典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件

第四節(jié)典型機(jī)械系統(tǒng)的建模

機(jī)械系統(tǒng)遍及工程技術(shù)和社會各個領(lǐng)域，除機(jī)械設(shè)備與裝置外，還是構(gòu)成其他復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)和基本環(huán)節(jié)，如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機(jī)構(gòu)、飛機(jī)舵面?zhèn)鲃友b置、導(dǎo)彈發(fā)射架、飛行模擬器的運(yùn)動平臺等。這些系統(tǒng)建模目標(biāo)多是建立選定參考坐標(biāo)系下的系統(tǒng)運(yùn)動方程和動力學(xué)方程，屬于“白箱”問題。因此，采用的建模方法不外乎是機(jī)理分析法或圖解法，對復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)還可能應(yīng)用辨識方法。在建模中，主要將利用牛頓力學(xué)定律、拉格朗日函數(shù)，并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。尤其拉格朗日方程的應(yīng)用是很重要的。

第四節(jié)典型機(jī)械系統(tǒng)的建模機(jī)械系統(tǒng)遍及工程1一、機(jī)械系統(tǒng)中的幾個重要力學(xué)模型1、空間任意力系的平衡方程由理論力學(xué)可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在三坐標(biāo)軸中每一軸上的投影和分別等于零，又這些力對于這些軸的力矩的代數(shù)和也分別等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為一、機(jī)械系統(tǒng)中的幾個重要力學(xué)模型2

2、牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式

牛頓第二定律告訴我們，物體受外力作用時，所獲得的加速度大小與合力大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為2、牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式牛頓第二定律告訴3典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件4例測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置

如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為m,由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點(diǎn)的中點(diǎn)的垂線上，假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度，然后釋放。求擺動周期T，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量J。例測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量5

假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度q時，夾角f和夾角q間存在下列關(guān)系因此假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度q6注意，每根繩索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分量為

mgΦ/2。兩根繩索的F的水平分量產(chǎn)生扭矩mgΦa使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運(yùn)動方程為或?qū)懗勺⒁?，每根繩索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分7由此求得擺動周期為得到轉(zhuǎn)動慣量J由此求得擺動周期為得到轉(zhuǎn)動慣量J83、能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程（1）功、能、功率如果力被認(rèn)為是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量就是做功的能力。功的概念沒有考慮時間的因素，就要引入功率的概念。

3、能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程（1）功、能、功率9功機(jī)械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩與角位移的乘積），力與距離要在同一方向上度量。設(shè)力F作用于a至b連接路徑中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)m上，那么F所作的功可一般描述為功機(jī)械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩與10能量一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機(jī)械系統(tǒng)中能有勢能和動能兩種形式。

功率是做功的速率，即：dW表示在dt時間間隔內(nèi)所作的功。能量一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機(jī)械系統(tǒng)中能有11（2）能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程的根本就是能量守恒定律。如果系統(tǒng)沒有能量輸入和輸出，我們從系統(tǒng)總能量保持相等這一事實出發(fā)來推導(dǎo)運(yùn)動方程。

（2）能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程的12例如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導(dǎo)出系統(tǒng)運(yùn)動方程。

例如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，它可以繞13圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為系統(tǒng)總能量為圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。14考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此，。并且注意到轉(zhuǎn)動慣量J等于，我們得到考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此，15考慮到能量守恒定律，總能量為常數(shù)，即總能量導(dǎo)數(shù)為零，得到注意到，并不總為0，因此必須恒等于0，即如果將以上方程轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)動運(yùn)動，只要把代入得到考慮到能量守恒定律，總能量為常數(shù)，即總能量164、拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）將

作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動由n個微分方程表示，其中廣義坐標(biāo)是因變量，時間為自變量。令

作為系統(tǒng)在任意瞬時的勢能；令作為系統(tǒng)在同一瞬時的動能；拉格朗日函數(shù)

