第4章-數(shù)值積分剖析課件

第四章數(shù)值積分求得定積分1.插值型求積公式2.代數(shù)精度3.牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式4.梯形公式、辛卜生(Simpson)公式5.復(fù)化求積公式6.龍貝格公式(逐次分半加速法)。1/5/20231第四章數(shù)值積分求得定積分1.插值型求積公式12/11/204.0引言

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則有Newton-Leibnitz公式求得定積分N-L公式無(wú)論在理論上還是在解決實(shí)際問(wèn)題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的實(shí)際問(wèn)題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：1/5/202324.0引言求得定積分N-L公式無(wú)論在理論上還是在解決

(1)被積函數(shù)f(x)不一定能找到初等函數(shù)形式的原函數(shù)F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就無(wú)能為力了(2)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù)積分后其原函數(shù)F(x)為：1/5/20233

(1)被積函數(shù)f(x)不一定能找到初等函數(shù)形式的原函數(shù)F(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示。對(duì)于這些情況,要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見,通過(guò)原函數(shù)和N-L公式不能或很難解決所有的積分問(wèn)題,這時(shí)就需要用數(shù)值解法來(lái)建立積分的近似計(jì)算方法。將積分區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡(jiǎn)單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)f(x)進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。

1/5/20234(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式,其函數(shù)124.1數(shù)值積分概述4.1.1數(shù)值積分的基本思想

積分值在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如圖4-1所示，而這個(gè)面積之所以難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊y=f(x)圖4-1數(shù)值積分的幾何意義

1/5/202354.1數(shù)值積分概述圖4-1數(shù)值積分的幾何意義

建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有兩種：方法（1）由積分中值定理可知，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為的矩形面積。但是點(diǎn)ξ的具體位置一般是未知的,因而的值也是未知的,稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均高度。那么只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法1/5/20236建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有三個(gè)求積分公式①梯形公式y(tǒng)=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。例如分別取和則分別得到梯形公式和中矩形公式。y=f(x)abab1/5/20237三個(gè)求積分公式①梯形公式y(tǒng)=f(x)yxaby=f(y=f(x)yab(a+b)/2的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。

ab(a+b)/2梯形公式把f(a),f(b)的加權(quán)平均值作為平均高度中矩形公式把[a,b]的中點(diǎn)處函數(shù)值作為平均高度f(wàn)()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。

1/5/20238y=f(x)yab(a+b)/2的近似值而獲得的一種數(shù)值積分

一般情況下，只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法，具體方法如下：則：即：請(qǐng)大家注意的取法不唯一，其最重要形式為插值型系數(shù)函數(shù)值的線性組合1/5/20239一般情況下，只要對(duì)平均高度提供一種方法(2)先用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)近似f(x),用的積分,

近似函數(shù)f(x)的積分，即以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮,函數(shù)應(yīng)對(duì)f(x)有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其積分。多項(xiàng)式是十分理想的選擇，它能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計(jì)算積分,因此將選取為插值多項(xiàng)式,這樣f(x)的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來(lái)近似代替

1/5/202310方法(2)先用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)近似f(x),用設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)有函數(shù)值,作n次拉格朗日插值多項(xiàng)式式中多項(xiàng)式P(x)易于求積,所以可取作為的近似值，即4.1.2插值求積公式

1/5/202311設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)有函數(shù)值式其中

稱為求積系數(shù)。定義4.1求積公式稱為插值型求積公式。(4.1)函數(shù)值的線性組合1/5/202312其中稱為求積系數(shù)。定義4.1求積公式稱為插值型求積公式設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為,由插值余項(xiàng)定理得

其中

當(dāng)f(x)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式時(shí)，有=0,求積公式(4.1)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，所以一個(gè)求積公式能對(duì)多大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給出以下定義。1/5/202313設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為,由插值余項(xiàng)定理得其中當(dāng)f定義

（代數(shù)精度）

設(shè)求積公式（4.1）是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度（簡(jiǎn)稱代數(shù)精度）由定義可知，若求積公式（4.1）的代數(shù)精度為n，則求積系數(shù)應(yīng)滿足線性方程組：對(duì)于一切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式1/5/202314定義（代數(shù)精度）設(shè)求積公式（4.1）是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次這是關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)矩陣是范得蒙矩陣,當(dāng)互異時(shí)非奇異,故有唯一解。1/5/202315這是關(guān)于的定理4.1n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式為插值型求積公式的充要條件是公式至少具有n次代數(shù)精度。

證:必要性設(shè)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式為插值型求積公式,求積系數(shù)為

又

當(dāng)f(x)為不高于n次的多項(xiàng)式時(shí),f(x)=P(x),其余項(xiàng)R(f)=0。因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度。1/5/202316定理4.1n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式證:必要性設(shè)n+充分性

：若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對(duì)n次多項(xiàng)式精確成立,所以有,即求積公式為插值型求積公式1/5/202317充分性：若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,精確成立,所以有（1）兩個(gè)低階插值積分公式已知梯形公式1/5/202318（1）兩個(gè)低階插值積分公式已知梯形公式12/11/20221（2）拋物線公式或辛卜生(Simpson)公式已知1/5/202319（2）拋物線公式或辛卜生(Simpson)公式已知12/11例4.1設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取時(shí),分別用梯形和辛卜生公式

計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較。解:梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示：

1/5/202320例4.1設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取計(jì)算其

f(x)1xx2x3x4ex準(zhǔn)確值222.6746.406.389梯形公式計(jì)算值2248168.389辛卜生計(jì)算值222.6746.676.421

從表中可以看出,當(dāng)f(x)是時(shí),梯形公式、辛卜生公式精確成立。

1/5/202321f(x)

f(x)1xx2x3x4ex準(zhǔn)確值222.6746.406.389梯形公式計(jì)算值2248168.389辛卜生計(jì)算值222.6746.676.421從表中可以看出,當(dāng)f(x)是時(shí),辛卜生公式比梯形公式更精確

一般說(shuō)來(lái)，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有1次代數(shù)精度，辛卜生公式有3次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證×1/5/202322f(x)取f(x)=1時(shí)，

