步去研究，在這里就不討論了。

綜上所述沒有一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，過每一個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。這樣的直線共四條，這四條直線把四邊形的邊分成八條線段。過這八條線段中每條線段上的每一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。所以，過這樣的四邊形的邊上的任意一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)線段CF和線段GB長度不一定相等，

我要說明的是：過四邊形的邊上的任意一點(diǎn)都能作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。為了作出這樣的直線，只要先作出過頂點(diǎn)且能把四邊形面積二等分的四條直線及其與四邊形的邊的交點(diǎn)，弄明白這些交點(diǎn)把四邊形的邊分成了哪些線段，然后確定所給的任意點(diǎn)所在的線段，再就近構(gòu)造梯形，（這個(gè)梯形一定要以四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)與過這個(gè)頂點(diǎn)且能把四邊形面積二等分的直線與四邊形的邊的交點(diǎn)所連的線段為一條對(duì)角線，而所求作的直線就是過已知的任意點(diǎn)的梯形的另一條對(duì)角線所在的直線。）最后，畫出梯形的另一條對(duì)角線就是所求我要說明的是：過四邊形的邊上的任意一點(diǎn)都能作一條直線現(xiàn)在做個(gè)練習(xí)：如圖，已知任意五邊形ABCDE，求作直線AF，把五邊形ABCD分成面積相等的兩部分。現(xiàn)在做個(gè)練習(xí)：如圖，已知任意五邊形ABCDE，求作直線AF，解：如圖：取BE的中點(diǎn)O,連結(jié)AO;連結(jié)CE取CE的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作RS∥BD交BE于R交DE于S；連結(jié)DR；連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作MT∥CE交BC于M交BE于T，連結(jié)CT；連結(jié)OD,作RH∥OD交CD于H，連結(jié)OH；連結(jié)AH,作OF∥AH交CD于F,連結(jié)AF;則AF即為所求。解：如圖：取BE的中點(diǎn)O,連結(jié)AO;連結(jié)CE取CE的中點(diǎn)P，四邊形面積二等分問題四邊形面積二等分問題對(duì)于任意四邊形ABCD，如圖。MN

我們可以任作一條直線MN交四邊形的兩邊于M、N兩點(diǎn)，則直線MN把四邊形ABCD分成兩部分。現(xiàn)在把直線MN向右平移細(xì)心的你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)：開始時(shí)是左邊的面積較小，后來是右邊的面積較小，在此過程中，必存在一個(gè)位置，直線MN移動(dòng)到此位置時(shí)，把四邊形ABCD分成面積相等的左、右兩部分。如何找到這個(gè)位置?請(qǐng)往下看。對(duì)于任意四邊形ABCD，如圖。MN我們可以任作一條直線如圖，已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。（1）連結(jié)AC;解：（3）取AC的中點(diǎn)E,（2）連結(jié)BD,（5）連結(jié)DF.則直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。BADCEF（4）作EF∥BD

交BC于點(diǎn)F；

●如圖，已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相連結(jié)BE、DE,交點(diǎn)為G;證明：S△ABE

=S△ACE

∴E

為AC的中點(diǎn),∵S△ADE

=S△DCE

∴S△ABE

+S△ADE

=S△ACE+S△DCE

EF∥BD∵∴S△BDF

=S△BDE

S△BGF=

S△DGE

∴∴S四邊形BADG+S四邊形BADG+S△BGF=

S△DGE

S五邊形BADEF=S四邊形DCFE=∴S四邊形ABCD=S五邊形BADEF=S四邊形BADFS四邊形ABCD∴∴直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。連結(jié)BE、DE,交點(diǎn)為G;證明：S△ABE=S△ACE

已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。

因?yàn)樗倪呅问侨我馑倪呅?，所以，我們不妨可以先考慮特殊四邊形，分三種情況:（1）對(duì)角線互相平分的四邊形，如圖（1）：

此時(shí)，由于四邊形是中心對(duì)稱圖形，所以，過對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線都可以把四邊形分成面積相等的兩部分已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成（2）一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，

四邊形ABCD中，P為AC的中點(diǎn)，Q為BD的中點(diǎn)，P、Q不重合。此時(shí)BD平分四邊形ABCD。如圖（2）：注意:左圖BD>AC,右圖BD<AC。（2）一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，四邊形AB在這兩個(gè)圖中，除了BD,CE、AF也都能平分四邊形ABCD.

現(xiàn)在的問題是：能不能過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)作直線，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分？在這兩個(gè)圖中，除了BD,CE、AF也都能平分四邊形ABCD.

答案是肯定的。過A、B、C、D、E、F肯定能做自不必說了。A、B、C、D、E、F之外呢？

過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)R求作直線RS，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。答案是肯定的。過A、B、C、D、E、F肯定能做自不必（1）（2）連結(jié)RC，作ES∥RC交CD于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RD，作BS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。此為R在E、B之間時(shí)，S必在C、D之間。（1）（2）連結(jié)RC，作ES∥RC交CD于S，連結(jié)RS，如圖（1）（2）

此為R在F、B之間時(shí)，S必在A、D之間。連結(jié)RD，作BS∥RD交AD于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RD，作BS∥RD交AD于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。（1）（2）此為R在F、B之間時(shí)，S必在A、D之間。（1）（2）

當(dāng)R在F、C之間時(shí)，S必在A、E之間。連結(jié)RA，作FS∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RE，作CS∥RE交AB于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。（1）（2）當(dāng)R在F、C之間時(shí)，S必在A、E之間。連

綜上所述，一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，過每一個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。這樣的直線共三條，這三條直線把四邊形的邊分成六條線段。過這六條線段中每條線段上的每一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。所以，過這樣的四邊形的邊上的任意一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。綜上所述，一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，過每

（3）對(duì)角線都不過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形如圖（3）：四邊形ABCD中，P為BD的中點(diǎn)，Q為AC的中點(diǎn)。（3）對(duì)角線都不過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形

由例題可知：過四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分，這樣的直線有四條。這四條直線把四邊形的邊分成八條線段，且每條直線都把原四邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)小四邊形。圖（3）中的AE、BF、CG、DH都能把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分

過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)R求作直線RS，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。由例題可知：過四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在B、H之間時(shí)，點(diǎn)S必在F、D之間，R從B移動(dòng)到H時(shí)，S從F移動(dòng)到D。連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在H、E之間時(shí)，點(diǎn)S必在D、A之間，R從H移動(dòng)到E時(shí)，S從D移動(dòng)到A。連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R連結(jié)RA，作ES∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在E、C之間時(shí)，點(diǎn)S必在A、G之間，R從E移動(dòng)到C時(shí)，S從A移動(dòng)到G。連結(jié)RA，作ES∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R連結(jié)RG，作CS∥RG交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在C、F之間時(shí)，點(diǎn)S必在G、B之間，R從C移動(dòng)到F時(shí)，S從G移動(dòng)到B。連結(jié)RG，作CS∥RG交AB于S，連結(jié)RS，如圖（3）當(dāng)點(diǎn)R

此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)線段CF和線段GB長度不一定相等，但兩條線段上的點(diǎn)卻存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這屬于數(shù)學(xué)中引進(jìn)無限的概念以后引發(fā)的一個(gè)新的悖論。這個(gè)問題有待于人們進(jìn)一步去研究，在這里就不討論