傳染病模型課件

背景

隨著人類(lèi)文明的不斷發(fā)展，衛(wèi)生設(shè)施的改善和醫(yī)療水平的提高，以前曾經(jīng)肆虐全球的一些傳染性疾病已經(jīng)得到了有效的控制，但是，伴隨著經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，一些新的傳染性疾病，如2003年時(shí)曾給世界人民帶來(lái)深重災(zāi)難的SARS病毒和如今依然在世界范圍蔓延的艾滋病毒，仍在危害著全人類(lèi)的健康.長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)等，一直是各國(guó)專(zhuān)家學(xué)者關(guān)注的課題.傳染病模型背景隨著人類(lèi)文明的不斷發(fā)展，衛(wèi)生設(shè)施的改善和醫(yī)11、問(wèn)題的提出描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型1、問(wèn)題的提出描述傳染病的傳播過(guò)程2已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為分析假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以3

4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設(shè)條件

SI模型有下面兩個(gè)假設(shè)條件：

(1)人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(lèi)(取兩個(gè)單詞的第一個(gè)字母，稱(chēng)之為SI模型).以下簡(jiǎn)稱(chēng)為健康者和病人，t時(shí)刻這兩類(lèi)人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記作s(t)和i(t).

(2)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)λ，λ稱(chēng)為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設(shè)條件

S4

2.模型的建立與求解

根據(jù)假設(shè)，總?cè)藬?shù)為N，每個(gè)病人每天可使λs(t)個(gè)健康者變?yōu)椴∪?，因?yàn)椴∪巳藬?shù)為Ni(t)，所以每天共有λNs(t)i(t)個(gè)健康者被感染，于是λNs(t)i(t)就是病人數(shù)Ni(t)的增加率，即有

(4.1)

又因?yàn)?/p>

s(t)＋i(t)＝1 (4.2)2.模型的建立與求解

5再記初始時(shí)刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

(4.3)

方程(4.3)是Logistic模型，它的解為

(4.4)

i(t)~t和

的圖形如圖4-1所示.再記初始時(shí)刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

6

圖4-1圖4-17

3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖4-1可知:

(1)當(dāng)

時(shí)，

達(dá)到最大值

，這個(gè)時(shí)刻為

(4.5)

這時(shí)病人人數(shù)增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)關(guān)注的時(shí)刻.tm與λ成反比，因?yàn)槿战佑|率λ表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，λ越小衛(wèi)生水平越高，所以改善保健設(shè)施，提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來(lái).3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖48(2)當(dāng)t→∞時(shí)，i→1，即所有人終將被感染，全變?yōu)椴∪?，這顯然不符合實(shí)際情況，其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈.

為了修正上述結(jié)果必須重新考慮模型的假設(shè).下面兩個(gè)模型中我們討論病人可以治愈的情況.(2)當(dāng)t→∞時(shí)，i→1，即所有人終將被感染，全變?yōu)椴∪?4.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫性，于是病人被治愈后變?yōu)榻】嫡撸】嫡哌€可以再被感染變?yōu)椴∪?，我們就這種情況建立的模型稱(chēng)為SIS模型.

4.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈10

1.模型的假設(shè)

SIS模型的假設(shè)條件(1)、(2)與SI模型的假設(shè)相同，增加的條件(即條件(3))為:

(3)病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為μ，稱(chēng)為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者，則 是這種傳染病的平均傳染期.1.模型的假設(shè)

SIS模型的假設(shè)條件(1)、(2)與11

2.模型的建立與求解

考慮到假設(shè)(3)，SI模型的式(4.1)應(yīng)修正為：

(4.6)

式(4.2)不變，于是式(4.3)應(yīng)改為：

(4.7)

2.模型的建立與求解

考慮到假設(shè)(3)，SI模型的式12方程(4.7)的解可表示為：

(4.8)

方程(4.7)的解可表示為：

(133.模型的分析討論

定義

(4.9)

注意到λ和 的含義可知，σ是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸的平均人數(shù)，稱(chēng)接觸數(shù)，由式(4.8)和(4.9)容易得到，當(dāng)t→∞時(shí)，

(4.10)

3.模型的分析討論

定義

(414根據(jù)式(4.8)~(4.10)可以畫(huà)出i(t)~t的圖形如圖4-2所示.

