什么是箱線圖

什么是箱線圖什么是箱線圖箱線圖在文獻(xiàn)中經(jīng)常見到，是對(duì)數(shù)據(jù)分布的一種常用表示方法。但是所見資料中往往說的不是特別清楚，因此需要了解一下箱線圖的繪制過程，與部分的意義。計(jì)算過程：1計(jì)算上四分位數(shù)，中位數(shù)，下四分位數(shù)2計(jì)算上四分位數(shù)和下四分位數(shù)之間的差值，即四分位數(shù)差（IQR，interquartilerange）3繪制箱線圖的上下范圍，上限為上四分位數(shù)，下限為下四分位數(shù)。在箱子內(nèi)部中位數(shù)的位置繪制橫線。4大于上四分位數(shù)1.5倍四分位數(shù)差的值，或者小于下四分位數(shù)1.5倍四分位數(shù)差的值，劃為異常值（outliers）。5異常值之外，最靠近上邊緣和下邊緣的兩個(gè)值處，畫橫線，作為箱線圖的觸須。6極端異常值，即超出四分位數(shù)差3倍距離的異常值，用實(shí)心點(diǎn)表示；較為溫和的異常值，即處于1.5倍-3倍四分位數(shù)差之間的異常值，用空心點(diǎn)表示。7為箱線圖添加名稱，數(shù)軸等。在SPSS，SigmaPlot,R,SPlus，Origin等軟件中，繪制箱線圖非常方便。下面是R中的一個(gè)箱線圖舉例箱線圖舉例：在R軟件中輸入如下命令：x<-c(25,45,50,54,55,61,64,68,72,75,75,78,79,81,83,84,84,84,85,86,86,86,87,89,89,89,90,91,91,92,100)boxplot(x)對(duì)c向量繪制箱線圖。箱線圖(Boxplot)箱線圖概述箱線圖（Boxplot）也稱箱須圖（Box-whiskerPlot），是利用數(shù)據(jù)中的五個(gè)\o"統(tǒng)計(jì)量"統(tǒng)計(jì)量：最小值、第一四分位數(shù)、\o"中位數(shù)"中位數(shù)、第三四分位數(shù)與最大值來描述數(shù)據(jù)的一種方法，它也可以粗略地看出數(shù)據(jù)是否具有有對(duì)稱性，分布的分散程度等信息，特別可以用于對(duì)幾個(gè)樣本的比較。[\o"編輯段落:箱線圖的繪制步驟[1]"編輯]箱線圖的繪制步驟\o""[1]（1）畫數(shù)軸（2）畫矩形盒兩端邊的位置分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的上下四分位數(shù)矩形盒：端邊的位置分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的上下四分位數(shù)（Q1和Q3）。在矩形盒內(nèi)部中位數(shù)位置畫一條線段為中位線。（3）在Q3＋15IQR和Q1－15IQR處畫兩條與中位線一樣的（3）在Q3＋1.5IQR和Q11.5IQR處畫兩條與中位線樣的線段，這兩條線段為異常值截?cái)帱c(diǎn)，稱其為內(nèi)限；在Q3＋3IQR和Q1－3IQR處畫兩條線段，稱其為外限。處于內(nèi)限以外位置的點(diǎn)表示的數(shù)據(jù)都是異常值，其中在內(nèi)限與外限之間的異常值為溫和的異常值（mildoutliers），在外限以外的為極端的異常值(li)的異常值extremeoutliers。（4）從矩形盒兩端邊向外各畫一條線段直到不是異常值的最遠(yuǎn)點(diǎn)表示該批數(shù)據(jù)正常值的分布區(qū)間點(diǎn)，示該批數(shù)據(jù)正常值的分布區(qū)間。（5）用“〇”標(biāo)出溫和的異常值，用“＊”標(biāo)出極端的異常值。（統(tǒng)計(jì)軟件繪制的箱線圖一般沒有標(biāo)出內(nèi)限和外限。）[\o"編輯段落:箱線圖的功能"編輯]箱線圖的功能箱線圖作為描述統(tǒng)計(jì)的工具之一，其功能有獨(dú)特之處，主要有以下幾點(diǎn)：1.直觀明了地識(shí)別數(shù)據(jù)批中的異常值一批數(shù)據(jù)中的異常值值得關(guān)注，忽視異常值的存在是十分危險(xiǎn)的，不加剔除地把異常值包括進(jìn)數(shù)據(jù)的計(jì)算分析過程中，對(duì)結(jié)果會(huì)帶來不良影響；重視異常值的出現(xiàn)，分析其產(chǎn)生的原因，常常成為發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而改進(jìn)決策的契機(jī)。