大工11秋工程力學(xué)輔導(dǎo)資料六

工程力學(xué)（二）輔導(dǎo)資料六主題：第二章第五、六節(jié)彎曲時(shí)的應(yīng)力、變形計(jì)算及強(qiáng)度、剛度條件，壓桿穩(wěn)定問題。學(xué)習(xí)時(shí)間：2011年11月7日－11月13日內(nèi)容：本周我們學(xué)習(xí)課程的第二章，彎曲時(shí)的應(yīng)力、變形計(jì)算及強(qiáng)度、剛度條件，壓桿穩(wěn)定問題，具體內(nèi)容如下：一、學(xué)習(xí)要求1、掌握梁的內(nèi)力圖-剪力圖與彎矩圖2、掌握剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系式3、掌握疊加法作剪力圖和彎矩圖4、掌握靜矩和形心的計(jì)算方法5、掌握慣性矩和慣性積的計(jì)算方法6、掌握慣性矩和慣性積的平移軸公式和轉(zhuǎn)軸公式7、掌握主慣性軸和主慣性矩8、了解梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力9、了解純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣10、了解梁的合理截面形狀11、了解矩形截面梁的切應(yīng)力12、了解工字形梁及其他形狀梁的切應(yīng)力13、了解切應(yīng)力強(qiáng)度條件二、主要內(nèi)容（一）梁的內(nèi)力圖-剪力圖與彎矩圖1、剪力與彎矩方程式：剪力和彎矩沿梁軸線方向的變化用方程表示2、剪力圖與彎矩圖：剪力和彎矩沿梁軸線方向的變化用圖形表示。（二）剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系式，。圖1；幾何意義1、剪力圖上某點(diǎn)處的斜率數(shù)值上等于荷載圖上該點(diǎn)的分布荷載值。2、彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率數(shù)值上等于剪力圖上該點(diǎn)的剪力值。線型判斷圖2剪力、彎矩與載荷集度間的積分關(guān)系式1、2、（三）靜矩和形心基本概念1、靜矩：面積對(duì)軸的一次矩。2、形心：面積的幾何中心。公式1、靜矩：，，符號(hào)：正、負(fù)。圖32、形心：由重心的公式得均質(zhì)物體形心的公式，，，注意：截面對(duì)形心軸的靜矩為零。（四）慣性矩和慣性積基本概念慣性矩：面積對(duì)軸的二次矩。公式1、慣性矩：2、極慣性矩：3、慣性積：，，4、慣性半徑：圖4性質(zhì)1、截面對(duì)互相垂直的兩軸的慣性矩之和等于截面對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。2、對(duì)通過O點(diǎn)的任意兩個(gè)互相垂直軸的慣性矩之和相等。即：3、慣性矩永遠(yuǎn)大于零，慣性積可正、負(fù)、零。4、當(dāng)截面有一個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，截面對(duì)包含該軸的一對(duì)軸的慣性積為零。圖55、圓截面的慣性矩和慣性積：，圖6（五）慣性矩和慣性積的平移軸公式和轉(zhuǎn)軸公式平移軸公式，，，注意的符號(hào)。圖7組合截面的慣性矩和慣性積，，慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式，圖8（六）主慣性軸和主慣性矩1、主慣性軸：慣性積為零的一對(duì)軸。2、主慣性矩：截面對(duì)主慣性軸的矩，主慣性矩為極值。3、形心主軸：主慣性軸過形心。4、形心主矩：截面對(duì)形心主軸的矩。（七）梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力基本概念純彎曲：即梁的橫截面上只有彎矩而無剪力，此時(shí)橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。圖9純彎下梁的變形特征圖10平面假設(shè)在純彎曲下梁變形后，橫截面仍保持平面，并與梁軸正交，相鄰橫截面只作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。各縱向纖維之間無擠壓或拉伸作用，此假設(shè)稱為單向受力假設(shè)。中性層：下部縱向纖維伸長(zhǎng)，上部縱向纖維縮短，且沿梁高度連續(xù)變化。所以，從伸長(zhǎng)區(qū)到縮短區(qū)，其間必有一層縱向纖維，它既不伸長(zhǎng)，也不縮短，這一層稱為中性層。