接觸數(shù)σ＝1是一個(gè)閾值，當(dāng)σ≤1時(shí)病人比例i(t)越來(lái)越小，最終趨于零，這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有效接觸從而使健康者變?yōu)椴∪说娜藬?shù)不超過(guò)原來(lái)病人人數(shù)的緣故；當(dāng)σ>1時(shí)，i(t)的增減性取決于i(0)的大小，但其極限值i(∞)＝1－1σ隨σ的增加而增加.

SI模型可視為本模型的特例.根據(jù)式(4.8)~(4.10)可以畫(huà)出i(t)~t的15

圖4-2圖4-2164.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設(shè)

大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng).這種情況下的模型假設(shè)條件為：

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三種，稱(chēng)SIR模型.三類(lèi)人在總?cè)藬?shù)N中所占的比例分別為s(t)、i(t)和r(t)；

(2)病人的日接觸率為λ，日治愈率為μ，σ＝λ/μ.

4.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設(shè)

大多數(shù)17

2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(t)＋i(t)＋r(t)＝1 (4.11)

根據(jù)條件(2)，方程(4.6)仍成立.對(duì)于病愈免疫的移出者而言，應(yīng)有

(4.12)

再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(>0)和i0(>0)(不妨設(shè)移出者的初始值r0＝0)，則由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以寫(xiě)為：2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(18

(4.13)

方程(4.13)無(wú)法求出s(t)和i(t)的解析解，我們轉(zhuǎn)到相平面s~i上來(lái)討論解的性質(zhì).相軌線的定義域(s，i)∈D應(yīng)為：

D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (4.14)

(4.13)

方程(4.19在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

(4.15)

容易求出方程(4.15)的解為：

(4.16)

則在定義域D內(nèi)，相軌線如圖4-3所示.圖中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

20

圖4-3圖4-3213.模型的分析討論

下面根據(jù)式(4.13)、(4.16)和圖4-3分析t→∞時(shí)s(t)、i(t)和r(t)的變化情況(它們的極限值分別記作s∞，i∞和r∞).

(1)首先，由式(5.4.13)，

，而s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知，

，而r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.

3.模型的分析討論

下面根據(jù)式(4.13)、(4.16)22其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對(duì)于充分大的t，有

，這將導(dǎo)致r∞＝∞，與r∞存在相矛盾.故不論初始條件s0，i0如何，病人終將消失，即

i∞＝0 (4.17)

從圖4-3上看，不論相軌線從p1或從p2出發(fā)，它終將與s軸相交.其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對(duì)于充分大的t23(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中令i＝0，得到s∞是方程

(4.18)

在 內(nèi)的單根，在圖4-3中s∞是相軌線

與s軸在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中24(3)若

，則i(t)先增加，當(dāng)

時(shí)，i(t)達(dá)到最大值

然后i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小至s∞.

(3)若 ，則i(t)先增加，當(dāng) 時(shí)，i(t)達(dá)到最25

(4)若

，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小至s∞.

可以看出，如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么 是一個(gè)閾值，當(dāng)

時(shí)傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)σ，即提高閾值，使得

，傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可認(rèn)為s0≈1)，我們注意到在

中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率λ越小，醫(yī)療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.(4)若 ，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小26從另一方面看，

是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱(chēng)為交換數(shù)，其含義是一個(gè)病人被σs個(gè)健康者交換.所以當(dāng)

，即σs0≤1時(shí)，必有σs≤1.既然交換數(shù)不超過(guò)1，病人比例i(t)絕不會(huì)增加，傳染病就不會(huì)蔓延.

