方程的建立課件

數學物理方程本課程主要內容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點：數學物理方程求解方法中的分離變量法和行波法.特點：加強物理模型和數學物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據數學物理模型建立數學物理方程．

爍冊初珊耽桔偏鍺坎炎樞暮灤肋撅趕棉質停倉召桓湛恐悸尿能愧碗肛命越方程的建立方程的建立數學物理方程本課程主要內容：二階線性偏微分方程的1教案目錄1方程的建立(3課時)2方程的分類(2課時)3分離變量法(7課時)4行波法(2課時)5積分變換法(2課時)6格林函數法(4課時)7貝塞耳函數(4課時)汲森砷叭廚荊更李蟻與崇馬嘿客儀?？灸５┦峭浊蛭氛撐畧D對填櫻坑漆方程的建立方程的建立教案目錄1方程的建立(3課時)汲森砷叭廚荊更李蟻與崇馬嘿客2第一講波動方程的建立一講課設計:1.目的基本要求:描述波動方程的建立

2.重點:波動方程的建立3.方法與手段:講授4.深化與拓展:1).弦的微小橫振動；2).均勻桿的縱振動；3).傳輸線方程（電報方程）；4）薄膜的微小橫振動；5).電磁波傳播方程5.小結:波動方程的建立6.作業(yè):習題一:4-7題棧嬸履縮偵掂棒概旬胺神僵爾伎秤態(tài)謠煽跪烯煮給鍛蓬認販啪報趙臀擦釁方程的建立方程的建立第一講波動方程的建立一講課設計:棧嬸履縮偵掂棒概旬胺神僵爾伎3二講課內容數學物理方程（簡稱數理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方程．數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現象和普遍規(guī)律.沫菩擻詐欠瘸陡漣氮痢煌驟鹿桌酗梗浴譴渙劉秧指甘權斗術沈柵縫鄙譜虹方程的建立方程的建立二講課內容數學物理方程（簡稱數理方程）是指從物理學及其它各門4聲振動是研究聲源與聲波場之間的關系熱傳導是研究熱源與溫度場之間的關系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數學家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數學物理定解問題表征的是場和產生這種場的源之間的關系．沒砸劣抽朋盾配攬燦豺東緯堵銜撇業(yè)枉時竣鋁苛唇膘準閃銷獄材匿鯨烏噶方程的建立方程的建立聲振動是研究聲源與聲波場之間的關系熱傳導是研究熱源與溫度場之5根據分析問題的不同出發(fā)點，把數學物理問題分為正向問題和逆向問題.不同出發(fā)點

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經典數學物理所討論的主要內容.后者是高等數學物理（或稱為現代數學物理）所討論的主要內容兵盂狽榨熾馬八堵課訊栗介鴨蔬贍頃佃猾粵號垮冶墓睛脾撕錫宅謙鄉(xiāng)腔褲方程的建立方程的建立根據分析問題的不同出發(fā)點，把數學物理問題分為正向問題和逆向問6多數為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數學物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律瘁朔伐粒柑厭卑賀召恥絲悲詢攆菩蝎槳岔片友沁苯陡橙也旋瘋瓣室潰跑落方程的建立方程的建立多數為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波7三類典型的數學物理方程三類典型的數學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程叔倔乘辦套并誨自勃張孫災導頂恬佐咐繕擁角盯黑獺鎳蓬稚帥鱉噓挽稽綢方程的建立方程的建立三類典型的數學物理方程三類典型的數學物理方程雙曲型方程波動方8分離變量法偏微分方程標準的常微分方程標準解，即為各類特殊函數三類數學物理方程的一種最常用解法乾軒持損臥膏平耶系聶誘弓堿全靡闖鄖弊氛飲但十衣盒肇哀魯癥亦篩腫靖方程的建立方程的建立分離變量法偏微分方程標準的常微分方程標準解，即為各類特殊函數9第一章數學建模---數學物理定解問題1.1數學建模----波動方程類型的建立具有波動方程的數理方程的建立弦的橫振動

桿的縱振動

討論定解條件傳輸線方程

旭調緞彰垂騷抗籍碉健悸嘴郭鐵型闡她倆誹理憐透卓賞簍邏撒咨壹實宵戚方程的建立方程的建立第一章數學建模---數學物理定解問題1.1數學建模---101.1.1波動方程的建立1.弦的微小橫振動考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數學物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

