2018-2019數學新學案同步精致講義選修1-1北師大版：第三章 變化率與導數疑難規(guī)律方法 第三章

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1利用導數的幾何意義解題1．求參數例1設曲線y＝f(x）＝ax2在點(1,a）處的切線與直線2x－y－6＝0平行,則a＝________.解析根據導數的定義，eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq\f（2aΔx＋aΔx2，Δx)＝2a＋aΔx,當Δx無限趨近于0時,2a＋aΔx無限趨近于2a，即f′（1）＝2a。又由曲線f（x）＝ax2在點(1,a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1.答案12．求傾斜角例2求曲線y＝f（x)＝eq\f（1,3)x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角．分析要求切線的傾斜角α，先要求切線的斜率k，再根據斜率k＝tanα，求出傾斜角α。解設曲線y＝f(x)＝eq\f（1,3）x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為α，eq\f(f1＋Δx－f1，Δx）＝eq\f(\f（1,3)1＋Δx3－1＋Δx2＋5－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3）－1＋5）),Δx）＝eq\f（\f（1，3)Δx3－Δx,Δx）＝eq\f（1,3)（Δx）2－1，當Δx無限趨近于0時，eq\f（1，3）(Δx)2－1無限趨近于－1，即tanα＝f′（1）＝－1。因為α∈［0，π），所以α＝eq\f（3π，4）。故切線的傾斜角為eq\f(3π，4）。評注切線的傾斜角α能通過求切線的斜率得到，在解題過程中,一定要注意切線的傾斜角α的取值范圍．

3．求曲線的切線例3求在點Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2,\f（8,3））)處與曲線y＝eq\f(1，3）x3相切的切線方程．分析要求直線在點P處的切線方程，需求得過點P的切線的斜率k，然后根據點斜式可求得切線方程．解因為點Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，\f(8，3）))在曲線y＝eq\f（1,3）x3上,Δy＝eq\f（1，3)(2＋Δx)3－eq\f(1,3）×23＝4Δx＋2（Δx）2＋eq\f（1,3)(Δx）3，所以eq\f（Δy，Δx）＝4＋2Δx＋eq\f（1，3)（Δx）2，當Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx）無限趨近于4，即k＝4。故所求的切線方程為y－eq\f(8，3)＝4(x－2），即12x－3y－16＝0.評注求在點P處與曲線相切的切線方程時,可求出切線的斜率,然后再根據點斜式求切線方程．4．求切點的坐標例4若曲線y＝f（x）＝x3＋1在點P處的切線的斜率為3,求點P的坐標．分析要求點P的坐標，可設點P的坐標為(x0，xeq\o\al（3,0)＋1），然后由切線的斜率為3，解方程求得．解設點P的坐標為（x0，xeq\o\al（3，0)＋1),因為eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\f（3x\o\al(2，0）·Δx＋3x0Δx2＋Δx3，Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋（Δx)2,當Δx無限趨近于0時,上式無限趨近于3xeq\o\al（2，0）,所以3xeq\o\al（2，0)＝3.解得x0＝±1。故點P的坐標是（1,2)或(－1,0）．評注值得注意的是切點P的坐標有兩個，部分同學誤認為只有一個而出錯．2利用導數求切線方程曲線的切線問題是高考的常見題型之一．而導數f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f（x）在點P(x0,f(x0））處的切線的斜率，所以利用導數解決相切問題是常用的方法．下面對“求過一點的切線方程”的題型做以下歸納．