箱線圖為我們提供了識(shí)別異常值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：異常值被定義為小于Q1－1.5IQR或大于Q3＋1.5IQR的值。雖然這種標(biāo)準(zhǔn)有點(diǎn)任意性，但它來源于經(jīng)驗(yàn)判斷，經(jīng)驗(yàn)表明它在處理需要特別注意的數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)不錯(cuò)。這與識(shí)別異常值的經(jīng)典方法有些不同。眾所周知，基于正態(tài)分布的3σ法則或z分?jǐn)?shù)方法是以假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布為前提的，但實(shí)際數(shù)據(jù)往往并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布。它們判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)是以計(jì)算數(shù)據(jù)批的均值和\o"標(biāo)準(zhǔn)差"標(biāo)準(zhǔn)差為基礎(chǔ)的，而均值和標(biāo)準(zhǔn)差的耐抗性極小，異常值本身會(huì)對(duì)它們產(chǎn)生較大影響，這樣產(chǎn)生的異常值個(gè)數(shù)不會(huì)多于總數(shù)0.7%。顯然，應(yīng)用這種方法于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)中判斷異常值，其有效性是有限的。箱線圖的繪制依靠實(shí)際數(shù)據(jù)，不需要事先假定數(shù)據(jù)服從特定的分布形式，沒有對(duì)數(shù)據(jù)作任何限制性要求，它只是真實(shí)直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)形狀的本來面貌；另一方面，箱線圖判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)以\o"四分位數(shù)"四分位數(shù)和四分位距為基礎(chǔ)，四分位數(shù)具有一定的耐抗性，多達(dá)25%的數(shù)據(jù)可以變得任意遠(yuǎn)而不會(huì)很大地?cái)_動(dòng)四分位數(shù)，所以異常值不能對(duì)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)施加影響，箱線圖識(shí)別異常值的結(jié)果比較客觀。由此可見，箱線圖在識(shí)別異常值方面有一定的優(yōu)越性。2.利用箱線圖判斷數(shù)據(jù)批的\o"偏態(tài)"偏態(tài)和尾重比較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、不同自由度的t分布和非對(duì)稱分布數(shù)據(jù)的箱線圖的特征，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)\o"正態(tài)分布"正態(tài)分布的大樣本，只有0.7%的值是異常值,中位數(shù)位于上下四分位數(shù)的中央,箱線圖的方盒關(guān)于中位線對(duì)稱。選取不同自由度的t分布的大樣本，代表對(duì)稱重尾分布，當(dāng)t分布的自由度越小，尾部越重，就有越大的概率觀察到異常值。以\o"卡方分布"卡方分布作為非對(duì)稱分布的例子進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)卡方分布的自由度越小，異常值出現(xiàn)于一側(cè)的概率越大，中位數(shù)也越偏離上下四分位數(shù)的中心位置，分布偏態(tài)性越強(qiáng)。異常值集中在較小值一側(cè)，則分布呈現(xiàn)左偏態(tài)；；異常值集中在較大值一側(cè)，則分布呈現(xiàn)右偏態(tài)。