兩端相等取f(x)=x時(shí),取f(x)=x2時(shí),兩端不相等所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。兩端相等1/5/202323取f(x)=1時(shí)，兩端相等取f(x)=x時(shí),取f(x)例4.2試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式

解:要使公式具有2次代數(shù)精度,則對(duì)f(x)=1,x,x2求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。

解之得，

所求公式為：1/5/202324例4.2試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式解:要使例4.3試確定求積系數(shù)A,B,C使具有最高的代數(shù)精度解:分別取f(x)=1,x,x2使求積公式準(zhǔn)確成立,即得如下方程組。所得求積公式為：對(duì)于f(x)=1,x,x2,x3都準(zhǔn)確成立,對(duì)于f(x)=x4就不準(zhǔn)確了，所以此求積公式3次代數(shù)精度。1/5/202325例4.3試確定求積系數(shù)A,B,C使所得求積公式為：對(duì)于代入公式兩端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴(yán)格相等，再將f(x)=x4代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。由于n+1節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如插值求積公式有三個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有2次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)精度呢？1/5/202326代入公式可以驗(yàn)證,對(duì)于f(x)=1,x時(shí)公式兩端相等,再將f(x)=x2代入公式例4.4考察求積公式兩端不相等,所以該求積公式只具有1次代數(shù)精度.的代數(shù)精度三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度，但插值型的一定有2次代數(shù)精度。1/5/202327可以驗(yàn)證,對(duì)于f(x)=1,x時(shí)公式兩端相等,再將f例4.5給定求積公式如下：

試證此求積公式是插值型的求積公式。證:設(shè)分析：要證此求積公式是插值型的求積公式，只需證明求積系數(shù)為插值基函數(shù)的積分即可。三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，以此三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為1/5/202328例4.5給定求積公式如下：試證此求積公式是插值型的求積則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為1/5/202329則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為12/11/5/20233012/11/202230由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。插值型求積公式為1/5/202331由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。

例4.6求證不是插值型的證明:設(shè)x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為1/5/202332例4.6求證不是插值型的證明:設(shè)x0=-1,

1/5/20233312/11/202233

1/5/20233412/11/202234例4.7給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,A1,使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度解：令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2準(zhǔn)確成立，則有1/5/202335例4.7給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,解之得其代數(shù)精度至少為2。將f(x)=x3代入求積公式兩端相等,而將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等,所以其代數(shù)精度為3次。1/5/202336解之得其代數(shù)精度至少為2。將f(x)=x3代入求積公式兩端相例4.8確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度解：不妨設(shè)a=0,b=h,b-a=h,設(shè)所求公式的代數(shù)精度為2,則當(dāng)f(x)=1,x,x2時(shí)公式變成等式,即1/5/202337例4.8確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度解其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,兩端不等,說(shuō)明求積公式只有2次代數(shù)精度。解之得：1/5/202338其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,兩端不等,說(shuō)構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出Ak的值n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度求積系數(shù)之和可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性

1/5/202339構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：12/11/202239例4.9求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí),插值求積系數(shù)之和為1/5/202340例4.9求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí),插值求積系數(shù)之和

(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點(diǎn)xk(2)求出f(xk)及利用或解關(guān)于Ak的線性方程組求出Ak,得到(3)利用f(x)=xn,…驗(yàn)算代數(shù)精度

構(gòu)造插值求積公式的步驟1/5/202341(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點(diǎn)xk(3)利例4.10對(duì)構(gòu)造一個(gè)至少有3次代數(shù)精度的求積公式解:3次代數(shù)精度需4個(gè)節(jié)點(diǎn),在[0,3]上取0,1,2,3四個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式確定求積系數(shù)Ak(k=0,1,2,3),利用求積系數(shù)公式因?yàn)榍蠓e公式有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以至少具有3次代數(shù)精度，只需將f(x)=x4代入來(lái)驗(yàn)證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端不相等，所以只有3次代數(shù)精度1/5/202342例4.10對(duì)構(gòu)4.2牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式

在插值求積公式中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公式其中插值多項(xiàng)式求積系數(shù)這里是插值基函數(shù)。即有1/5/2023434.2牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式中為了計(jì)算系數(shù)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)點(diǎn)為1/5/202344為了計(jì)算系數(shù)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)為求分子，作變量代換當(dāng)時(shí),有,于是可得

求積節(jié)點(diǎn)為1/5/202345為求分子，作變量代換當(dāng)1/5/20234612/11/202246

(k=0,1…,n)

代入插值求積公式(4.1)有

稱為牛頓-柯特斯求積公式,Ck稱為柯特斯系數(shù)引進(jìn)記號(hào)則1/5/202347(k=0,1…,n)代入插值求積公式(4.1)有稱容易驗(yàn)證

∵

∴

顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a,b]以及被積函數(shù)f(x)的常數(shù),只要給出n,就可以算出柯特斯系數(shù).1/5/202348容易驗(yàn)證∵∴顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a,b]以譬如當(dāng)n=1時(shí),1/5/202349譬如當(dāng)n=1時(shí),12/11/202249當(dāng)n=2時(shí)

柯特斯系數(shù)有表供查。1/5/202350當(dāng)n=2時(shí)柯特斯系數(shù)有表供查。12/11/202250柯特斯系數(shù)P104表4-1給出了n從1～8的柯特斯系數(shù)。當(dāng)n=8時(shí)，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性，因此實(shí)用的只是低階公式。

1/5/202351柯特斯系數(shù)P104表4-1給出了n從1～8的柯特斯系數(shù)。當(dāng)Newton-Cotes公式下面分別考慮幾種特殊請(qǐng)況。1/5/202352Newton-Cotes公式下面分別考慮幾種特殊請(qǐng)況。12/幾個(gè)低階求積公式

在牛頓-柯特斯求積公式中n=1,2,4時(shí)，就分別得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)

梯形公式當(dāng)n=1時(shí)，牛頓-柯特斯公式就是梯形公式

定理4.2（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為1/5/202353幾個(gè)低階求積公式定理4.2（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在[證:由插值型求積公式的余項(xiàng)其中可知梯形公式的誤差為