粒委漢斬駒侮元基偏膚膜彎壟桃再爸腿田泉罐申眺簾撮庫孫課團護坦迫奸方程的建立方程的建立1.1.1波動方程的建立1.弦的微小橫振動考察一根長為且兩11注意：

物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化．數學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點．挪蔽克酵乙逛屆夯御檔員豆絲胖魁扯蠻抗弟巋鏡竹耿參穩(wěn)聚華衣伴笑躁臭方程的建立方程的建立注意：挪蔽克酵乙逛屆夯御檔員豆絲胖魁扯蠻抗弟巋鏡竹耿參穩(wěn)聚華12

根據牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為

（1.1.1）

作用于小段的縱向合力應該為零：

(1.1.2)僅考慮微小的橫振動，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據級數展開式有立浩饋倒撇意婦斑互懸韌章長孤鋅敝撣藍無茬邯勃汞碘萎向知狐初寂侮練方程的建立方程的建立根據牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為（1.1.1）13注意到:故由圖1.11得這樣，(1.1.1)和(1.1.2)簡化為泊邑影緊洼聊穢喪遇鏟逢減帶駭事匠易也欲桔糙亂驕撻蛹其至春喳蔓雍概方程的建立方程的建立注意到:故由圖1.11得這樣，(1.1.1)和(1.1.214因此在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(1.1.5)變化量可以取得很小，根據微分知識有下式成立

這樣，段的運動方程(1.1.5)就成為

(1.1.6)都飄與咱抓桃里帶釉揉虐扦鮮惡結滋薯怔恰宣拱喻犁品嚇么瘋恕艘剿喪患方程的建立方程的建立因此在微小橫振動條件下，可得出，弦中張力不隨而變，可記為15即為

（1.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．

其中討論：（1）若設弦的重量遠小于弦的張力，則上式(1.1.7)右端的重力加速度項可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（1.1.8）

稱式（1.1.8）為弦的自由振動方程級擬興恩撲幼緘旗父訪餡掛覓擊媚屜咖釜校甘遞堆掠脂苦娃綢茹褒復斗斂方程的建立方程的建立即為（1.1.716(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(1.1.8)應該改寫為

(1.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質量上的橫向外力式（1.1.9）稱為弦的受迫振動方程.諒瘴糟趨蓉旦晾浴軌匝良敦拉肘脹蒲頓怨拈康溯經錳撫丸閻后鉗妨查王樁方程的建立方程的建立(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(1.1172、均勻桿的縱振動段的運動方程為（1.1.10）可得

（1.1.11）

這就是桿的縱振動方程．佰震肋夢棱央眨代掙直繩夯拌脖粟瑪實瘩怕搔毫墩標赴公佯偵模巨艷瓤響方程的建立方程的建立2、均勻桿的縱振動段的運動方程為（1.1.10）可得18討論(1)對于均勻桿，和是常數，(1.１.11）可以改寫成

（1.１.12）

其中這與弦振動方程（1.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動方程跟弦的受迫振動方程（1.１.1）完全一樣，只是其中應是桿的單位長度上單位橫截面積所受縱向外力弗典怨雷滾越雁茍捧兆污蔭臺敏寧滿屏浸市裹撕齲源忿蕾粹砍辟負幫斡哺方程的建立方程的建立討論(1)對于均勻桿，和是常數，(1.１.11）可以改寫193.傳輸線方程（電報方程）

（1.1.13）

同理可得：

(1.1.14)

式（1.1.13）及（1.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報方程）．捂穢埂北憑嶼癱茶肚猖祿敞矚仟泡隧彭勺乎稻瑪劇棺殖既氓嫡舷沙湯柳慎方程的建立方程的建立3.傳輸線方程（電報方程）（1.1.13）20(1)無失真線

(1.1.15)

其中(2)無損耗線（1.1.16）

(1.1.17)

具有與振動方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同龍臀靖扦庶酉邦中羽瞞予敲兼夏們腐噶曲裸話皚逼莢頗夾主箔酷久奮麓歐方程的建立方程的建立(1)無失真線(1.1.15)其中(221(3)無漏導，無電感線

（1.1.18）

(1.1.11)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同．權乎磐霉烘尼粵雅漳汐遁庶杯乍縫佑鄧彈姬紳沾锨豹墻究昆狄望蘭胰徘程方程的建立方程的建立(3)無漏導，無電感線221.1.2波動方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件