下表列出了幾種分布的樣本數(shù)據(jù)箱線圖的特征（樣本數(shù)據(jù)由SAS的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)自動(dòng)生成），驗(yàn)證了上述規(guī)律。這個(gè)規(guī)律揭示了數(shù)據(jù)批分布\o"偏態(tài)"偏態(tài)和尾重的部分信息，盡管它們不能給出偏態(tài)和尾重程度的精確度量，但可作為我們粗略估計(jì)的依據(jù)。3.利用箱線圖比較幾批數(shù)據(jù)的形狀同一數(shù)軸上，幾批數(shù)據(jù)的箱線圖并行排列，幾批數(shù)據(jù)的中位數(shù)、尾長(zhǎng)、異常值、分布區(qū)間等形狀信息便昭然若揭。在一批數(shù)據(jù)中，哪幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出類拔萃，哪些數(shù)據(jù)點(diǎn)表現(xiàn)不及一般，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)放在同類其它群體中處于什么位置，可以通過比較各箱線圖的異常值看出。各批數(shù)據(jù)的四分位距大小，正常值的分布是集中還是分散，觀察各方盒和線段的長(zhǎng)短便可明了。每批數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)如何，分析中位線和異常值的位置也可估計(jì)出來。還有一些箱線圖的變種，使數(shù)據(jù)批間的比較更加直觀明白。例如有一種可變寬度的箱線圖，使箱的寬度正比于批量的平方根，從而使批量大的數(shù)據(jù)批有面積大的箱，面積大的箱有適當(dāng)?shù)囊曈X效果。如果對(duì)同類群體的幾批數(shù)據(jù)的箱線圖進(jìn)行比較，分析評(píng)價(jià)，便是常模參照解釋方法的可視圖示；如果把受測(cè)者數(shù)據(jù)批的箱線圖與外在效標(biāo)數(shù)據(jù)批的箱線圖\o"比較分析"比較分析，便是效標(biāo)參照解釋的可視圖示。箱線圖結(jié)合這些分析方法用于\o"質(zhì)量管理"質(zhì)量管理、\o"人事測(cè)評(píng)"人事測(cè)評(píng)、探索性\o"數(shù)據(jù)分析"數(shù)據(jù)分析等統(tǒng)計(jì)分析活動(dòng)中去，有助于分析過程的簡(jiǎn)便快捷，其作用顯而易見。[\o"編輯段落:箱線圖應(yīng)用舉例"編輯]箱線圖應(yīng)用舉例現(xiàn)有某直銷中心30名員工的\o"工資"工資測(cè)算數(shù)據(jù)兩批，第一批為工資調(diào)整前的數(shù)據(jù)，第二批為工資調(diào)整后的數(shù)據(jù)，繪出它們的箱線圖（如下圖），進(jìn)行比較，可以很容易地得出：工資調(diào)整前，總體水平在752元左右，四分位距為307.5，沒有異常值。經(jīng)過調(diào)整后，箱線圖顯示，第2、29、10、24、27號(hào)為溫和的異常值，第26、30、28號(hào)為極端的異常值。為什么會(huì)出現(xiàn)異常值呢？經(jīng)過進(jìn)一步分析知道，第2、29、10、24號(hào)員工由于技能強(qiáng)、工齡長(zhǎng)、積累貢獻(xiàn)大、表現(xiàn)較好，勞苦功高，理應(yīng)得到較高的報(bào)酬；第27、26、30、28號(hào)職工則因?yàn)榧寄芷?、工齡短、積累貢獻(xiàn)小且表現(xiàn)較差，得到的工資較低，甚至連一般水平也難以達(dá)到。這體現(xiàn)了工資調(diào)整的獎(jiǎng)優(yōu)罰劣原則。另外，調(diào)整后工資總體水平比調(diào)整前高出270元，四分位距為106，工資分布比調(diào)整前更加集中，在合適的范圍內(nèi)既拉開了差距，又不至于差距太懸殊，還針對(duì)特殊情況進(jìn)行了特殊處理。這種工資分布具有\(zhòng)o"激勵(lì)"激勵(lì)作用，可以說工資調(diào)整達(dá)到預(yù)期目的。