由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不變號(hào),在[a,b]上連續(xù),根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的積分中值定理,在[a,b]上存在一點(diǎn)η，使因此

1/5/202354證:由插值型求積公式的余項(xiàng)由于(x-a)(x-b)在[a,b（2）辛卜生(Simpson)公式當(dāng)n=2時(shí)，牛頓-柯特斯公式就是辛卜生公式（或稱拋物線公式）

定理4.3（辛卜生公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為定理證明從略。

1/5/202355（2）辛卜生(Simpson)公式定理4.3（辛卜生公式的（3）柯特斯公式。當(dāng)n=4時(shí)，牛頓-柯特斯公式為

定理4.4（柯特斯公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為

定理的證明從略。

1/5/202356（3）柯特斯公式。定理4.4（柯特斯公式的誤差）設(shè)在[a例4.11分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分

的近似值(計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計(jì)算1/5/202357例4.11分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯(1)用例4.11分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分

的近似值(計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(2)用辛卜生公式1/5/202358例4.11分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯(2)用(3)用柯特斯公式計(jì)算，系數(shù)為

積分的準(zhǔn)確值為

可見，三個(gè)求積公式的精度逐漸提高。1/5/202359(3)用柯特斯公式計(jì)算，系數(shù)為積分的準(zhǔn)確值為可見，三例4.12用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分的近似值,并估計(jì)其誤差(計(jì)算結(jié)果取5位小數(shù))解:辛卜生公式辛卜生公式余項(xiàng)知其誤差為

1/5/202360例4.12用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分的近似值,并解:柯特斯公式

其誤差為

該定積分的準(zhǔn)確值,這個(gè)例子告訴我們，由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對(duì)被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。1/5/202361解:柯特斯公式其誤差為該定積分的準(zhǔn)確值4.1.5、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性一般地，求積公式稱為機(jī)械求積公式插值型求積公式的余項(xiàng)為1/5/2023624.1.5、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性一般地，求積公式稱為機(jī)械1/5/20236312/11/2022634.3復(fù)化求積公式

由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項(xiàng)可知，隨著求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，對(duì)應(yīng)公式的精度也會(huì)相應(yīng)提高。但由于n≥8時(shí)的牛頓—柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，當(dāng)積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時(shí)，可能導(dǎo)致舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)。因此不能用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法來(lái)提高計(jì)算精度。1/5/2023644.3復(fù)化求積公式12/11/202264復(fù)化求積公式的思想

在實(shí)際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果加起來(lái)得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想。常用的復(fù)化求積公式有復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生公式。

1/5/202365復(fù)化求積公式的思想12/11/2022654.3.1復(fù)化梯形公式及其誤差

將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)點(diǎn)為在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用梯形公式

求出積分值Ik,然后將它們累加求和,用作為所求積分I的近似值。1/5/2023664.3.1復(fù)化梯形公式及其誤差求出積分值Ik,然后將它們記

(4.5)(4.5)式稱為復(fù)化梯形公式。當(dāng)f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),在子區(qū)間上梯形公式的余項(xiàng)已知為在[a,b]上的余項(xiàng)1/5/202367記(4.5)(4.5)式稱為復(fù)化梯形公式。當(dāng)f(x)在設(shè)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在，使

因此,余項(xiàng)

復(fù)化梯形求積算法實(shí)現(xiàn)（1）復(fù)化梯形公式計(jì)算步驟①確定步長(zhǎng)h=(b-a)/N(N為等分?jǐn)?shù))②對(duì)k=1,2,…,N，計(jì)算T=T+f(a+kh)③T=hf(a)+2T+f(b)/21/5/202368設(shè)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在（2）復(fù)化梯形公式的流程圖

1/5/202369（2）復(fù)化梯形公式的流程圖12/11/2022694.3.2

復(fù)化辛卜生公式及其誤差將積分區(qū)間[a,b]劃分為2n等分,記子區(qū)間

的中點(diǎn)為在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用辛卜生公式，則有記

(4.6)稱為復(fù)化辛卜生公式1/5/2023704.3.2

復(fù)化辛卜生公式及其誤差記(

類似于復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的討論，復(fù)化辛卜生公式(4.6)的求積余項(xiàng)為

如果把每個(gè)子區(qū)間四等分,內(nèi)分點(diǎn)依次記同理可得復(fù)化柯特斯公式求積余項(xiàng)為

1/5/202371類似于復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的討論，復(fù)化辛卜生公式(4.1/5/20237212/11/202272

復(fù)化求積公式的余項(xiàng)表明，只要被積函數(shù)f(x)所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在[a,b]上連續(xù)，那么復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛卜生公式與復(fù)化柯特斯公式所得近似值的余項(xiàng)和步長(zhǎng)的關(guān)系依次為、因此，當(dāng)h→0(即n→∞)時(shí),都收斂于積分真值，且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。

1/5/202373復(fù)化求積公式的余項(xiàng)表明，只要被積函數(shù)f(x)所涉及復(fù)化辛卜生求積算法實(shí)現(xiàn)（1）復(fù)化辛卜生公式計(jì)算步驟①確定步長(zhǎng)h=(b-a)/N,S1=f(a+h/2),S2=0(N為等分?jǐn)?shù))②

對(duì)k=1,2,…,N-1，計(jì)算S1=S1+f(a+kh+h/2),S2=S2+f(a+kh)③S=

h

f(a)+4S1+2S2+f(b)/6

1/5/202374復(fù)化辛卜生求積算法實(shí)現(xiàn)12/11/202274（2）復(fù)化辛卜生公式流程圖

1/5/202375（2）復(fù)化辛卜生公式流程圖12/11/202275例4.13依次用n=8的復(fù)化梯形公式、n=4的復(fù)化辛卜生公式計(jì)算定積分解:首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,n=8時(shí)，