從另一方面看， 是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)27我們看到在SIR模型中接觸數(shù)σ是一個(gè)重要參數(shù).σ可以由實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)，因?yàn)椴∪吮壤某跏贾礽0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得

(4.19)

于是當(dāng)傳染病結(jié)束而獲得s0和s∞以后，由式(4.19)能算出σ.另外，對(duì)血樣作免疫檢驗(yàn)也可以根據(jù)對(duì)檢驗(yàn)無(wú)反應(yīng)和有反應(yīng)，估計(jì)出s0和s∞，然后計(jì)算σ.我們看到在SIR模型中接觸數(shù)σ是一個(gè)重要參數(shù).σ可以由實(shí)28

4.模型驗(yàn)證

本世紀(jì)初在印度孟買(mǎi)發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了.死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門(mén)記錄了每天移出者的人數(shù)，依此實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證.

首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到

(4.20)

(4.21)4.模型驗(yàn)證

本世紀(jì)初在印度孟買(mǎi)發(fā)生的一次瘟疫中幾乎29當(dāng)

時(shí)，取式(4.21)右端e－σr泰勒展開(kāi)的前3項(xiàng)，在初始值r0＝0下的解為：

(4.22)

其中

.從式(4.22)容易算出

當(dāng) 時(shí)，取式(4.21)右端e－σr泰勒展開(kāi)的前3項(xiàng)，30

(4.23)

然后取定參數(shù)s0、σ等，畫(huà)出式(4.23)的圖形，如圖4-4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)表示.可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò).

(4.23)

然后取定參數(shù)s0、31

圖4-4圖4-432

5.SIR模型的應(yīng)用

下面介紹SIR模型的兩個(gè)應(yīng)用.

1)被傳染比例的估計(jì)

在一次傳染病的傳播過(guò)程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s0與t→∞的極限值s∞之差，記作x，假定i0很小，s0接近于1，由式(4.18)可得

(4.24)

5.SIR模型的應(yīng)用

下面介紹SIR模型的兩個(gè)應(yīng)用.33取對(duì)數(shù)函數(shù)泰勒展開(kāi)的前兩項(xiàng)有

(4.25)

記

，δ可視為該地區(qū)人口比例超過(guò)閾值 的部分.當(dāng)

時(shí)式(4.25)給出

(4.26)取對(duì)數(shù)函數(shù)泰勒展開(kāi)的前兩項(xiàng)有

(4.2534這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為δ的2倍.對(duì)一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的醫(yī)療和衛(wèi)生水平不變，即σ不變時(shí)，這個(gè)比例就不會(huì)改變.而當(dāng)閾值 提高時(shí)，δ減小，于是這個(gè)比例就會(huì)降低.這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為δ的2倍.對(duì)一種傳染352)群體免疫和預(yù)防

根據(jù)對(duì)SIR模型的分析，當(dāng)

時(shí)傳染病不會(huì)蔓延.所以為制止蔓延，除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平，使閾值變大以外，另一個(gè)途徑是降低s0，這可以通過(guò)如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值i0，有s0＝1－r0，于是傳染病不會(huì)蔓延的條件

可以表示為:

(4.27)2)群體免疫和預(yù)防

根據(jù)對(duì)SIR模型的分析，當(dāng) 時(shí)36這就是說(shuō)，只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例(即免疫者比例)r0滿足式(4.27)，就可以制止傳染病的蔓延.

這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的，據(jù)估計(jì)在印度等國(guó)天花傳染病的接觸數(shù)σ≈5，由式(4.27)知至少要有4/5的人接受免疫才行.據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高r0，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除.而有些傳染病的σ更高，根除就更加困難.這就是說(shuō)，只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例(即免疫37此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！38背景

隨著人類(lèi)文明的不斷發(fā)展，衛(wèi)生設(shè)施的改善和醫(yī)療水平的提高，以前曾經(jīng)肆虐全球的一些傳染性疾病已經(jīng)得到了有效的控制，但是，伴隨著經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，一些新的傳染性疾病，如2003年時(shí)曾給世界人民帶來(lái)深重災(zāi)難的SARS病毒和如今依然在世界范圍蔓延的艾滋病毒，仍在危害著全人類(lèi)的健康.長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)等，一直是各國(guó)專(zhuān)家學(xué)者關(guān)注的課題.傳染病模型背景隨著人類(lèi)文明的不斷發(fā)展，衛(wèi)生設(shè)施的改善和醫(yī)391、問(wèn)題的提出描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型1、問(wèn)題的提出描述傳染病的傳播過(guò)程40已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為分析假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以41