箱線圖美中不足之處在于它不能提供關(guān)于數(shù)據(jù)分布偏態(tài)和尾重程度的精確度量；對(duì)于批量較大的數(shù)據(jù)批，箱線圖反映的形狀信息更加模糊；用中位數(shù)代表總體平均水平有一定的局限性等等。所以，應(yīng)用箱線圖最好結(jié)合其它描述統(tǒng)計(jì)工具如均值、\o"標(biāo)準(zhǔn)差"標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、分布函數(shù)等來描述數(shù)據(jù)批的分布形狀。[\o"編輯段落:用Excel繪制箱線圖的方法"編輯]用Excel繪制箱線圖的方法例：某研究者分別采用安慰劑、新藥10mg、新藥20mg治療三個(gè)隨機(jī)分組的阻塞性肺病病人，每組100例，治療兩周后測(cè)量最大呼氣量（forcedexpiratoryvolume,FEV）。每組測(cè)量后計(jì)算獲得的P100、P75、P50、P25、P0（即最大值、75%百分位數(shù)、中位數(shù)、25%百分位數(shù)、最小值**）（見下圖），試?yán)L制箱線圖。三種方案治療阻塞性肺病后的最大呼氣量箱線圖繪制箱線圖需要借助于股價(jià)圖中的“開盤-盤高-盤低-收盤圖”，該圖形需要將數(shù)據(jù)按一定的順序排列。因此繪制箱線圖時(shí)也需要將數(shù)據(jù)按P25、P100、P0、P50、P75的順序排列（P25與P75的順序可對(duì)調(diào)）。具體繪制步驟如下：①選取單元格區(qū)域A1:D5，單擊“圖表向?qū)А眻D標(biāo)如果圖片縮小請(qǐng)點(diǎn)擊放大，在彈出的“圖表類型”對(duì)話框中選中股價(jià)圖的“開盤-盤高-盤低-收盤圖”（第2個(gè)子圖表類型），按下一步鍵。②在圖表數(shù)據(jù)源對(duì)話框的數(shù)據(jù)區(qū)域中將“系列產(chǎn)生在”修改為“行”，按下一步鍵。③在“圖表選項(xiàng)”對(duì)話框的分類（X）軸下方填入“治療組”，在數(shù)值（Y）軸下方填入“最大呼氣量（FEV）”，按完成鍵。④在繪圖區(qū)點(diǎn)擊右鍵，選取“數(shù)據(jù)源→系列→添加”，在“名稱”右側(cè)用鼠標(biāo)選取單元格A6，在“值”右側(cè)用鼠標(biāo)選取單元格區(qū)域B6:D6按確定鍵。⑤在網(wǎng)格線上點(diǎn)擊右鍵，“清除”網(wǎng)格線；在繪圖區(qū)單擊右鍵“清除”背景色。⑥在橫坐標(biāo)上單擊右鍵，選取“坐標(biāo)軸格式→圖案”，右上部主要刻度線類型復(fù)選“無”，按確定鍵。⑦在縱坐標(biāo)上單擊右鍵，選取“坐標(biāo)軸格式→數(shù)字→數(shù)值”，小數(shù)位數(shù)改為“0”，按確定鍵。⑧在箱的中心位置P50系列標(biāo)志上單擊右鍵，選取“數(shù)據(jù)系列格式→圖案”，在界面右側(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記的樣式處選取“+”，前景顏色處選黑色，“大小”改為6磅，按確定鍵；在箱線圖的頂部P100系列標(biāo)志上單擊右鍵，選取“數(shù)據(jù)系列格式→圖案”，在界面右側(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記的樣式處選取長(zhǎng)橫線“－”，前景顏色處選黑色，“大小”改為6磅，按確定鍵；在箱線圖的底部P0系列標(biāo)志上單擊右鍵，選取“數(shù)據(jù)系列格式→圖案”，在界面右側(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記的樣式處選取長(zhǎng)橫線“－”，前景顏色處選黑色，“大小”改為6磅，按確定鍵。⑨適當(dāng)調(diào)整繪圖區(qū)的大小，調(diào)整整個(gè)圖表區(qū)域的字體大小，去除圖表區(qū)的邊框等，可獲得上圖右側(cè)的箱線圖。注：這五個(gè)值可以在Excel中用QUARTILE(array,quart)函數(shù)求得。由此處也可知，用Excel作箱線圖實(shí)際上也是一種間接的方式，并不是像SPSS等軟件那樣直接生成，從統(tǒng)計(jì)的角度來說，更重要的是這種方法不考慮Outliers，所以與其他軟件作出來的圖可能并不一樣。