由復(fù)化梯形公式(4.5)可得如下計(jì)算公式：1/5/202376例4.13依次用n=8的復(fù)化梯形公式、n=4的復(fù)化解:首先由復(fù)化辛卜生公式(4.6)可得如下計(jì)算公式（積分準(zhǔn)確值I=0.9460831）

這兩種方法都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準(zhǔn)確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復(fù)化梯形法只有兩位有效數(shù)字(T8=0.9456909),而復(fù)化辛卜生法卻有六位有效數(shù)字。1/5/202377由復(fù)化辛卜生公式(4.6)可得如下計(jì)算公式（積分準(zhǔn)確值I=0例4.14用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分才能使誤差不超過(guò)解:取,則,又區(qū)間長(zhǎng)度b-a=1，對(duì)復(fù)化梯形公式有余項(xiàng)即,n≥212.85，取n=213，即將區(qū)間[0,1]分為213等份時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算誤差不超過(guò)

。

問(wèn)區(qū)間[0,1]應(yīng)分多少等份1/5/202378例4.14用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分解:取4.3.3誤差的事后估計(jì)與步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇

復(fù)化求積方法對(duì)于提高計(jì)算精度是行之有效的方法，但復(fù)化公式的一個(gè)主要缺點(diǎn)在于要先估計(jì)出步長(zhǎng)。若步長(zhǎng)太大，則難以保證計(jì)算精度，若步長(zhǎng)太小，則計(jì)算量太大，并且積累誤差也會(huì)增大。

在實(shí)際計(jì)算中通常采用變步長(zhǎng)的方法，即把步長(zhǎng)逐次分半，直至達(dá)到某種精度為止。

1/5/2023794.3.3誤差的事后估計(jì)與步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇在實(shí)際計(jì)算變步長(zhǎng)的梯形公式變步長(zhǎng)復(fù)化求積法的基本思想是在求積過(guò)程中，通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的不斷估計(jì)，逐步改變步長(zhǎng)（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給定的精度實(shí)現(xiàn)步長(zhǎng)的自動(dòng)選取。

1/5/202380變步長(zhǎng)的梯形公式12/11/202280

設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，即分成n個(gè)子區(qū)間，一共有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，即x=a+kh,k=0,1,…，n，步長(zhǎng)。對(duì)于某個(gè)子區(qū)間,利用梯形公式計(jì)算積分近似值有

對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]有1/5/202381設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，即分成n個(gè)子區(qū)間，一共將子區(qū)間再二等份,取其中點(diǎn)作新節(jié)點(diǎn),此時(shí)區(qū)間數(shù)增加了一倍為2n,對(duì)某個(gè)子區(qū)間,利用復(fù)化梯形公式計(jì)算其積分近似值。對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]有1/5/202382將子區(qū)間再二等份,取其中點(diǎn)對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]有比較和有(4.7)式稱為變步長(zhǎng)梯形公式1/5/202383對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]有比較和有(4.7)式當(dāng)把積分區(qū)間分成n等份，用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分I的近似值時(shí)，截?cái)嗾`差為

若把區(qū)間再分半為2n等份，計(jì)算出定積分的近似值，則截?cái)嗾`差為

當(dāng)在區(qū)間[a,b]上變化不大時(shí),有所以1/5/202384當(dāng)把積分區(qū)間分成n等份，用復(fù)化梯形若把區(qū)間再分半為2可見,當(dāng)步長(zhǎng)二分后誤差將減至,將上式移項(xiàng)整理，可得驗(yàn)后誤差估計(jì)式

就可以保證計(jì)算結(jié)果的誤差很小，就可作為積分值I的近似值。上式說(shuō)明，只要二等份前后兩個(gè)積分值和相當(dāng)接近，1/5/202385可見,當(dāng)步長(zhǎng)二分后誤差將減至,將就可以保證計(jì)

4.3.4變步長(zhǎng)的梯形求積算法實(shí)現(xiàn)（1）變步長(zhǎng)的梯形求積法的計(jì)算步驟①變步長(zhǎng)梯形求積法。它是以梯形求積公式為基礎(chǔ)，逐步減小步長(zhǎng)，按如下遞推公式求二分后的梯形值其中Tn和T2n分別代表二等分前后的積分值

②如果,(ε為給定的誤差限)則T2n作為積分的近似值,否則繼續(xù)進(jìn)行二等分,即轉(zhuǎn)①再計(jì)算，直到滿足所要求的精度為止，最終取二分后的積分值T2n作為所求的結(jié)果1/5/2023864.3.4變步長(zhǎng)的梯形求積算法實(shí)現(xiàn)其中Tn和T2n（2）變步長(zhǎng)梯形公式的流程圖

1/5/202387（2）變步長(zhǎng)梯形公式的流程圖12/11/202287例4.15用變步長(zhǎng)梯形求積法計(jì)算定積分解:先對(duì)整個(gè)區(qū)間0,1用梯形公式,對(duì)于

所以有然后將區(qū)間二等份,由于,故有

進(jìn)一步二分求積區(qū)間,并計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值

1/5/202388例4.15用變步長(zhǎng)梯形求積法計(jì)算定積分所以有然后將區(qū)間二有

這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果如P110列表所示。積分的準(zhǔn)確值為0.9460831，從表中可看出用變步長(zhǎng)二分10次可得此結(jié)果。

1/5/202389有這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果如P110列表所示。積分的準(zhǔn)確4.4龍貝格(Romberg)算法

變步長(zhǎng)梯形公式算法簡(jiǎn)單，精度可控制，但收斂速度較慢?？梢岳锰菪畏ㄋ惴ê?jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，形成一個(gè)新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公式又稱逐次分半加速法。

1/5/2023904.4龍貝格(Romberg)算法12/11/2022904.4龍貝格(Romberg)算法

根據(jù)積分區(qū)間分成n等份和2n等份時(shí)的梯形公式誤差估計(jì)式(4.8)可得

如果用對(duì)進(jìn)行修正，所以積分值I與的誤差大致等于將更接近積分真值,因此可得到具有更好效果的近似公式。1/5/2023914.4龍貝格(Romberg)算法如果用

(6.9)