定義為設(shè)廣義坐標(biāo)是獨(dú)立的，令是廣義坐標(biāo)的變分，非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標(biāo)上的虛功可以寫成拉格朗日方程為4、拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）將17應(yīng)用實例有一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示，試建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解:選擇y1，y2為廣義坐標(biāo)系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為應(yīng)用實例有一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示，試建立該系18典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件19應(yīng)用實例某行星滾動機(jī)構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為r的實心圓柱在半徑為R，質(zhì)量為M的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量分別為，建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。分析：該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標(biāo)分別為圓筒轉(zhuǎn)角θ和圓柱軸心偏離角。由于圓柱與圓筒間的運(yùn)動是無滑動滾動運(yùn)動，故在接觸點(diǎn)A處它們具有相同的線速度：。系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能應(yīng)用實例某行星滾動機(jī)構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為20系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零，則系統(tǒng)的勢能為于是有拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程有即為該行星滾動機(jī)構(gòu)的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零，則系統(tǒng)的勢能為于是有拉格21應(yīng)用實例用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程，用θ1、θ2和x作為廣義坐標(biāo)，以矩陣的形式寫出微分方程(不考慮重力場作用)。解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為系統(tǒng)在同一時刻的勢能為拉格朗日函數(shù)為利用拉格朗日方程可得應(yīng)用實例用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運(yùn)動的微分22典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件23第五節(jié)電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型電氣系統(tǒng)在工程中占有相當(dāng)重要的地位，使構(gòu)成一切現(xiàn)代系統(tǒng)的必備環(huán)節(jié)。該系統(tǒng)問題基本屬于白箱問題，其數(shù)學(xué)建模目標(biāo)也自然是很明確的。一、電路系統(tǒng)基本定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式1、基爾霍夫（柯?；舴颍┑谝欢桑弘妷憾?、基爾霍夫（柯希霍夫）第二定律：電流定律二、電子網(wǎng)絡(luò)的廣義拉格朗日方程及應(yīng)用若在電子網(wǎng)絡(luò)中選擇電荷量Qi作為廣義坐標(biāo)。這時和將分別為廣義速度和加速度。對于電子系統(tǒng)（具有S個線圈）的磁能(動能)可以表示為第五節(jié)電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型電氣系統(tǒng)在工程中占24系統(tǒng)的勢能一般是能源（電池、發(fā)電機(jī)等）和電容上儲存的電荷能量產(chǎn)生的。若E是電壓源，則施加給系統(tǒng)的能量為-EQ（Q為電源產(chǎn)生的電荷量）。這時，系統(tǒng)的總勢能為系統(tǒng)的廣義力包括來自上式的“保守力”和電阻產(chǎn)生的消散力。電流

流過Ri時所做的虛功為，總虛功為類似機(jī)械系統(tǒng)我們可得到單純電子網(wǎng)絡(luò)的拉格朗日方程系統(tǒng)的勢能一般是能源（電池、發(fā)電機(jī)等）和電容25實例1建立如圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解系統(tǒng)輸入量為u1，輸出量為u2；按照基爾霍夫定律，分別列出運(yùn)動方程消去中間變量i1，i2，整理得到系統(tǒng)方程實例1建立如圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解系統(tǒng)26實例2建立如圖所示系統(tǒng)的電子網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型解分析知，該系統(tǒng)具有兩個自由度（因為Q1=Q2+Q3）。其動能為（假定線圈間存在互感，并消去Q3）系統(tǒng)勢能為實例2建立如圖所示系統(tǒng)的電子網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型27系統(tǒng)的非保守力（消散力）為拉格朗日方程為總虛功為系統(tǒng)的非保守力（消散力）為拉格朗日方程為總虛功為28第四節(jié)典型機(jī)械系統(tǒng)的建模

機(jī)械系統(tǒng)遍及工程技術(shù)和社會各個領(lǐng)域，除機(jī)械設(shè)備與裝置外，還是構(gòu)成其他復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)和基本環(huán)節(jié)，如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機(jī)構(gòu)、飛機(jī)舵面?zhèn)鲃友b置、導(dǎo)彈發(fā)射架、飛行模擬器的運(yùn)動平臺等。這些系統(tǒng)建模目標(biāo)多是建立選定參考坐標(biāo)系下的系統(tǒng)運(yùn)動方程和動力學(xué)方程，屬于“白箱”問題。因此，采用的建模方法不外乎是機(jī)理分析法或圖解法，對復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)還可能應(yīng)用辨識方法。在建模中，主要將利用牛頓力學(xué)定律、拉格朗日函數(shù)，并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。尤其拉格朗日方程的應(yīng)用是很重要的。

第四節(jié)典型機(jī)械系統(tǒng)的建模機(jī)械系統(tǒng)遍及工程29一、機(jī)械系統(tǒng)中的幾個重要力學(xué)模型1、空間任意力系的平衡方程由理論力學(xué)可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在三坐標(biāo)軸中每一軸上的投影和分別等于零，又這些力對于這些軸的力矩的代數(shù)和也分別等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為一、機(jī)械系統(tǒng)中的幾個重要力學(xué)模型30