[編輯本段]箱線圖概述箱線圖（Boxplot）也稱箱須圖（Box-whiskerPlot），是利用數(shù)據(jù)中的五個(gè)統(tǒng)計(jì)量：最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)與最大值來描述數(shù)據(jù)的一種方法，它也可以粗略地看出數(shù)據(jù)是否具有有對(duì)稱性，分布的分散程度等信息，特別可以用于對(duì)幾個(gè)樣本的比較。[編輯本段]繪制步驟1、畫數(shù)軸，度量單位大小和數(shù)據(jù)批的單位一致，起點(diǎn)比最小值稍小，長(zhǎng)度比該數(shù)據(jù)批的全距稍長(zhǎng)。2、畫一個(gè)矩形盒，兩端邊的位置分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)批的上下四分位數(shù)（Q1和Q3）。在矩形盒內(nèi)部中位數(shù)（Xm）位置畫一條線段為中位線。3、在Q3＋1.5IQR（四分位距）和Q1－1.5IQR處畫兩條與中位線一樣的線段，這兩條線段為異常值截?cái)帱c(diǎn)，稱其為內(nèi)限；在F＋3IQR和F－3IQR處畫兩條線段，稱其為外限。處于內(nèi)限以外位置的點(diǎn)表示的數(shù)據(jù)都是異常值，其中在內(nèi)限與外限之間的異常值為溫和的異常值（mildoutliers），在外限以外的為極端的異常值(extremeoutliers)。4、從矩形盒兩端邊向外各畫一條線段直到不是異常值的最遠(yuǎn)點(diǎn)，表示該批數(shù)據(jù)正常值的分布區(qū)間。5、用“〇”標(biāo)出溫和的異常值，用“＊”標(biāo)出極端的異常值。相同值的數(shù)據(jù)點(diǎn)并列標(biāo)出在同一數(shù)據(jù)線位置上，不同值的數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)在不同數(shù)據(jù)線位置上。至此一批數(shù)據(jù)的箱線圖便繪出了。統(tǒng)計(jì)軟件繪制的箱線圖一般沒有標(biāo)出內(nèi)限和外限。[編輯本段]功能箱線圖作為描述統(tǒng)計(jì)的工具之一，其功能有獨(dú)特之處，主要有以下幾點(diǎn)：1.直觀明了地識(shí)別數(shù)據(jù)批中的異常值一批數(shù)據(jù)中的異常值值得關(guān)注，忽視異常值的存在是十分危險(xiǎn)的，不加剔除地把異常值包括進(jìn)數(shù)據(jù)的計(jì)算分析過程中，對(duì)結(jié)果會(huì)帶來不良影響；重視異常值的出現(xiàn)，分析其產(chǎn)生的原因，常常成為發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而改進(jìn)決策的契機(jī)。箱線圖為我們提供了識(shí)別異常值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：異常值被定義為小于Q1－1.5IQR或大于Q3＋1.5IQR的值。雖然這種標(biāo)準(zhǔn)有點(diǎn)任意性，但它來源于經(jīng)驗(yàn)判斷，經(jīng)驗(yàn)表明它在處理需要特別注意的數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)不錯(cuò)。這與識(shí)別異常值的經(jīng)典方法有些不同。眾所周知，基于正態(tài)分布的3σ法則或z分?jǐn)?shù)方法是以假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布為前提的，但實(shí)際數(shù)據(jù)往往并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布。