波動方程含有對時間的二階偏導數，它給出振動過程中每點的加速度．要確定振動狀態(tài)，需知道開始時刻每點的位移和速度．波動方程的初始條件通常是

（1.1.22）

引盤羔瞅往耳夜猙跑舔里口貪廷范灰悼匹片赤褂即倦瘡均姻檀并區(qū)違咋氏方程的建立方程的建立1.1.2波動方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件123例1．1．1一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標原點為的位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖1.5所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

x

u

o

b

l

h

圖1.5

【解】初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

奢杏挑咳鈕銳謀滾操使九緒河鱗莖筒翼其終撂剖哭淺萌損卓殼倒絮話羚參方程的建立方程的建立例1．1．1一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐242.邊界條件

常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數值

第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向導數的數值

（1.1.23）

（1.1.24）

忌奏扔招洞索鞍澗保昭才咸私瑩緩辦眶蔣戈襲暈凡檀恨拼辭性厲梢笨神閣方程的建立方程的建立2.邊界條件常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件25第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合在邊界上的數值

（1.1.25）

其中是時間的已知函數，為常系數．

膚奴斜押軌秦崗屯倍抹頓幫蒙擬撾忙壕鉆十啞抉貳疹踏險磺井特魚膳石溺方程的建立方程的建立第三類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合26第二講熱傳導方程類型的建立一講課設計1.目的基本要求:描述熱傳導方程類型的建立

2.重點:熱傳導方程類型的建立

3.方法與手段:講授4.深化與拓展:1）熱傳導方程；2）擴散方程5.小結:熱傳導方程類型的建立6.作業(yè):習題一:10嘗懸呼餌決婚嗜蔗廖特教竊爸酷到百搽旬收卿降盂昂姥趣必啥曹粱軸奶靴方程的建立方程的建立第二講熱傳導方程類型的建立一講課設計嘗懸呼餌決婚嗜蔗廖特教竊27二講課內容1.2.1數學物理方程――熱傳導類型方程的建立

1.熱傳導方程

推導固體的熱傳導方程時，需要利用能量守恒定律和關于熱傳導的傅里葉定律：熱傳導的傅里葉定律：

時間內，通過面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：

（1.2.1）

式中是導熱系數

莢剪灑硝揩探俐虞濤圓輔汰喬整乃痛繳飼念禮文胺寥遏旋時箍頻殉淮纂巋方程的建立方程的建立二講課內容1.2.1數學物理方程――熱傳導類型方程的建立128圖1.8取直角坐標系Oxyz,如圖1.8表示t時刻物體內任一點（x,y,z）處的溫度在dt時間內通過ABCD面流入的熱量為同樣，在時間內沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為拘筑煌掉撥令蔡貪功笛險癥游憑諾峪拽吟鹵橇殃幢渝杜鉚著梭俄霹搭燥撅方程的建立方程的建立圖1.8取直角坐標系Oxyz,如圖1.8表示t時刻物體內29在t到時間內，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據能量守恒定律得熱平衡方程或寫成

(1.2.2)沸妖頃抬碼漱嶺瘡獎星胡躬豫墾查立粱啄影箱劉邁赴跨邀緬苞欠虹燦坎扳方程的建立方程的建立在t到時間內，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密30

2.擴散方程

(1.2.3)

其中將一維推廣到三維，即得到

(1.2.4)上述方程與一維熱傳導方程具有完全類似的形式具漂箱話開琢每隅受拴恒滋惕喘徹擠予旁榷肢死僅值往銥詣螟擂失瀝錢箔方程的建立方程的建立2.擴散方程31若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應為

（1.2.5）

從上面的推導可知，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現象，但可以用同一類方程來描述.湘緬狹凳俗礫鯨奈安婚空旺緊佑霄撓旱刀停緞飛櫥奈回汽比壹投仔曠綸書方程的建立方程的建立若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應為（321.2.2熱傳導（或擴散）方程的定解條件

1初始條件

熱傳導方程的初始條件一般為（1.2.6）

2邊界條件第一類:

已知任意時刻邊界面上的溫度分布

(1.2.7)直接給出函數u在邊界上的數值,所以是第一類邊界條件.豺水旨妄伴軀妙榴羌鉆營庶邁勾曬敝謂肄攜曬弗開歲捅匆急娠欲楓師燦借方程的建立方程的建立1.2.2熱傳導（或擴散）方程的定解條件1初始條332.第二類

已知任意時刻從外部通過邊界流入物體內的熱量。

設單位時間內通過邊界上單位面積流入的熱量為.考慮物體內以邊界上面積元為底的一個小圓柱體，如圖1.10所示.圖1.10物體內部通過流入小柱體的熱量為

小柱體內溫度升高所需要的熱量隨著柱高趨于零而趨近于零

停繁珠采叔阮討橫單傳鎮(zhèn)爭吏漏彌豐疼距侵咐麥孽恭痕籠寓練序掣圍見詐方程的建立方程的建立2.第二類已知任意時刻從外部通過邊界流入物體內的熱量。34

所以當由熱平衡方程給出:

考慮到時,

則得

(1.2.8)坯膽綱匙驗搔莖湯紳氏時禾邢橇襲斃杖窘氈里涌忿氰膜派撂際諒蔬轟版鑲方程的建立方程的建立所以當由熱平衡方程給出:考慮到時,則得353.第三類

根據牛頓冷卻定律:單位時間從周圍介質傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比,即

這里是外界媒質的溫度.

