高二數(shù)學(xué)2013北師大版選修2-3第二章概率檢測題及答案解析

綜合檢測第二章概率一、選擇題1．一個袋中有5個白球和3個紅球，從中任取3個，則下列敘述中是離散型隨機變量的是()A．所取球的個數(shù)B．其中所含白球的個數(shù)C．所取白球和紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)ξ－124Peq\f(1,5)eq\f(2,3)p12．若隨機變量ξ的分布列如下表所示，則p1等于()A.0 B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,15) D．13．投擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚正面向上的概率是()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)4．在比賽中，如果運動員A勝運動員B的概率是eq\f(2,3)，假設(shè)每次比賽互不影響，那么在五次比賽中運動員A恰有三次獲勝的概率是()A.eq\f(40,243) B.eq\f(80,243)C.eq\f(110,243) D.eq\f(20,243)5．一個口袋裝有2個白球和3個黑球，第一次摸出1個白球后放回，則再摸出1個白球的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)6．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(AB)＝()A.eq\f(14,15) B.eq\f(7,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)7．某校高考數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N(100,102)，則該校數(shù)學(xué)成績不低于120分的考生占總?cè)藬?shù)的百分比為()A．46% B．23%C．2.3% D．4.6%8．將1枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概率等于出現(xiàn)k＋1次正面向上的概率，則k的值為()A．0 B．1C．2 D．39．設(shè)隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ>c)＝p，則p的值()A．等于0 B．等于0.5C．等于D．不確定10．甲、乙、丙三位學(xué)生用計算機聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為eq\f(4,5)，乙及格的概率為eq\f(3,5)，丙及格的概率為eq\f(7,10)，三人各答一次，則三人中只有1人及格的概率為()A.eq\f(3,20) B.eq\f(42,135)C.eq\f(47,250) D．以上都不對二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填在題中的橫線上)11．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取到次品的件數(shù)，則EX等于________．12．已知離散型隨機變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)13．袋中有大小相同的4個紅球，6個白球，每次從中摸取一球，每個球被取到的可能性相同，現(xiàn)不放回地取3個球，則在前兩次取出的是白球的前提下，第三次取出紅球的概率為________．14．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且方程x2＋2x＋X＝0有實數(shù)解的概率為eq\f(1,2)，若P(X≤2)＝0.8，則P(0≤X≤2)＝________.15．10根大小形狀完全相同的簽中有3根彩簽，若甲先抽一簽，然后由乙再抽一簽，則甲抽中彩簽的概率為________；甲、乙都抽中彩簽的概率為________；乙抽中彩簽的概率為________．三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)船隊要對下個月是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可收益5000元；若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔(dān)1000元的損失費．據(jù)預(yù)測，下月是好天氣的概率是0.6，是壞天氣的概率是0.4，問：應(yīng)如何作出決策？17．(本小題滿分12分)一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)．(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．(本小題滿分12分)某氣象站天氣預(yù)報的準確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位)：(1)5次預(yù)報中恰有2次準確的概率；(2)5次預(yù)報中至少有2次準確的概率；(3)5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率．19．(本小題滿分13分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨立．(1)記X(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率．20．(2013·課標(biāo)全國卷Ⅱ)(本小題滿分13分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的數(shù)學(xué)期望．http://www.x21．(2013·湖北高考)(本小題滿分13分)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.(1)求p0的值；(2)某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次．A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)XKb1.Com一、選擇題1．一個袋中有5個白球和3個紅球，從中任取3個，則下列敘述中是離散型隨機變量的是()A．所取球的個數(shù)B．其中所含白球的個數(shù)C．所取白球和紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)【解析】A、C選項中所取球的個數(shù)是常數(shù)3；D選項中球的總數(shù)是常數(shù)8；只有B選項中所取3球中所含白球的個數(shù)是可以一一列舉的變量，故應(yīng)選B.【答案】B新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)2．若隨機變量ξ的分布列如下表所示，則p1等于()ξ－124Peq\f(1,5)eq\f(2,3)p1A.0 B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,15) D．1【解析】由分布列性質(zhì)得eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋p1＝1，解得p1＝eq\f(2,15).【答案】B3．投擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚正面向上的概率是()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)【解析】至少有一枚正面向上的對立事件為“三枚均為反面向上”其概率為(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，∴所求概率為1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).【答案】D4．在比賽中，如果運動員A勝運動員B的概率是eq\f(2,3)，假設(shè)每次比賽互不影響，那么在五次比賽中運動員A恰有三次獲勝的概率是()A.eq\f(40,243) B.eq\f(80,243)C.eq\f(110,243) D.eq\f(20,243)【解析】所求概率為Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(2,3))3×(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(80,243).【答案】B5．一個口袋裝有2個白球和3個黑球，第一次摸出1個白球后放回，則再摸出1個白球的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)【解析】由于是有放回摸球，所以第二次摸出1個白球，與第一次摸出白球無關(guān)，即相互獨立，所以第二次摸出白球的概率為eq\f(2,5).【答案】C6．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(AB)＝()A.eq\f(14,15) B.eq\f(7,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)【解析】P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5).【答案】D7．某校高考數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N(100,102)，則該校數(shù)學(xué)成績不低于120分的考生占總?cè)藬?shù)的百分比為()A．46% B．23%C．2.3% D．4.6%【解析】∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，∴即P(80<X<120)＝95.4%，2P(X≥120)＝1－P(80<X<120)＝4.6%，∴P(X≥120)＝2.3%.【答案】C8．將1枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概率等于出現(xiàn)k＋1次正面向上的概率，則k的值為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】設(shè)正面向上的次數(shù)為X，則X～B(5，eq\f(1,2))．