1．已知切點，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導數f′（x）,并代入點斜式方程即可．例1曲線f（x)＝x3－3x2＋1在點（1，－1)處的切線方程為（）A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5解析由f′（x)＝3x2－6x，知在點(1，－1)處的斜率k＝f′(1)＝－3。所以切線方程為y－(－1)＝－3(x－1）,即y＝－3x＋2。故選B。答案B2．已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法．例2求過曲線f(x）＝x3－2x上的點(1，－1）的切線方程．解設P（x0，y0）為切點，則切線的斜率為f′(x0）＝3xeq\o\al(2，0)－2.所以切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0）－2）(x－x0），即y－（xeq\o\al（3，0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2，0）－2)(x－x0)．又知切線過點(1，－1)，所以－1－（xeq\o\al(3，0)－2x0)＝（3xeq\o\al(2,0）－2）（1－x0）．解得x0＝1或x0＝－eq\f（1,2）。故所求切線方程為y－（1－2)＝(3－2)(x－1），或y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，8）＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，4）－2)）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，2））)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.點評可以發(fā)現直線5x＋4y－1＝0并不以（1,－1）為切點,實際上是經過點（1,－1)，且以eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，\f（7,8))）為切點的直線．這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點．3．已知過曲線外一點，求切線方程此類題可先設切點，再求切點,即用待定切點法來求解．例3求過點（2，0）且與曲線f(x）＝eq\f（1，x）相切的直線方程．解設P(x0，y0）為切點，則切線的斜率為f′(x0)＝－eq\f(1，x\o\al（2，0））。所以切線方程為y－y0＝－eq\f(1,x\o\al（2，0))(x－x0）,即y－eq\f（1,x0）＝－eq\f(1，x\o\al(2，0）)（x－x0)．又已知切線過點（2,0）,把它代入上述方程，得－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1，x\o\al（2,0）)（2－x0)．解得x0＝1，y0＝eq\f（1，x0）＝1，即x＋y－2＝0.點評點(2，0)實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，這充分反映出待定切點法的高效性．4．求兩條曲線的公切線例4已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－x2＋4x－4，直線l與C1，C2都相切,求直線l的方程．分析設出直線與兩條曲線的切點坐標，分別求出曲線在切點處的切線方程，再利用兩個方程所表示的直線重合，建立方程組求解．解設l與C1相切于點P(x1，xeq\o\al(2，1）），與C2相切于點Q（x2，－xeq\o\al(2，2)＋4x2－4）．由C1：y＝x2，得y′＝2x,則與C1相切于點P的切線方程為y－xeq\o\al（2，1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2，1），由C2：y＝－x2＋4x－4,得y′＝－2x＋4,則與C2相切于點Q的切線方程為y＝－2(x2－2)x＋xeq\o\al(2,2)－4。因為兩切線重合，所以2x1＝－2（x2－2)且－xeq\o\al（2，1）＝xeq\o\al（2,2)－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2,x2＝0.所以直線l的方程為y＝0或y＝4x－4。點評公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點處的切線方程,再利用兩直線重合的條件建立方程組求解.3導數運算中的常見錯誤1．對f′（x0)與f′（x)理解有誤例1已知函數f（x)＝x2＋2xf′（1），則f′(0)的值為()A．0B．－4C．－2D．2錯解由f(x）＝x2＋2xf′（1）得f(0）＝0。所以f′（0）＝0。故選A。錯因分析解題時沒有弄清導函數和其在某點處的導數的關系,求函數在某點處的導數時，應先求導再求函數值，同時要注意f′(1)是常數．正解由f（x)＝x2＋2xf′（1）得，f′（x）＝2x＋2f′（1）．所以f′（1)＝2×1＋2f′(1）．所以f′（1）＝－2.從而f′（x）＝2x－4.所以f′（0）＝－4。故選B。2．切點位置的確定有誤例2求過點P（1，0）且與曲線f(x）＝x3－x相切的直線的方程．錯解由題意知點P（1,0）在曲線上．因為f′（x)＝3x2－1，所以f′(1）＝2。所以切線方程為y－0＝2（x－1)，即2x－y－2＝0。錯因分析點P(1，0)雖然在曲線上，但不一定是切點,解題時把點P（1,0）當作切點顯然是錯誤的．正解設切點為(x0，xeq\o\al(3,0)－x0)，則過該點的切線方程為y－(xeq\o\al（3,0)－x0)＝（3xeq\o\al（2，0)－1)(x－x0)．由切線過點P（1，0)得:0－(xeq\o\al（3，0)－x0）＝(3xeq\o\al(2，0）－1）(1－x0），整理得2xeq\o\al（3，0）－3xeq\o\al（2,0）＋1＝0.即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)。所以切線方程為2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.3．對切線定義的理解有誤例3已知曲線C：y＝f（x)＝eq\f（1,3）x3＋eq\f（4，3),曲線C在點P(2，4)處的切線方程為y＝4x－4,試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點？若有，求出公共點的坐標；若沒有,說明理由．錯解由于直線y＝4x－4與曲線C相切，因此除切點P（2，4)外沒有其他的公共點．錯因分析“切線與曲線有唯一公共點”，此說法對圓、橢圓這一類特殊曲線是成立的，但對一般曲線不一定成立．正解由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝4x－4，，y＝\f（1