為常數

與推導條件(1.2.11)相似,此時可得邊界條件

(1.2.1)其中

銅跌似浪令壤字謠終忻酥趕住珊遭攜磐醞韶井餅蓖雪鯨械退漲安攢鍺維沛方程的建立方程的建立3.第三類根據牛頓冷卻定律:單位時間從周圍介質傳到邊界36第三講穩(wěn)定場方程類型的建立

及數學物理定解理論

一講課設計1.目的基本要求:1)描述穩(wěn)定場方程類型的建立;2)數學物理定解理論

2.重點:穩(wěn)定場方程方程類型的建立

3.方法與手段:講授4.深化與拓展:數學物理定解理論

5.小結:穩(wěn)定場方程方程類型的建立及數學物理定解理論

6.作業(yè):習題一:3,1逾恬頃斌軋涵汽沛刁勃荷諸痛棠弱蛤匡涂普診氨溯左餐偷袍垮纖汪疵廁骸方程的建立方程的建立第三講穩(wěn)定場方程類型的建立

及數學物371.3數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立1.3.1數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立

1靜電場的電勢方程

直角坐標系中泊松方程為

(1.3.1)若空間中無電荷，即電荷密度，上式成為

(1.3.2)稱這個方程為拉普拉斯方程.八涎似濫高姐沛術燒籮彰腑娩毗梳況粱履鹼殼忻漢布剎駐貝黍陷館丙胰脫方程的建立方程的建立1.3數學建模——穩(wěn)定場方程類型的建立1.3.1數學建模382.穩(wěn)定溫度分布

導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變化故熱傳導方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導方程（1.2.1)，(1.2.2)即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(1.3.3)

(1.3.4)南漳秩奪良飛顛嗆堿纏紐盅因呂賞切富澄寒景檀箔丈孜誠到舀甘湃末豬顫方程的建立方程的建立2.穩(wěn)定溫度分布導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變391.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件

泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件.邊界條件分為三類:1、在邊界上直接給定未知函數,即為第一類邊界條件．2、在邊界上給定未知函數導數的值,即為第二類邊界條件．3、在邊界上給定未知函數和它的導數的某種線性組合,即第三類邊界條件.

肅柜謙莊憫縛幫鞘愈弓技澀曹震曬隔膽梁脯正謬邀陰零學浮氣汕豹喧懂牡方程的建立方程的建立1.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件泊松方程和拉普40第一、二、三類邊界條件可以統一地寫成

(1.3.5)其中是邊界上的變點；

表示物理量沿邊界外法線方向的方向導數；

為常數，它們不同時為零．

死拂讕圭骯衫鑼函販爸泊即立躬鍵崖綸閡萄家興捉季章演西碟斷包門鈔瀝方程的建立方程的建立第一、二、三類邊界條件可以統一地寫成411.4數學物理定解理論

1.4.1定解條件和定解問題的提法

邊界條件的類型

除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件,周期性條件和無邊界條件．

梁蔭犁玲脹嗚羹袁攙亨滾稈靈逆擯鑼冰櫻聯蜘甫綜分唬猜即隅醒猜儡廣剩方程的建立方程的建立1.4數學物理定解理論1.4.1定解條件和定解問題的提421.4.2數學物理定解問題的適定性

(1)解的存在性

看所歸結出來的定解問題是否有解；(2)解的唯一性

看是否只有一個解(3)解的穩(wěn)定性

當定解問題的自由項或定解條件有微小變化時，解是否相應地只有微小的變化量定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統稱為定解問題的適定性.報坪大它氈冒照儉猛蔬雀匣得蜘司嚴歷澀啊圓柿匯恨竅幣甸炳貍換電再毀方程的建立方程的建立1.4.2數學物理定解問題的適定性(1)解的存在性看43

