2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版（魯京遼）講義：第一章 立體幾何初步1.1.7

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1.7柱、錐、臺和球的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解祖暅原理的內(nèi)容。2。了解柱、錐、臺體的體積公式的推導(dǎo).3。掌握柱、錐、臺和球的體積公式．知識點一祖暅原理思考取一摞紙張堆放在桌面上(如圖所示），并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從這個事實中你得到什么啟發(fā)？答案體積沒有發(fā)生變化，從這個事實中能夠猜測出兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．梳理祖暅原理的含義及應(yīng)用（1)內(nèi)容：冪勢既同,則積不容異．（2）含義：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．(3）應(yīng)用:等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等．知識點二柱、錐、臺、球的體積公式名稱體積（V）柱體棱柱V＝Sh圓柱V＝πr2h錐體棱錐V＝eq\f（1,3)Sh圓錐V＝eq\f（1，3）πr2h臺體棱臺V＝eq\f(1，3）h(S＋eq\r(SS′\o(\s\up7（）,\s\do5（)）)＋S′)圓臺V＝eq\f(1,3）πh(r2＋rr′＋r′2)球V＝eq\f（4,3）πR3其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面的半徑,R表示球的半徑．1．錐體的體積等于底面面積與高之積．(×）2．臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．(√)3．兩個球的半徑之比為1∶2,則其體積之比為1∶4.（×）類型一柱體、錐體、臺體的體積例1（1)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為____________．答案eq\f（\r（3)，12)解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積,三棱錐A－B1BC1的高為eq\f（\r(3），2)，底面積為eq\f（1,2）,故其體積為eq\f(1，3）×eq\f（1,2)×eq\f(\r（3)，2）＝eq\f（\r(3），12)。(2）如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．解設(shè)AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝eq\f(1，3）CD·S△A′D′D＝eq\f（1，3)a·eq\f(1，2）bc＝eq\f(1，6)abc,∴剩余部分的體積為VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－eq\f(1,6）abc＝eq\f(5，6）abc，∴棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.反思與感悟（1）常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積．(2)求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺體的體積的計算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．跟蹤訓(xùn)練1已知一個三棱臺上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形,側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積．解如圖,在三棱臺ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分別為O′，O,BC,B′C′的中點分別為D，D′，則DD′是梯形BCC′B′的高．所以S側(cè)＝3×eq\f(1,2）×（20＋30）×DD′＝75DD′。又因為A′B′＝20cm,AB＝30cm，則上、下底面面積之和為S上＋S下＝eq\f（\r(3),4）×（202＋302)＝325eq\r（3)（cm2）．由S側(cè)＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r（3)，所以DD′＝eq\f(13\r（3)，3）（cm），O′D′＝eq\f（\r(3)，6）×20＝eq\f(10\r（3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3）,6）×30＝5eq\r（3)（cm)，所以棱臺的高h＝O′O＝eq\r（D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(13\r(3),3））)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r（3)－\f（10\r（3）,3)））2）＝4eq\r(3)（cm)．由棱臺的體積公式,可得棱臺的體積為V＝eq\f(h,3)（S上＋S下＋eq\r(S上·S下））＝eq\f(4\r(3）,3)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),4)×202＋\f（\r(3)，4)×302＋\f（\r(3)，4)×20×30))＝1900（cm3）．類型二球的體積例2（1）如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()A.eq\f（500π,3)cm3 B。eq\f（866π，3）cm3C。eq\f（1372π,3)cm3 D。eq\f(2048π,3)cm3答案A解析作出該球軸的截面如圖所示，依題意BE＝2，AE＝CE＝4，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因為AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3,故該球的半徑AD＝5，所以V＝eq\f(4，3)πR3＝eq\f（500π，3）(cm3)．(2）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a,a，其頂點都在一個球面上，則該球的體積為________．答案eq\r(6)a3解析長方體的體對角線是其外接球的直徑，由長方體的體對角線為eq\r（2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6）a，得球的半徑為eq\f(\r(6），2)a，V＝eq\f（4，3）πeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(6),2)a））3＝eq\r(6）a3。反思與感悟（1）求球的體積，關(guān)鍵是求球的半徑R。（2）球與其他幾何體組合的問題，往往需要作截面來解決，所作的截面盡可能過球心、切點、接點等．跟蹤訓(xùn)練2（1)一平面截一球得到直徑為2eq\r（5）cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是（）A．12πcm3 B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3 D．108πcm3答案B解析設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示．