下面考察與n等份辛卜生公式之間的關(guān)系細(xì)分梯形公式復(fù)化梯形公式將代入的表達(dá)式得

1/5/202392(6.9)下面考察與n等份辛卜生公式之間的關(guān)系復(fù)化梯形公式

細(xì)分梯形公式代入表達(dá)式得

這就是說(shuō)，用梯形法二分前后兩個(gè)積分值和作線性組合，結(jié)果卻得到了復(fù)化辛卜生計(jì)算公式。1/5/202393復(fù)化梯形公式細(xì)分梯形公式代入表達(dá)式類似以上作法，再考察辛卜生法的改進(jìn)。其截?cái)嗾`差與成正比，因此，如果將步長(zhǎng)折半，則誤差減至，即有

由此可得

可以驗(yàn)證,上式右端的值其實(shí)等于Cn，就是說(shuō)，用辛卜生公式二等份前后的兩個(gè)積分值Sn和S2n作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即有(4.11)

1/5/202394類似以上作法，再考察辛卜生法的改進(jìn)。其截?cái)嗾`差與成正用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進(jìn)一步導(dǎo)出龍貝格公式

(4.12)

在變步長(zhǎng)的過(guò)程中運(yùn)用(4.10)、(4.11)和(4.12)，就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn或者說(shuō)，將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式）。1/5/202395用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進(jìn)一步導(dǎo)出龍貝格公4.4.3龍貝格求積法算法實(shí)現(xiàn)（1）龍貝格求積法計(jì)算步驟用梯形公式計(jì)算積分近似值按變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分近似值將區(qū)間逐次分半,令區(qū)間長(zhǎng)度

計(jì)算③按加速公式求加速值梯形加速公式：辛卜生加速公式：

龍貝格求積公式：1/5/2023964.4.3龍貝格求積法算法實(shí)現(xiàn)計(jì)算③按加速公式求加速值④精度控制；直到相鄰兩次積分值

（其中ε為允許的誤差限）則終止計(jì)算并取Rn作為積分的近似值，否則將區(qū)間再對(duì)分，重復(fù)②，③，④的計(jì)算，直到滿足精度要求為止。(2)龍貝格求積法流程圖留給讀者(3)程序?qū)崿F(xiàn)1/5/202397④精度控制；直到相鄰兩次積分值（其中ε為允許的誤差限）例4.16用龍貝格算法計(jì)算定積分要求相鄰兩次龍貝格值的偏差不超過(guò)解:由題意

1/5/202398例4.16用龍貝格算法計(jì)算定積分12/11/2022981/5/20239912/11/202299由于，于是有

1/5/2023100由于，于是有12/11/204.6高斯（Gauss）型求積公式*4.6.1高斯積分問(wèn)題的提出在前面建立牛頓-柯特斯公式時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)插值公式中的節(jié)點(diǎn)限定為等分的節(jié)點(diǎn)，然后再定求積系數(shù)，這種方法雖然簡(jiǎn)便，但求積公式的精度受到限制。我們已經(jīng)知道，過(guò)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值形求積公式至少具有n次代數(shù)精度，我們不僅要問(wèn)，是否存在具有最高代數(shù)精度的求積公式呢？若有，最高代數(shù)精度能達(dá)到多少呢？讓我們先看一個(gè)例子：

1/5/20231014.6高斯（Gauss）型求積公式*12/11/2022（4.13）

的代數(shù)精度僅為1。但是,如果對(duì)式(4.13)中的系數(shù)和節(jié)點(diǎn)都不加限制，那么就可適當(dāng)選取和,使所得公式的代數(shù)精度。事實(shí)上，若要使求積公式(4.13)對(duì)函數(shù)都準(zhǔn)確成立，只要和滿足方程組在構(gòu)造形如

的兩點(diǎn)公式時(shí),如果限定求積節(jié)點(diǎn),那么所得插值求積公式1/5/2023102（4.13）的代數(shù)精度僅為1。但是,如果對(duì)式(4.13)中解之得

代入(4.13)即得

(4.14)可以驗(yàn)證，所得公式（6.14）是具有3次代數(shù)精度的插值型求積公式。這個(gè)例子告訴我們，只要適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn)，可使插值型求積公式的代數(shù)精度達(dá)到最高。這就是本節(jié)要介紹的高斯求積公式。1/5/2023103解之得代入(4.13)即得(4.14)可以驗(yàn)證，所得公式同理，對(duì)于一般的插值求積公式

（4.15）

只要適當(dāng)?shù)剡x取其2n+2個(gè)待定參數(shù)xk和,就可使它的代數(shù)精度達(dá)到2n+1次。

定義4.3若插值求積公式（4.15）具有2n+1次代數(shù)精度，則稱之為高斯求積公式，并稱相應(yīng)的求積節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)。

可以證明，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式具有最高不超過(guò)2n+1次的代數(shù)精度，這就是我們所要討論的具有最高代數(shù)精度的插值型求積公式。1/5/2023104同理，對(duì)于一般的插值求積公式（4.15）只要適4.6.2高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用像構(gòu)造兩點(diǎn)高斯求積公式(4.14)一樣,對(duì)于插值型求積公式(4.15),分別取用代定系數(shù)法來(lái)確定參數(shù)xk和從而構(gòu)造n+1個(gè)點(diǎn)高斯求積公式。但是，這種做法要解一個(gè)包含2n+2個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，其計(jì)算工作量是相當(dāng)大的。一個(gè)較簡(jiǎn)單的方法是：先利用區(qū)間a,b上的n+1次正交多項(xiàng)式確定高斯點(diǎn)(2)然后利用高斯點(diǎn)確定求積系數(shù)為簡(jiǎn)單起見,對(duì)求積公式(4.15)的求積區(qū)間a,b轉(zhuǎn)換成-1,1的形式，作變換1/5/20231054.6.2高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用12/11/20221就可將求積區(qū)間a,b變換到-1,1上，這時(shí)