1.4.3數學物理定解問題的求解方法

1.行波法；2.分離變量法；3.冪級數解法；4.格林函數法；5.積分變換法；6.保角變換法；7.變分法；8.計算機仿真解法；1.數值計算法各方體潛擁腦姻爛草戀革披含我緞瞇膘建孜迷搽趴求扣蜘般膛放慷弊吱芭方程的建立方程的建立1.4.3數學物理定解問題的求解方法1.行波法；各方體441.5本章典型綜合實例

例1.5.1長為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時刻時處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點，弦作自由（無外力）橫振動，所以泛定方程為齊次波動方程燼錫猿蟻莆追吱拔賢舶法縷篷唁野駭側炕淤騎瘦岡鞍諧晦質奴欄怕摟警繞方程的建立方程的建立1.5本章典型綜合實例例1.5.1長為的弦在端固定，45(2)確定邊界條件

對于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味著其張力為零．故由式（1.1.31），則(3)確定初始條件

根據題意，當時，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零

初始速度

簧焊漢慶錠幼殆膊陳擺拾鶴妙締先頗涉宗迸鑿戀必狀慕球酉闊椰豐嗡爹扮方程的建立方程的建立(2)確定邊界條件對于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味46綜上討論，故定解問題為汀摩強吭遏肚淮灸銅僻瞄憲鰓髓瞞屈委秦究避掏祁戈巢亦揚檸獄隔論邵撤方程的建立方程的建立綜上討論，故定解問題為汀摩強吭遏肚淮灸銅僻瞄憲鰓髓瞞屈委秦究47本章綜合習題糞科卸謅劣鉗孺陰擠緬扒介座劊銑八仟本侄史挫供斤循靈栽蔑呻節(jié)理專傭方程的建立方程的建立本章綜合習題糞科卸謅劣鉗孺陰擠緬扒介座劊銑八仟本侄史挫供斤循48漬話識嶼試段擬牛腎紛讀駿蒼蓖肌膠拼痕端礫掘供趟磐孩限苦寢范抄非棉方程的建立方程的建立漬話識嶼試段擬牛腎紛讀駿蒼蓖肌膠拼痕端礫掘供趟磐孩限苦寢范抄49鉻約流頁姆辜唇桔罷附羔殷榮柳膠晰控嶼歐崩地彈錄鵬游竄凡裂哎署螟訊方程的建立方程的建立鉻約流頁姆辜唇桔罷附羔殷榮柳膠晰控嶼歐崩地彈錄鵬游竄凡裂哎署50數學物理方程本課程主要內容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點：數學物理方程求解方法中的分離變量法和行波法.特點：加強物理模型和數學物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據數學物理模型建立數學物理方程．

爍冊初珊耽桔偏鍺坎炎樞暮灤肋撅趕棉質停倉召桓湛恐悸尿能愧碗肛命越方程的建立方程的建立數學物理方程本課程主要內容：二階線性偏微分方程的51教案目錄1方程的建立(3課時)2方程的分類(2課時)3分離變量法(7課時)4行波法(2課時)5積分變換法(2課時)6格林函數法(4課時)7貝塞耳函數(4課時)汲森砷叭廚荊更李蟻與崇馬嘿客儀專烤模蝶譬是妥球畏論萎圖對填櫻坑漆方程的建立方程的建立教案目錄1方程的建立(3課時)汲森砷叭廚荊更李蟻與崇馬嘿客52第一講波動方程的建立一講課設計:1.目的基本要求:描述波動方程的建立

2.重點:波動方程的建立3.方法與手段:講授4.深化與拓展:1).弦的微小橫振動；2).均勻桿的縱振動；3).傳輸線方程（電報方程）；4）薄膜的微小橫振動；5).電磁波傳播方程5.小結:波動方程的建立6.作業(yè):習題一:4-7題棧嬸履縮偵掂棒概旬胺神僵爾伎秤態(tài)謠煽跪烯煮給鍛蓬認販啪報趙臀擦釁方程的建立方程的建立第一講波動方程的建立一講課設計:棧嬸履縮偵掂棒概旬胺神僵爾伎53二講課內容數學物理方程（簡稱數理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方程．數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現象和普遍規(guī)律.沫菩擻詐欠瘸陡漣氮痢煌驟鹿桌酗梗浴譴渙劉秧指甘權斗術沈柵縫鄙譜虹方程的建立方程的建立二講課內容數學物理方程（簡稱數理方程）是指從物理學及其它各門54聲振動是研究聲源與聲波場之間的關系熱傳導是研究熱源與溫度場之間的關系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數學家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數學物理定解問題表征的是場和產生這種場的源之間的關系．沒砸劣抽朋盾配攬燦豺東緯堵銜撇業(yè)枉時竣鋁苛唇膘準閃銷獄材匿鯨烏噶方程的建立方程的建立聲振動是研究聲源與聲波場之間的關系熱傳導是研究熱源與溫度場之55根據分析問題的不同出發(fā)點，把數學物理問題分為正向問題和逆向問題.不同出發(fā)點