2、牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式

牛頓第二定律告訴我們，物體受外力作用時，所獲得的加速度大小與合力大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為2、牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式牛頓第二定律告訴31典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件32例測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置

如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為m,由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點(diǎn)的中點(diǎn)的垂線上，假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度，然后釋放。求擺動周期T，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量J。例測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量33

假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度q時，夾角f和夾角q間存在下列關(guān)系因此假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度q34注意，每根繩索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分量為

mgΦ/2。兩根繩索的F的水平分量產(chǎn)生扭矩mgΦa使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運(yùn)動方程為或?qū)懗勺⒁猓扛K索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分35由此求得擺動周期為得到轉(zhuǎn)動慣量J由此求得擺動周期為得到轉(zhuǎn)動慣量J363、能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程（1）功、能、功率如果力被認(rèn)為是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量就是做功的能力。功的概念沒有考慮時間的因素，就要引入功率的概念。

3、能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程（1）功、能、功率37功機(jī)械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩與角位移的乘積），力與距離要在同一方向上度量。設(shè)力F作用于a至b連接路徑中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)m上，那么F所作的功可一般描述為功機(jī)械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩與38能量一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機(jī)械系統(tǒng)中能有勢能和動能兩種形式。

功率是做功的速率，即：dW表示在dt時間間隔內(nèi)所作的功。能量一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機(jī)械系統(tǒng)中能有39（2）能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程的根本就是能量守恒定律。如果系統(tǒng)沒有能量輸入和輸出，我們從系統(tǒng)總能量保持相等這一事實出發(fā)來推導(dǎo)運(yùn)動方程。

（2）能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程的40例如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導(dǎo)出系統(tǒng)運(yùn)動方程。

例如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，它可以繞41圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為系統(tǒng)總能量為圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。42考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此，。并且注意到轉(zhuǎn)動慣量J等于，我們得到考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此，43考慮到能量守恒定律，總能量為常數(shù)，即總能量導(dǎo)數(shù)為零，得到注意到，并不總為0，因此必須恒等于0，即如果將以上方程轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)動運(yùn)動，只要把代入得到考慮到能量守恒定律，總能量為常數(shù)，即總能量444、拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）將

作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動由n個微分方程表示，其中廣義坐標(biāo)是因變量，時間為自變量。令

作為系統(tǒng)在任意瞬時的勢能；令作為系統(tǒng)在同一瞬時的動能；拉格朗日函數(shù)

定義為設(shè)廣義坐標(biāo)是獨(dú)立的，令是廣義坐標(biāo)的變分，非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標(biāo)上的虛功可以寫成拉格朗日方程為4、拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）將45應(yīng)用實例有一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示，試建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解:選擇y1，y2為廣義坐標(biāo)系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為應(yīng)用實例有一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示，試建立該系46典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件47應(yīng)用實例某行星滾動機(jī)構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為r的實心圓柱在半徑為R，質(zhì)量為M的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量分別為，建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。分析：該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標(biāo)分別為圓筒轉(zhuǎn)角θ和圓柱軸心偏離角。由于圓柱與圓筒間的運(yùn)動是無滑動滾動運(yùn)動，故在接觸點(diǎn)A處它們具有相同的線速度：。系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能應(yīng)用實例某行星滾動機(jī)構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為48系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零，則系統(tǒng)的勢能為于是有拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程有即為該行星滾動機(jī)構(gòu)的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零，則系統(tǒng)的勢能為于是有拉格49應(yīng)用實例用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程，用θ1、θ2和x作為廣義坐標(biāo)，以矩陣的形式寫出微分方程(不考慮重力場作用)。解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為系統(tǒng)在同一時刻的勢能為拉格朗日函數(shù)為利用拉格朗日方程可得應(yīng)用實例用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運(yùn)動的微分50典型機(jī)械系統(tǒng)的建模課件51第五節(jié)電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型電氣系統(tǒng)在工程中占有相當(dāng)重要的地位，使構(gòu)成一切現(xiàn)代系統(tǒng)的必備環(huán)節(jié)。該系統(tǒng)問題基本屬于白箱問題，其數(shù)學(xué)建模目標(biāo)也自然是很明確