即有

其中插值求積公式節(jié)點(diǎn)一經(jīng)確定，相應(yīng)的求積系數(shù)就確定了，因此關(guān)鍵在于確定節(jié)點(diǎn)。1/5/2023106就可將求積區(qū)間a,b變換到-1,1上，這時(shí)即有其定理4.5節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充要條件是：以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式

與任意次數(shù)不超過(guò)n的P(x)均正交

(4.16)

由定理4.5可知,如能找到滿足公式(4.16)的n+1次多項(xiàng)式,則求積公式的高斯點(diǎn)就確定了，進(jìn)而就可確定相應(yīng)的高斯求積公式。為此需要引入勒讓得（Legendre）多項(xiàng)式及其相關(guān)結(jié)論1/5/2023107定理4.5節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充要定義4.4一個(gè)僅以區(qū)間-1,1上的高斯點(diǎn)為零點(diǎn)的n+1次多項(xiàng)式稱為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式。

定理4.6若是高斯點(diǎn)，則以這些點(diǎn)為根的多項(xiàng)式是最高次冪系數(shù)為1的勒讓得多項(xiàng)式，即=其中

從定理可以看出,當(dāng)n給定,xk就確定了。P122表4-7給出當(dāng)積分區(qū)間是-1,1時(shí)，2個(gè)點(diǎn)至5個(gè)點(diǎn)的高斯求積公式的節(jié)點(diǎn)、系數(shù)和余項(xiàng),其中-1,1，需要時(shí)可以查用。

1/5/2023108定義4.4一個(gè)僅以區(qū)間-1,1上的高斯點(diǎn)定理4.6

nxk(n)Ak(n)Rn102±0.577350313±0.77459675/9=0.555555608/9=0.88888894±0.86113630.3478548

±0.33998100.65214525±0.90617990.2369269

±0.53846930.478628700.5688889

Gauss-

Legendre

點(diǎn)及系數(shù)表1/5/2023109Gauss-Legendre點(diǎn)及系數(shù)表12/例4.17利用三點(diǎn)高斯求積公式計(jì)算

的近似值。

解:由表4-6可知，得到三點(diǎn)高斯型求積公式為由所求公式得高斯求積公式是高精度求積公式，其求積系數(shù)，,求積公式也是數(shù)值穩(wěn)定的。1/5/2023110例4.17利用三點(diǎn)高斯求積公式計(jì)算由所求公式得高斯求積但它明顯的缺點(diǎn)是當(dāng)n改變時(shí)，系數(shù)和節(jié)點(diǎn)幾乎都在改變，因而應(yīng)用起來(lái)十分不便。同時(shí)其余項(xiàng)涉及高階導(dǎo)數(shù)，要利用它們來(lái)控制精度也十分困難，因此在實(shí)際計(jì)算中較多采用復(fù)合求積的方法。譬如，先把積分區(qū)間a,b分成m個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間,然后在每個(gè)小區(qū)間上使用同一低階（如兩點(diǎn)的、三點(diǎn)的…）高斯型求積公式算出積分的近似值，將它們相加即得積分的近似值。

1/5/2023111但它明顯的缺點(diǎn)是當(dāng)n改變時(shí)，系數(shù)和節(jié)點(diǎn)幾乎都在改變，因而應(yīng)用§6數(shù)值微分一、中點(diǎn)方法與誤差分析1/5/2023112§6數(shù)值微分一、中點(diǎn)方法與誤差分析12/11/20221中點(diǎn)公式的誤差1/5/2023113中點(diǎn)公式的誤差12/11/20221131/5/202311412/11/2022114二、插值型的求導(dǎo)公式這樣得到的求導(dǎo)公式統(tǒng)稱為插值型的求導(dǎo)公式1/5/2023115二、插值型的求導(dǎo)公式這樣得到的求導(dǎo)公式統(tǒng)稱為插值型的求導(dǎo)公式二、插值型的求導(dǎo)公式1/5/2023116二、插值型的求導(dǎo)公式12/11/20221161/5/202311712/11/20221171/5/202311812/11/20221181/5/202311912/11/2022119三、利用數(shù)值積分求導(dǎo)1/5/2023120三、利用數(shù)值積分求導(dǎo)12/11/20221201/5/202312112/11/20221211/5/202312212/11/2022122四、利用三次樣條求導(dǎo)1/5/2023123四、利用三次樣條求導(dǎo)12/11/2022123五、利用外推方法求數(shù)值微分(Richardson)以上兩式相減，除2h得1/5/2023124五、利用外推方法求數(shù)值微分(Richardson)以上兩式相五、利用外推方法求數(shù)值微分以上兩式消去得1/5/2023125五、利用外推方法求數(shù)值微分以上兩式消去得12/11/解：只有兩位有效數(shù)字就有四位有效數(shù)字1/5/2023126解：只有兩位有效數(shù)字就有四位有效數(shù)字12/11/202212本章小結(jié)本章介紹了積分的數(shù)值計(jì)算方法，其基本原理主要是逼近論，即設(shè)法構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)近似表示f(x)，然后對(duì)P(x)求積或求導(dǎo)得到f(x)的積分或微分?；诓逯翟?，推導(dǎo)了數(shù)值積分的基本公式。

插值型求積公式介紹了牛頓─柯特斯公式和高斯公式兩類。前者取等距節(jié)點(diǎn)，算法簡(jiǎn)單而容易編制程序。但是，由于在n≥8時(shí)出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性。因此實(shí)用的只是低階公式。解決長(zhǎng)區(qū)間與低階公式的矛盾是使用復(fù)化求積公式，

1/5/2023127本章小結(jié)本章介紹了積分的數(shù)值計(jì)算方法，其基本原理主要因此，常用的數(shù)值積分法都是復(fù)化求積公式。高斯公式不但具有最高代數(shù)精度，而且收斂性和穩(wěn)定性都有保證，因此是高精度的求積公式。高斯公式還可以通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)，用于計(jì)算奇異積分和廣義積分，也可使一些復(fù)雜的積分計(jì)算簡(jiǎn)化。高斯公式的主要缺點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)與系數(shù)無(wú)規(guī)律。所以高階高斯公式不便于上機(jī)使用。實(shí)際應(yīng)用中可以把低階高斯公式進(jìn)行復(fù)化。