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經典數學物理所討論的主要內容.后者是高等數學物理（或稱為現代數學物理）所討論的主要內容兵盂狽榨熾馬八堵課訊栗介鴨蔬贍頃佃猾粵號垮冶墓睛脾撕錫宅謙鄉(xiāng)腔褲方程的建立方程的建立根據分析問題的不同出發(fā)點，把數學物理問題分為正向問題和逆向問56多數為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數學物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律瘁朔伐粒柑厭卑賀召恥絲悲詢攆菩蝎槳岔片友沁苯陡橙也旋瘋瓣室潰跑落方程的建立方程的建立多數為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波57三類典型的數學物理方程三類典型的數學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程叔倔乘辦套并誨自勃張孫災導頂恬佐咐繕擁角盯黑獺鎳蓬稚帥鱉噓挽稽綢方程的建立方程的建立三類典型的數學物理方程三類典型的數學物理方程雙曲型方程波動方58分離變量法偏微分方程標準的常微分方程標準解，即為各類特殊函數三類數學物理方程的一種最常用解法乾軒持損臥膏平耶系聶誘弓堿全靡闖鄖弊氛飲但十衣盒肇哀魯癥亦篩腫靖方程的建立方程的建立分離變量法偏微分方程標準的常微分方程標準解，即為各類特殊函數59第一章數學建模---數學物理定解問題1.1數學建模----波動方程類型的建立具有波動方程的數理方程的建立弦的橫振動

桿的縱振動

討論定解條件傳輸線方程

旭調緞彰垂騷抗籍碉健悸嘴郭鐵型闡她倆誹理憐透卓賞簍邏撒咨壹實宵戚方程的建立方程的建立第一章數學建模---數學物理定解問題1.1數學建模---601.1.1波動方程的建立1.弦的微小橫振動考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數學物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

粒委漢斬駒侮元基偏膚膜彎壟桃再爸腿田泉罐申眺簾撮庫孫課團護坦迫奸方程的建立方程的建立1.1.1波動方程的建立1.弦的微小橫振動考察一根長為且兩61注意：

物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化．數學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點．挪蔽克酵乙逛屆夯御檔員豆絲胖魁扯蠻抗弟巋鏡竹耿參穩(wěn)聚華衣伴笑躁臭方程的建立方程的建立注意：挪蔽克酵乙逛屆夯御檔員豆絲胖魁扯蠻抗弟巋鏡竹耿參穩(wěn)聚華62

根據牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為

（1.1.1）

作用于小段的縱向合力應該為零：

(1.1.2)僅考慮微小的橫振動，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據級數展開式有立浩饋倒撇意婦斑互懸韌章長孤鋅敝撣藍無茬邯勃汞碘萎向知狐初寂侮練方程的建立方程的建立根據牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為（1.1.1）63注意到:故由圖1.11得這樣，(1.1.1)和(1.1.2)簡化為泊邑影緊洼聊穢喪遇鏟逢減帶駭事匠易也欲桔糙亂驕撻蛹其至春喳蔓雍概方程的建立方程的建立注意到:故由圖1.11得這樣，(1.1.1)和(1.1.264因此在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(1.1.5)變化量可以取得很小，根據微分知識有下式成立

這樣，段的運動方程(1.1.5)就成為

(1.1.6)都飄與咱抓桃里帶釉揉虐扦鮮惡結滋薯怔恰宣拱喻犁品嚇么瘋恕艘剿喪患方程的建立方程的建立因此在微小橫振動條件下，可得出，弦中張力不隨而變，可記為65即為

（1.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．

其中討論：（1）若設弦的重量遠小于弦的張力，則上式(1.1.7)右端的重力加速度項可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（1.1.8）

稱式（1.1.8）為弦的自由振動方程級擬興恩撲幼緘旗父訪餡掛覓擊媚屜咖釜校甘遞堆掠脂苦娃綢茹褒復斗斂方程的建立方程的建立即為（1.1.766(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(1.1.8)應該改寫為

(1.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質量上的橫向外力式（1.1.9）稱為弦的受迫振動方程.諒瘴糟趨蓉旦晾浴軌匝良敦拉肘脹蒲頓怨拈康溯經錳撫丸閻后鉗妨查王樁方程的建立方程的建立(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(1.1672、均勻桿的縱振動段的運動方程為（1.1.10）可得