由題意知Ceq\o\al(k,5)(eq\f(1,2))5＝Ceq\o\al(k＋1,5)(eq\f(1,2))5，∴k＋k＋1＝5.∴k＝2.【答案】C9．設(shè)隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ>c)＝p，則p的值()A．等于0 B．等于0.5C．等于D．不確定【解析】由P(ξ≤c)＋P(ξ>c)＝2p＝1，得p＝0.5.【答案】B10．甲、乙、丙三位學(xué)生用計算機聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為eq\f(4,5)，乙及格的概率為eq\f(3,5)，丙及格的概率為eq\f(7,10)，三人各答一次，則三人中只有1人及格的概率為()A.eq\f(3,20) B.eq\f(42,135)C.eq\f(47,250) D．以上都不對【解析】利用相互獨立事件同時發(fā)生及互斥事件有一個發(fā)生的概率公式可得所求概率為：eq\f(4,5)×(1－eq\f(3,5))×(1－eq\f(7,10))＋(1－eq\f(4,5))×eq\f(3,5)×(1－eq\f(7,10))＋(1－eq\f(4,5))×(1－eq\f(3,5))×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).【答案】C二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填在題中的橫線上)11．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取到次品的件數(shù)，則EX等于________．【解析】∵隨機變量X服從參數(shù)N＝10，M＝3，n＝2的超幾何分布，∴EX＝eq\f(nM,N)＝eq\f(2×3,10)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)12．已知離散型隨機變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12),－a＋c＋\f(1,6)＝0,a＋c＋\f(1,3)＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))【答案】eq\f(5,12)eq\f(1,4)13．袋中有大小相同的4個紅球，6個白球，每次從中摸取一球，每個球被取到的可能性相同，現(xiàn)不放回地取3個球，則在前兩次取出的是白球的前提下，第三次取出紅球的概率為________．【解析】設(shè)第三次取出紅球為事件A，前兩次取出白球為事件B，∵P(B)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,10))＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(A\o\al(2,6)·A\o\al(1,4),A\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,3))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)14．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且方程x2＋2x＋X＝0有實數(shù)解的概率為eq\f(1,2)，若P(X≤2)＝0.8，則P(0≤X≤2)＝________.【解析】由方程x2＋2x＋X＝0有實數(shù)解得Δ＝4－4X≥0，∴X≤1.即P(X≤1)＝eq\f(1,2)，∴正態(tài)曲線的對稱軸為x＝1.∴P(X≤0)＝P(X≥2)＝1－P(X≤2)＝1－0.8＝0.2.∴P(0≤X≤2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－0.2－0.2＝0.6.【答案】0.615．10根大小形狀完全相同的簽中有3根彩簽，若甲先抽一簽，然后由乙再抽一簽，則甲抽中彩簽的概率為________；甲、乙都抽中彩簽的概率為________；乙抽中彩簽的概率為________．【解析】設(shè)事件A為“甲抽中彩簽”，事件B為“乙抽中彩簽”，事件C為“甲、乙都抽中彩簽”，且C＝AB，則P(A)＝eq\f(3,10)，P(C)＝P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,15)，P(B)＝P(AB＋eq\x\to(A)B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,15)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,9)＝eq\f(3,10).【答案】eq\f(3,10)eq\f(1,15)eq\f(3,10)新課標(biāo)第一網(wǎng)三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)船隊要對下個月是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可收益5000元；若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔(dān)1000元的損失費．據(jù)預(yù)測，下月是好天氣的概率是0.6，是壞天氣的概率是0.4，問：應(yīng)如何作出決策？【解】設(shè)船隊下個月出海的收益為隨機變量X(單位：元)，則其分布列為X5000－2000P0.60.4EX＝5000×0.6＋(－2000)×0.4＝2200(元)，即出海的平均收益為2200元，而不出海的收益為－1000元，故應(yīng)選擇出海．17．(本小題滿分12分)(2013·天津高考)一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)．(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解】(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(3,5)＋C\o\al(2,2)C\o\al(2,5),C\o\al(4,7))＝eq\f(6,7).所以取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為eq\f(6,7).(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(4,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,7).所以隨機變量X的分布列是X1234Peq\f(1,35)eq\f(4,35)eq\f(2,7)eq\f(4,7)故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX＝1×eq\f(1,35)＋2×eq\f(4,35)＋3×eq\f(2,7)＋4×eq\f(4,7)＝eq\f(17,5).18．(本小題滿分12分)某氣象站天氣預(yù)報的準確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位)：(1)5次預(yù)報中恰有2次準確的概率；(2)5次預(yù)報中至少有2次準確的概率；(3)5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率．【解】(1)記預(yù)報一次準確為事件A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗，2次準確的概率為P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次預(yù)報中恰有2次準確的概率約為0.05.(2)“5次預(yù)報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準確或只有1次準確”，其概率為P＝Ceq\o\al(0,5)×(0.2)5＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.所以所求概率為1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次預(yù)報中至少有2次準確的概率約為0.99.(3)說明第1,2,4,5次中恰有1次準確．所以概率為P＝Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率約為0.02.19．(本小題滿分13分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨立．(1)記X(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率．【解】(1)由題設(shè)知，X的可能取值為10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列為：X－32510P0.020.080.180.72(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有(4－n)件．由題設(shè)知4n－(4－n)≥10，解得n≥eq\f(14,5).又n∈N，得n＝3，或n＝4.所以P＝Ceq\o\al(3,4)×0.83×0.2＋Ceq\o\al(4,4)×0.84＝0.8192.故所求概率為0.8192.20．(2013·課標(biāo)全國卷Ⅱ)(本小題滿分13分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．圖1(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的數(shù)學(xué)期望．http://www.x【解】(1)當(dāng)X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X＜130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.4所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.