1/5/2023128因此，常用的數(shù)值積分法都是復(fù)化求積公式。高斯公式不但龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過(guò)程中，對(duì)用梯形法所獲得的近似值進(jìn)行多級(jí)“加工”，從而獲得高精度的積分近似值的一種方法。它具有自動(dòng)選取步長(zhǎng)且精度高，計(jì)算量小的特點(diǎn)，便于在計(jì)算機(jī)上使用。是數(shù)值積分中較好的方法，必須熟練地掌握。建立在代數(shù)精度概念上的待定系數(shù)法也是數(shù)值積分中的一般方法，按待定系數(shù)法確定的數(shù)值積分公式?jīng)]有誤差估計(jì)式，只能從代數(shù)精度出發(fā)，估計(jì)其精確程度。

1/5/2023129龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過(guò)程中，對(duì)用梯形法所獲得的Thankyouverymuch!1/5/2023130Thankyouverymuch!12/11/2022作業(yè)習(xí)題

1(1)(3),2(1),6,8(1),181/5/2023131作業(yè)12/11/2022131第四章數(shù)值積分求得定積分1.插值型求積公式2.代數(shù)精度3.牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式4.梯形公式、辛卜生(Simpson)公式5.復(fù)化求積公式6.龍貝格公式(逐次分半加速法)。1/5/2023132第四章數(shù)值積分求得定積分1.插值型求積公式12/11/204.0引言

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則有Newton-Leibnitz公式求得定積分N-L公式無(wú)論在理論上還是在解決實(shí)際問(wèn)題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的實(shí)際問(wèn)題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：1/5/20231334.0引言求得定積分N-L公式無(wú)論在理論上還是在解決

(1)被積函數(shù)f(x)不一定能找到初等函數(shù)形式的原函數(shù)F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就無(wú)能為力了(2)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù)積分后其原函數(shù)F(x)為：1/5/2023134

(1)被積函數(shù)f(x)不一定能找到初等函數(shù)形式的原函數(shù)F(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示。對(duì)于這些情況,要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見,通過(guò)原函數(shù)和N-L公式不能或很難解決所有的積分問(wèn)題,這時(shí)就需要用數(shù)值解法來(lái)建立積分的近似計(jì)算方法。將積分區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡(jiǎn)單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)f(x)進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。

1/5/2023135(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式,其函數(shù)124.1數(shù)值積分概述4.1.1數(shù)值積分的基本思想

積分值在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如圖4-1所示，而這個(gè)面積之所以難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊y=f(x)圖4-1數(shù)值積分的幾何意義

1/5/20231364.1數(shù)值積分概述圖4-1數(shù)值積分的幾何意義

建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有兩種：方法（1）由積分中值定理可知，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為的矩形面積。但是點(diǎn)ξ的具體位置一般是未知的,因而的值也是未知的,稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均高度。那么只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法1/5/2023137建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有三個(gè)求積分公式①梯形公式y(tǒng)=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。例如分別取和則分別得到梯形公式和中矩形公式。y=f(x)abab1/5/2023138三個(gè)求積分公式①梯形公式y(tǒng)=f(x)yxaby=f(y=f(x)yab(a+b)/2的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。

ab(a+b)/2梯形公式把f(a),f(b)的加權(quán)平均值作為平均高度中矩形公式把[a,b]的中點(diǎn)處函數(shù)值作為平均高度f(wàn)()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。

1/5/2023139y=f(x)yab(a+b)/2的近似值而獲得的一種數(shù)值積分

一般情況下，只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法，具體方法如下：則：即：請(qǐng)大家注意的取法不唯一，其最重要形式為插值型系數(shù)函數(shù)值的線性組合1/5/2023140一般情況下，只要對(duì)平均高度提供一種方法(2)先用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)近似f(x),用的積分,

近似函數(shù)f(x)的積分，即以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮,函數(shù)應(yīng)對(duì)f(x)有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其積分。多項(xiàng)式是十分理想的選擇，它能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計(jì)算積分,因此將選取為插值多項(xiàng)式,這樣f(x)的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來(lái)近似代替

1/5/2023141方法(2)先用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)近似f(x),用設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)有函數(shù)值,作n次拉格朗日插值多項(xiàng)式式中多項(xiàng)式P(x)易于求積,所以可取作為的近似值，即4.1.2插值求積公式

1/5/2023142設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)有函數(shù)值式其中

稱為求積系數(shù)。定義4.1求積公式稱為插值型求積公式。(4.1)函數(shù)值的線性組合1/5/2023143其中稱為求積系數(shù)。定義4.1求積公式稱為插值型求積公式設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為,由插值余項(xiàng)定理得

其中

當(dāng)f(x)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式時(shí)，有=0,求積公式(4.1)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，所以一個(gè)求積公式能對(duì)多大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給出以下定義。1/5/2023144設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為,由插值余項(xiàng)定理得其中當(dāng)f定義

（代數(shù)精度）

設(shè)求積公式（4.1）是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度（簡(jiǎn)稱代數(shù)精度）由定義可知，若求積公式（4.1）的代數(shù)精度為n，則求積系數(shù)應(yīng)滿足線性方程組：對(duì)于一切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式1/5/2023145定義（代數(shù)精度）設(shè)求積公式（4.1）是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次這是關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)矩陣是范得蒙矩陣,當(dāng)互異時(shí)非奇異,故有唯一解。1/5/2023146這是關(guān)于的定理4.1n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式為插值型求積公式的充要條件是公式至少具有n次代數(shù)精度。

證:必要性設(shè)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式為插值型求積公式,求積系數(shù)為

又

當(dāng)f(x)為不高于n次的多項(xiàng)式時(shí),f(x)=P(x),其余項(xiàng)R(f)=0。因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度。1/5/2023147定理4.1n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式證:必要性設(shè)n+充分性