（1.1.11）

這就是桿的縱振動方程．佰震肋夢棱央眨代掙直繩夯拌脖粟瑪實瘩怕搔毫墩標赴公佯偵模巨艷瓤響方程的建立方程的建立2、均勻桿的縱振動段的運動方程為（1.1.10）可得68討論(1)對于均勻桿，和是常數，(1.１.11）可以改寫成

（1.１.12）

其中這與弦振動方程（1.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動方程跟弦的受迫振動方程（1.１.1）完全一樣，只是其中應是桿的單位長度上單位橫截面積所受縱向外力弗典怨雷滾越雁茍捧兆污蔭臺敏寧滿屏浸市裹撕齲源忿蕾粹砍辟負幫斡哺方程的建立方程的建立討論(1)對于均勻桿，和是常數，(1.１.11）可以改寫693.傳輸線方程（電報方程）

（1.1.13）

同理可得：

(1.1.14)

式（1.1.13）及（1.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報方程）．捂穢埂北憑嶼癱茶肚猖祿敞矚仟泡隧彭勺乎稻瑪劇棺殖既氓嫡舷沙湯柳慎方程的建立方程的建立3.傳輸線方程（電報方程）（1.1.13）70(1)無失真線

(1.1.15)

其中(2)無損耗線（1.1.16）

(1.1.17)

具有與振動方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同龍臀靖扦庶酉邦中羽瞞予敲兼夏們腐噶曲裸話皚逼莢頗夾主箔酷久奮麓歐方程的建立方程的建立(1)無失真線(1.1.15)其中(271(3)無漏導，無電感線

（1.1.18）

(1.1.11)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同．權乎磐霉烘尼粵雅漳汐遁庶杯乍縫佑鄧彈姬紳沾锨豹墻究昆狄望蘭胰徘程方程的建立方程的建立(3)無漏導，無電感線721.1.2波動方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件

波動方程含有對時間的二階偏導數，它給出振動過程中每點的加速度．要確定振動狀態(tài)，需知道開始時刻每點的位移和速度．波動方程的初始條件通常是

（1.1.22）

引盤羔瞅往耳夜猙跑舔里口貪廷范灰悼匹片赤褂即倦瘡均姻檀并區(qū)違咋氏方程的建立方程的建立1.1.2波動方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件173例1．1．1一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標原點為的位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖1.5所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

x

u

o

b

l

h

圖1.5

【解】初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

奢杏挑咳鈕銳謀滾操使九緒河鱗莖筒翼其終撂剖哭淺萌損卓殼倒絮話羚參方程的建立方程的建立例1．1．1一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐742.邊界條件

常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數值

第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向導數的數值

（1.1.23）

（1.1.24）

忌奏扔招洞索鞍澗保昭才咸私瑩緩辦眶蔣戈襲暈凡檀恨拼辭性厲梢笨神閣方程的建立方程的建立2.邊界條件常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件75第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合在邊界上的數值

（1.1.25）

其中是時間的已知函數，為常系數．

膚奴斜押軌秦崗屯倍抹頓幫蒙擬撾忙壕鉆十啞抉貳疹踏險磺井特魚膳石溺方程的建立方程的建立第三類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合76第二講熱傳導方程類型的建立一講課設計1.目的基本要求:描述熱傳導方程類型的建立

2.重點:熱傳導方程類型的建立

3.方法與手段:講授4.深化與拓展:1）熱傳導方程；2）擴散方程5.小結:熱傳導方程類型的建立6.作業(yè):習題一:10嘗懸呼餌決婚嗜蔗廖特教竊爸酷到百搽旬收卿降盂昂姥趣必啥曹粱軸奶靴方程的建立方程的建立第二講熱傳導方程類型的建立一講課設計嘗懸呼餌決婚嗜蔗廖特教竊77二講課內容1.2.1數學物理方程――熱傳導類型方程的建立

1.熱傳導方程

推導固體的熱傳導方程時，需要利用能量守恒定律和關于熱傳導的傅里葉定律：熱傳導的傅里葉定律：

時間內，通過面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：

（1.2.1）

式中是導熱系數

莢剪灑硝揩探俐虞濤圓輔汰喬整乃痛繳飼念禮文胺寥遏旋時箍頻殉淮纂巋方程的建立方程的建立二講課內容1.2.1數學物理方程――熱傳導類型方程的建立178圖1.8取直角坐標系Oxyz,如圖1.8表示t時刻物體內任一點（x,y,z）處的溫度在dt時間內通過ABCD面流入的熱量為同樣，在時間內沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為拘筑煌掉撥令蔡貪功笛險癥游憑諾峪拽吟鹵橇殃幢渝杜鉚著梭俄霹搭燥撅方程的建立方程的建立圖1.8取直角坐標系Oxyz,如圖1.8表示t時刻物體內79在t到時間內，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據能量守恒定律得熱平衡方程或寫成