它們判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)是以計(jì)算數(shù)據(jù)批的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為基礎(chǔ)的，而均值和標(biāo)準(zhǔn)差的耐抗性極小，異常值本身會(huì)對(duì)它們產(chǎn)生較大影響，這樣產(chǎn)生的異常值個(gè)數(shù)不會(huì)多于總數(shù)0.7%。顯然，應(yīng)用這種方法于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)中判斷異常值，其有效性是有限的。箱線圖的繪制依靠實(shí)際數(shù)據(jù)，不需要事先假定數(shù)據(jù)服從特定的分布形式，沒有對(duì)數(shù)據(jù)作任何限制性要求，它只是真實(shí)直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)形狀的本來面貌；另一方面，箱線圖判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)以四分位數(shù)和四分位距為基礎(chǔ)，四分位數(shù)具有一定的耐抗性，多達(dá)25%的數(shù)據(jù)可以變得任意遠(yuǎn)而不會(huì)很大地?cái)_動(dòng)四分位數(shù)，所以異常值不能對(duì)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)施加影響，箱線圖識(shí)別異常值的結(jié)果比較客觀。由此可見，箱線圖在識(shí)別異常值方面有一定的優(yōu)越性。2.利用箱線圖判斷數(shù)據(jù)批的偏態(tài)和尾重比較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、不同自由度的t分布和非對(duì)稱分布數(shù)據(jù)的箱線圖的特征，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大樣本，只有0.7%的值是異常值,中位數(shù)位于上下四分位數(shù)的中央,箱線圖的方盒關(guān)于中位線對(duì)稱。選取不同自由度的t分布的大樣本，代表對(duì)稱重尾分布，當(dāng)t分布的自由度越小，尾部越重，就有越大的概率觀察到異常值。以卡方分布作為非對(duì)稱分布的例子進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)卡方分布的自由度越小，異常值出現(xiàn)于一側(cè)的概率越大，中位數(shù)也越偏離上下四分位數(shù)的中心位置，分布偏態(tài)性越強(qiáng)。異常值集中在較小值一側(cè)，則分布呈現(xiàn)左偏態(tài)；；異常值集中在較大值一側(cè)，則分布呈現(xiàn)右偏態(tài)。下表列出了幾種分布的樣本數(shù)據(jù)箱線圖的特征（樣本數(shù)據(jù)由SAS的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)自動(dòng)生成），驗(yàn)證了上述規(guī)律。這個(gè)規(guī)律揭示了數(shù)據(jù)批分布偏態(tài)和尾重的部分信息，盡管它們不能給出偏態(tài)和尾重程度的精確度量，但可作為我們粗略估計(jì)的依據(jù)。3.利用箱線圖比較幾批數(shù)據(jù)的形狀同一數(shù)軸上，幾批數(shù)據(jù)的箱線圖并行排列，幾批數(shù)據(jù)的中位數(shù)、尾長(zhǎng)、異常值、分布區(qū)間等形狀信息便昭然若揭。在一批數(shù)據(jù)中，哪幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出類拔萃，哪些數(shù)據(jù)點(diǎn)表現(xiàn)不及一般，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)放在同類其它群體中處于什么位置，可以通過比較各箱線圖的異常值看出。各批數(shù)據(jù)的四分位距大小，正常值的分布是集中還是分散，觀察各方盒和線段的長(zhǎng)短便可明了。每批數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)如何，分