福建省福鼎市高三數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》

6.3數(shù)學(xué)歸納法編輯ppt問題情境一

多米諾骨牌課件演示

編輯ppt1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件編輯ppt解:猜想數(shù)列的通項公式為驗證:同理得正整數(shù)無數(shù)個!對于數(shù)列｛｝，已知，（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？問題情境二編輯ppt多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題有相似性嗎？多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時，猜想成立根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。通項公式為的證明方法（2）若當(dāng)n=k時猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時猜想也成立，即。編輯ppt

上述事例啟發(fā)我們：在證明一個與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時，我們常采用下面兩個步驟來證明它們的正確性：（1）證明：當(dāng)n=1時命題成立;

數(shù)學(xué)歸納法（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法由（1），（2）可得命題對所有正整數(shù)n都成立。編輯ppt對于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項,并猜想其通項公式;同學(xué)們,你能驗證你的猜想是不是正確的呢?證明:(1)當(dāng)猜想成立。(2)那么,當(dāng)根據(jù)(1)和(2)，猜想對于任何都成立。猜想數(shù)列的通項公式為解：編輯ppt例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1,等式是成立的。

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，就是

那么，當(dāng)n=k

+1時，

這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立。因此,根據(jù)(1)和(2)可斷定,等式對于任何正整數(shù)n都成立。例題講解編輯ppt

證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，就是

那么當(dāng)n=k+1時這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由（1）和（2），可知的等式對任何都成立．練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明:

編輯ppt那么，當(dāng)n=k+1時－證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=20=1,右邊=21－1=1等式成立（2）假設(shè)n=k時，等式成立，即－即當(dāng)n=k+1時等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何都成立.錯誤原因：由證明n=k+1等式成立時沒有用到n=k命題成立的歸納假設(shè)編輯ppt例:欲用數(shù)學(xué)歸納法證明，試問n的第一個取值應(yīng)是多少?解：當(dāng)n=1時，2n=2,n2=1,2n>n2當(dāng)n=2時，2n=4,n2=4,2n=n2當(dāng)n=3時，2n=8,n2=9,2n<n2當(dāng)n=4時，2n=16,n2=16,2n=n2當(dāng)n=5時，2n=32,n2=25,2n>n2當(dāng)n=6時，2n=64,n2=36,2n>n2對n=1、2、3…，逐一嘗試,可知初始值為n=5.當(dāng)n≥5時，2n>n2(證明略)編輯ppt一、數(shù)學(xué)歸納法適用范圍:課堂小結(jié)二、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：

(1)證明：當(dāng)n取第一個值n0（例如n0

=1或2）結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉三、兩個注意：1、“二步驟一結(jié)論”缺一不可。2、第（2）步證明“假設(shè)n=k成立則n=k+1也成立”時一定要用到歸納假設(shè)。