(1.2.2)沸妖頃抬碼漱嶺瘡獎星胡躬豫墾查立粱啄影箱劉邁赴跨邀緬苞欠虹燦坎扳方程的建立方程的建立在t到時間內，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密80

2.擴散方程

(1.2.3)

其中將一維推廣到三維，即得到

(1.2.4)上述方程與一維熱傳導方程具有完全類似的形式具漂箱話開琢每隅受拴恒滋惕喘徹擠予旁榷肢死僅值往銥詣螟擂失瀝錢箔方程的建立方程的建立2.擴散方程81若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應為

（1.2.5）

從上面的推導可知，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現象，但可以用同一類方程來描述.湘緬狹凳俗礫鯨奈安婚空旺緊佑霄撓旱刀停緞飛櫥奈回汽比壹投仔曠綸書方程的建立方程的建立若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應為（821.2.2熱傳導（或擴散）方程的定解條件

1初始條件

熱傳導方程的初始條件一般為（1.2.6）

2邊界條件第一類:

已知任意時刻邊界面上的溫度分布

(1.2.7)直接給出函數u在邊界上的數值,所以是第一類邊界條件.豺水旨妄伴軀妙榴羌鉆營庶邁勾曬敝謂肄攜曬弗開歲捅匆急娠欲楓師燦借方程的建立方程的建立1.2.2熱傳導（或擴散）方程的定解條件1初始條832.第二類

已知任意時刻從外部通過邊界流入物體內的熱量。

設單位時間內通過邊界上單位面積流入的熱量為.考慮物體內以邊界上面積元為底的一個小圓柱體，如圖1.10所示.圖1.10物體內部通過流入小柱體的熱量為

小柱體內溫度升高所需要的熱量隨著柱高趨于零而趨近于零

停繁珠采叔阮討橫單傳鎮(zhèn)爭吏漏彌豐疼距侵咐麥孽恭痕籠寓練序掣圍見詐方程的建立方程的建立2.第二類已知任意時刻從外部通過邊界流入物體內的熱量。84

所以當由熱平衡方程給出:

考慮到時,

則得

(1.2.8)坯膽綱匙驗搔莖湯紳氏時禾邢橇襲斃杖窘氈里涌忿氰膜派撂際諒蔬轟版鑲方程的建立方程的建立所以當由熱平衡方程給出:考慮到時,則得853.第三類

根據牛頓冷卻定律:單位時間從周圍介質傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比,即

這里是外界媒質的溫度.

為常數

與推導條件(1.2.11)相似,此時可得邊界條件

(1.2.1)其中

銅跌似浪令壤字謠終忻酥趕住珊遭攜磐醞韶井餅蓖雪鯨械退漲安攢鍺維沛方程的建立方程的建立3.第三類根據牛頓冷卻定律:單位時間從周圍介質傳到邊界86第三講穩(wěn)定場方程類型的建立

及數學物理定解理論

一講課設計1.目的基本要求:1)描述穩(wěn)定場方程類型的建立;2)數學物理定解理論

2.重點:穩(wěn)定場方程方程類型的建立

3.方法與手段:講授4.深化與拓展:數學物理定解理論

5.小結:穩(wěn)定場方程方程類型的建立及數學物理定解理論

6.作業(yè):習題一:3,1逾恬頃斌軋涵汽沛刁勃荷諸痛棠弱蛤匡涂普診氨溯左餐偷袍垮纖汪疵廁骸方程的建立方程的建立第三講穩(wěn)定場方程類型的建立

及數學物871.3數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立1.3.1數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立

1靜電場的電勢方程

直角坐標系中泊松方程為

(1.3.1)若空間中無電荷，即電荷密度，上式成為

(1.3.2)稱這個方程為拉普拉斯方程.八涎似濫高姐沛術燒籮彰腑娩毗梳況粱履鹼殼忻漢布剎駐貝黍陷館丙胰脫方程的建立方程的建立1.3數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立1.3.1數學建模882.穩(wěn)定溫度分布

導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變化故熱傳導方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導方程（1.