：若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對(duì)n次多項(xiàng)式精確成立,所以有,即求積公式為插值型求積公式1/5/2023148充分性：若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,精確成立,所以有（1）兩個(gè)低階插值積分公式已知梯形公式1/5/2023149（1）兩個(gè)低階插值積分公式已知梯形公式12/11/20221（2）拋物線公式或辛卜生(Simpson)公式已知1/5/2023150（2）拋物線公式或辛卜生(Simpson)公式已知12/11例4.1設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取時(shí),分別用梯形和辛卜生公式

計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較。解:梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示：

1/5/2023151例4.1設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取計(jì)算其

f(x)1xx2x3x4ex準(zhǔn)確值222.6746.406.389梯形公式計(jì)算值2248168.389辛卜生計(jì)算值222.6746.676.421

從表中可以看出,當(dāng)f(x)是時(shí),梯形公式、辛卜生公式精確成立。

1/5/2023152f(x)

f(x)1xx2x3x4ex準(zhǔn)確值222.6746.406.389梯形公式計(jì)算值2248168.389辛卜生計(jì)算值222.6746.676.421從表中可以看出,當(dāng)f(x)是時(shí),辛卜生公式比梯形公式更精確

一般說(shuō)來(lái)，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有1次代數(shù)精度，辛卜生公式有3次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證×1/5/2023153f(x)取f(x)=1時(shí)，

兩端相等取f(x)=x時(shí),取f(x)=x2時(shí),兩端不相等所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。兩端相等1/5/2023154取f(x)=1時(shí)，兩端相等取f(x)=x時(shí),取f(x)例4.2試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式

解:要使公式具有2次代數(shù)精度,則對(duì)f(x)=1,x,x2求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。

解之得，

所求公式為：1/5/2023155例4.2試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式解:要使例4.3試確定求積系數(shù)A,B,C使具有最高的代數(shù)精度解:分別取f(x)=1,x,x2使求積公式準(zhǔn)確成立,即得如下方程組。所得求積公式為：對(duì)于f(x)=1,x,x2,x3都準(zhǔn)確成立,對(duì)于f(x)=x4就不準(zhǔn)確了，所以此求積公式3次代數(shù)精度。1/5/2023156例4.3試確定求積系數(shù)A,B,C使所得求積公式為：對(duì)于代入公式兩端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴(yán)格相等，再將f(x)=x4代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。由于n+1節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如插值求積公式有三個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有2次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)精度呢？1/5/2023157代入公式可以驗(yàn)證,對(duì)于f(x)=1,x時(shí)公式兩端相等,再將f(x)=x2代入公式例4.4考察求積公式兩端不相等,所以該求積公式只具有1次代數(shù)精度.的代數(shù)精度三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度，但插值型的一定有2次代數(shù)精度。1/5/2023158可以驗(yàn)證,對(duì)于f(x)=1,x時(shí)公式兩端相等,再將f例4.5給定求積公式如下：

試證此求積公式是插值型的求積公式。證:設(shè)分析：要證此求積公式是插值型的求積公式，只需證明求積系數(shù)為插值基函數(shù)的積分即可。三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，以此三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為1/5/2023159例4.5給定求積公式如下：試證此求積公式是插值型的求積則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為1/5/2023160則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為12/11/5/202316112/11/202230由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。插值型求積公式為1/5/2023162由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。

例4.6求證不是插值型的證明:設(shè)x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為1/5/2023163例4.6求證不是插值型的證明:設(shè)x0=-1,

1/5/202316412/11/202233

1/5/202316512/11/202234例4.7給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,A1,使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度解：令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2準(zhǔn)確成立，則有1/5/2023166例4.7給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,解之得其代數(shù)精度至少為2。將f(x)=x3代入求積公式兩端相等,而將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等,所以其代數(shù)精度為3次。1/5/2023167解之得其代數(shù)精度至少為2。將f(x)=x3代入求積公式兩端相例4.8確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度解：不妨設(shè)a=0,b=h,b-a=h,設(shè)所求公式的代數(shù)精度為2,則當(dāng)f(x)=1,x,x2時(shí)公式變成等式,即1/5/2023168例4.8確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度解其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,兩端不等,說(shuō)明求積公式只有2次代數(shù)精度。解之得：1/5/2023169其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,兩端不等,說(shuō)構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出Ak的值n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度求積系數(shù)之和可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性

1/5/2023170構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：12/11/202239例4.9求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí),插值求積系數(shù)之和為1/5/2023171例4.9求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí),插值求積系數(shù)之和

(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點(diǎn)xk(2)求出f(xk)及利用或解關(guān)于Ak的線性方程組求出Ak,得到(3)利用f(x)=xn,…驗(yàn)算代數(shù)精度

構(gòu)造插值求積公式的步驟1/5/2023172(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點(diǎn)xk(3)利例4.10對(duì)構(gòu)造一個(gè)至少有3次代數(shù)精度的求積公式解:3次代數(shù)精度需4個(gè)節(jié)點(diǎn),在[0,3]上取0,1,2,3四個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式確定求積系數(shù)Ak(k=0,1,2,3),利用求積系數(shù)公式因?yàn)榍蠓e公式有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以至少具有3次代數(shù)精度，只需將f(x)=x4代入來(lái)驗(yàn)證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端不相等，所以只有3次代數(shù)精度1/5/2023173例4.10對(duì)構(gòu)4.2牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式

在插值求積公式中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公式其中插值多項(xiàng)式求積系數(shù)這里是插值基函數(shù)。即有1/5/20231744.2牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式中為了計(jì)算系數(shù)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)點(diǎn)為1/5/2023175為了計(jì)算系數(shù)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)為求分子，作變量代換當(dāng)時(shí),有,于是可得

求積節(jié)點(diǎn)為1/5/2023176為求分子，作變量代換當(dāng)1/5/202317712/11/202246

(k=0,1…,n)

代入插值求積公式(4.1)有

稱為牛頓-柯特斯求積公式,Ck稱為柯特斯系數(shù)引進(jìn)記號(hào)則1/5/2023178(k=0,1…,n)代入插值求積公式(4.1)有稱容易驗(yàn)證

∵

∴

顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a