在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r（5)cm，OO1＝2cm，∴球的半徑R＝OA＝eq\r(22＋\r（5)2)＝3（cm)，∴球的體積V＝eq\f（4,3)×π×33＝36π(cm3)．(2）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A．πa2 B.eq\f（7,3）πa2C.eq\f(11,3）πa2 D．5πa2答案B解析由題意知，該三棱柱為正三棱柱,且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心,易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f（\r（3),2)a＝eq\f（\r（3)，3）a，OP＝eq\f（1,2）a，所以球的半徑R滿足R2＝OA2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(3）,3)a）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)a))2＝eq\f(7，12)a2,故S球＝4πR2＝eq\f(7，3）πa2.類型三幾何體體積的求法命題角度1等體積法例3如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為________．答案eq\f（1，6)解析＝eq\f（1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f（1，6)。反思與感悟(1）利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高,從而求出幾何體的體積．（2）利用等體積法可求點到平面的距離．跟蹤訓(xùn)練3解在三棱錐A1－ABD中，AA1⊥平面ABD,AB＝AD＝AA1＝a,A1B＝BD＝A1D＝eq\r（2)a，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2）a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×eq\r（2)a×eq\f(\r(3），2)·eq\r(2）a·d，∴d＝eq\f（\r(3）,3）a.命題角度2割補法例4如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形,EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積．解如圖，連接EB，EC。四棱錐E－ABCD的體積V四棱錐E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝eq\f（1，2）V三棱錐C－ABE＝eq\f(1，2）V三棱錐E－ABC＝eq\f(1,2）×eq\f（1，2)V四棱錐E－ABCD＝4?！喽嗝骟w的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.反思與感悟當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，無法直接運用體積公式求解,這時一般通過分割與補形，將原幾何體分割或補形成較易計算體積的幾何體,從而求出原幾何體的體積．跟蹤訓(xùn)練4如圖,一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截,截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3,求該幾何體的體積．解用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱,如圖,則圓柱的體積為π×22×5＝20π,故所求幾何體的體積為10π。1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形（如圖），則三棱錐B1—ABC的體積為()A。eq\f(1，4)B。eq\f（1,2)C。eq\f（\r(3），6)D。eq\f(\r（3),4）答案D解析V＝eq\f(1，3）Sh＝eq\f（1，3）×eq\f（\r（3）,4）×3＝eq\f(\r（3)，4）.2．若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為(）A．1B．2C．3D．4考點柱體、錐體、臺體的表面積與體積題點與球有關(guān)的體積、表面積問題答案A解析設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R＞r)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(4,3)πR3＋\f（4,3）πr3＝12π，，2πR＋2πr＝6π,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(R＝2，,r＝1，))∴R－r＝1.3．現(xiàn)有一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm,高為20cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中．當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降（)A．0。6cmB．0.15cmC．1.2cmD．0.3cm答案A解析設(shè)杯里的水下降hcm，由題意知πeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(20,2）））2h＝eq\f(1,3）×20×π×32，解得h＝0.6cm。4．圓錐的軸截面是等腰直角三角形,側(cè)面積是16eq\r（2)π，則圓錐的體積是(）A.eq\f（64π，3）B.eq\f（128π，3）C．64πD．128eq\r（2）π答案A解析設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r.由題意知,l＝eq\r(2）r，①S側(cè)＝πrl＝16eq\r（2)π，②由①②可得r＝4,l＝4eq\r（2），V圓錐＝eq\f（1,3)πr2h＝eq\f（π,3)r2eq\r(l2－r2)＝eq\f（64，3)π。5．設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(5）,那么它的體積為________．答案eq\r(3）解析依題意得正六棱錐的高為eq\r（5－12)＝2，所以V＝eq\f（1，3)Sh＝eq\f（1，3)×6×eq\f（\r（3),4)×2＝eq\r（3）.1．計算柱體、錐體和臺體的體積時，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面．例如，圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過球心的平面截球所得的圓面．2．在求不規(guī)則的幾何體的體積時，可利用分割幾何體或補全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺、球的體積計算問題．一、選擇題1．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π,那么圓柱的體積等于()A．πB．2πC．4πD．8π答案B解析設(shè)圓柱母線長為l，底面半徑為r，由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（l＝2r，,2πrl＝4π，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝1，，l＝2.）)