中性軸：中性層和橫截面的交線。圖111、幾何方面圖12距中性層為處的任一縱向“纖維”正應(yīng)變與成正比。2、物理方面各縱向“纖維”均處于單向受力狀態(tài)，在線彈性材料范圍內(nèi)，由單向拉壓虎克定律，得出橫截面上距中性軸為的各點(diǎn)處正應(yīng)力。圖13橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與成正比。中性軸上的正應(yīng)力為零，最大正應(yīng)力的上下邊緣。發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)3、靜力學(xué)方面軸力為零，，得。表明橫截面面積對(duì)z軸的靜矩為零，證明了均勻材料梁的中性軸z必過橫截面的形心C。圖14內(nèi)力對(duì)y軸之矩為零，表明截面對(duì)y、z軸的慣性積為零，說明y、z軸是一對(duì)形心主軸。圖15內(nèi)力對(duì)之矩組成彎矩M，令，則。橫截面上距中性軸距離為處一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力公式：。其中，為橫截面對(duì)軸的慣性矩；稱為截面抗彎剛度。彎截面模量：；最大正應(yīng)力公式：。表中列出了簡(jiǎn)單截面的和計(jì)算公式。表中，為薄壁圓平均半徑。表1公式分析純彎曲正應(yīng)力公式：圖16式中是計(jì)算之點(diǎn)到中性軸的垂直距離；沿高度線性分布，的方向根據(jù)的轉(zhuǎn)向而定（如截面的彎矩為正，則中性軸以上受壓，以下受拉。相反，如截面的彎矩為負(fù)，則中性軸以上受拉，以下受壓）。純彎曲最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處的上下邊緣，中性軸上正應(yīng)力為零。（八）純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣對(duì)于細(xì)而長(zhǎng)的梁（跨高比），計(jì)算表明：可以將純彎曲理論推廣到橫力彎曲中。此結(jié)論將極大地?cái)U(kuò)展了該公式的使用范圍，并確定了它們?cè)诠こ讨械膶?shí)用價(jià)值。橫力彎曲中的正應(yīng)力公式為：（九）梁的合理截面形狀材料盡可能遠(yuǎn)離中性軸，此時(shí)彎矩為變量。圖17材料對(duì)梁截面形狀的影響1、塑性材料：因?yàn)榇祟惒牧系牧涸S用拉應(yīng)力等于許用壓應(yīng)力，故宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面，如矩形、圓形、工字形等。2、脆性材料：脆性材料的梁許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等，故宜采用對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面，如梯形、T字形、槽形等。變截面梁梁的彎矩不是常量，而是沿軸線變化，顯然等截面梁并不合理，為了充分發(fā)揮材料的潛力，減輕重量，常常根據(jù)彎矩的變化采用變截面梁。理想的變截面梁是使所有橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，這類梁稱為等強(qiáng)度梁。（十）矩形截面梁的切應(yīng)力剪應(yīng)力分布假設(shè)橫截面?zhèn)冗吿幍募魬?yīng)力平行于側(cè)邊，并考慮到矩形截面窄而高的幾何特征，橫截面上的剪應(yīng)力沿寬度均勻分布，其方向均平行于橫截面的側(cè)邊。圖18矩形梁對(duì)稱彎曲剪應(yīng)力公式的建立圖19公式分析：代表橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，其值為；代表橫截面上的剪力；代表橫截面的寬度；代表對(duì)中性軸的靜矩，為從欲求的剪應(yīng)力處（即處）沿寬度截?cái)嗪蟮牟糠謾M截面面積。切應(yīng)力的方向和剪力的方向一致的。矩形截面梁的切應(yīng)力沿截面高度的分布圖20處的切應(yīng)力為。矩形截面梁的剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布1、在截面的上下邊緣（）處，；2、在中性軸（）處，最大，其值為：。3、矩形截面的最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的倍。（