∴V圓柱＝πr2l＝2π.2。如圖，在正方體中，四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的()A。eq\f(1，2) B。eq\f（1,3)C.eq\f(1,4) D．不確定答案B解析由于四棱錐S－ABCD的高與正方體的棱長相等，底面是正方形，根據(jù)柱體和錐體的體積公式，得四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的eq\f（1,3)，故選B.3。圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球,如圖所示．則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm答案C解析設(shè)球半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得3×eq\f（4，3）πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3。4.如圖是一個下半部分為正方體、上半部分為正棱柱的盒子（中間連通)．若其表面積為(448＋32eq\r(3))cm2，則其體積為（）A．512＋128eq\r（3）cm3B．216＋128eq\r(3）cm3C．512＋64eq\r（3）cm3D．216＋64eq\r(3）cm3答案A解析設(shè)正方體的棱長為acm，則5a2＋2a2＋eq\f（\r（3）,4)a2×2＝448＋32eq\r（3)，解得a＝8（cm)．∴該幾何體的體積為a3＋eq\f（\r（3)，4）a2·a＝512＋128eq\r（3)（cm3）．5．將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A。eq\f(4π,3)B。eq\f（\r（2)π，3)C。eq\f(\r（3)π,2)D。eq\f（π，6)答案A解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，半徑為1，其體積是eq\f(4，3)×π×13＝eq\f（4π,3)。6．一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2cm，那么該棱柱的表面積為()A．(2＋4eq\r(2））cm2 B．(4＋8eq\r（2））cm2C．(8＋16eq\r（2))cm2 D．(16＋32eq\r（2)）cm2答案C解析∵一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2cm的球面上,正四棱柱的底面邊長為2cm，球的直徑為正四棱柱的體對角線，∴正四棱柱的體對角線為4,正四棱柱的底面對角線長為2eq\r（2），∴正四棱柱的高為eq\r（16－8)＝2eq\r(2），∴該棱柱的表面積為2×22＋4×2×2eq\r(2)＝8＋16eq\r(2），故選C。7.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f（π，2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（)A。eq\f(2，3)πB.eq\f（4,3）πC。eq\f（5，3）πD．2π答案C解析由題意，知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱,挖去一個圓錐(如圖），該幾何體的體積為π×12×2－eq\f（1,3)×π×12×1＝eq\f(5，3)π.8．長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為eq\r(3),eq\r（5）,eq\r（15),則它的外接球表面積為(）A．9πB．8πC．4πD．5π答案A解析設(shè)長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ab＝\r(3），，bc＝\r（5)，,ac＝\r（15),))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，，b＝1，，c＝\r（5），））∴外接球半徑為eq\f（\r（a2＋b2＋c2），2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,2)）)2＝9π.二、填空題9．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為________．考點柱體、錐體、臺體的表面積與體積題點若干個幾何體的體積、表面積關(guān)系答案3∶1∶2解析設(shè)球的半徑為R，則V柱＝πR2·2R＝2πR3,V錐＝eq\f（1，3)πR2·2R＝eq\f（2，3）πR3，V球＝eq\f（4，3）πR3，故V柱∶V錐∶V球＝2πR3∶eq\f（2，3）πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2.10．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，若其弧長為2πcm，半徑為eq\r（2）cm，則該圓錐的體積為________cm3.答案eq\f(π,3)解析∵圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2πcm，半徑為eq\r(2)cm，故圓錐的底面周長為2πcm,母線長為eq\r(2)cm，則圓錐的底面半徑為1,高為1，則圓錐的體積V＝eq\f（1,3)·π·12·1＝eq\f（π，3)。11．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D,E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐A－FED的體積為V1,三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2,則V1∶V2的值為________．答案eq\f（1，24)解析設(shè)三棱柱的高為h，∵F是AA1的中點，則三棱錐F－ADE的高為eq\f(h，2)，∵D，E分別是AB,AC的中點，∴S△ADE＝eq\f(1，4）S△ABC，∵V1＝eq\f（1,3)S△ADE·eq\f(h，2），V2＝S△ABC·h，∴eq\f（V1，V2）＝eq\f（\f（1，6）S△ADE·h，S△ABC·h）＝eq\f（1,24)。三、解答題12．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水,使水面與球正好相切，然后將球取出,求這時容器中水的深度．解由題意知,圓錐的軸截面為正三角形,如圖所示為圓錐的軸截面．根據(jù)切線性質(zhì)知,當(dāng)球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為eq\r（3)r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝eq\f（1，3）π·（eq\r(3）r）2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f（5,3）πr3，而將球取出后,設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為eq\f(\r（3)，3）h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝eq\f(1，3）π·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），3)h))2·h＝eq\f（1，9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r（3,15)r.即