4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設(shè)條件

SI模型有下面兩個(gè)假設(shè)條件：

(1)人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(lèi)(取兩個(gè)單詞的第一個(gè)字母，稱(chēng)之為SI模型).以下簡(jiǎn)稱(chēng)為健康者和病人，t時(shí)刻這兩類(lèi)人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記作s(t)和i(t).

(2)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)λ，λ稱(chēng)為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設(shè)條件

S42

2.模型的建立與求解

根據(jù)假設(shè)，總?cè)藬?shù)為N，每個(gè)病人每天可使λs(t)個(gè)健康者變?yōu)椴∪?，因?yàn)椴∪巳藬?shù)為Ni(t)，所以每天共有λNs(t)i(t)個(gè)健康者被感染，于是λNs(t)i(t)就是病人數(shù)Ni(t)的增加率，即有

(4.1)

又因?yàn)?/p>

s(t)＋i(t)＝1 (4.2)2.模型的建立與求解

43再記初始時(shí)刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

(4.3)

方程(4.3)是Logistic模型，它的解為

(4.4)

i(t)~t和

的圖形如圖4-1所示.再記初始時(shí)刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

44

圖4-1圖4-145

3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖4-1可知:

(1)當(dāng)

時(shí)，

達(dá)到最大值

，這個(gè)時(shí)刻為

(4.5)

這時(shí)病人人數(shù)增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)關(guān)注的時(shí)刻.tm與λ成反比，因?yàn)槿战佑|率λ表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，λ越小衛(wèi)生水平越高，所以改善保健設(shè)施，提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來(lái).3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖446(2)當(dāng)t→∞時(shí)，i→1，即所有人終將被感染，全變?yōu)椴∪?，這顯然不符合實(shí)際情況，其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈.

為了修正上述結(jié)果必須重新考慮模型的假設(shè).下面兩個(gè)模型中我們討論病人可以治愈的情況.(2)當(dāng)t→∞時(shí)，i→1，即所有人終將被感染，全變?yōu)椴∪?74.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫性，于是病人被治愈后變?yōu)榻】嫡撸】嫡哌€可以再被感染變?yōu)椴∪?，我們就這種情況建立的模型稱(chēng)為SIS模型.

4.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈48

1.模型的假設(shè)

SIS模型的假設(shè)條件(1)、(2)與SI模型的假設(shè)相同，增加的條件(即條件(3))為:

(3)病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為μ，稱(chēng)為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者，則 是這種傳染病的平均傳染期.1.模型的假設(shè)

SIS模型的假設(shè)條件(1)、(2)與49

2.模型的建立與求解

考慮到假設(shè)(3)，SI模型的式(4.1)應(yīng)修正為：

(4.6)

式(4.2)不變，于是式(4.3)應(yīng)改為：

(4.7)

2.模型的建立與求解

考慮到假設(shè)(3)，SI模型的式50方程(4.7)的解可表示為：

(4.8)

方程(4.7)的解可表示為：

(513.模型的分析討論

定義

(4.9)

注意到λ和 的含義可知，σ是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸的平均人數(shù)，稱(chēng)接觸數(shù)，由式(4.8)和(4.9)容易得到，當(dāng)t→∞時(shí)，

(4.10)

3.模型的分析討論

定義

(452根據(jù)式(4.8)~(4.10)可以畫(huà)出i(t)~t的圖形如圖4-2所示.

接觸數(shù)σ＝1是一個(gè)閾值，當(dāng)σ≤1時(shí)病人比例i(t)越來(lái)越小，最終趨于零，這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有效接觸從而使健康者變?yōu)椴∪说娜藬?shù)不超過(guò)原來(lái)病人人數(shù)的緣故；當(dāng)σ>1時(shí)，i(t)的增減性取決于i(0)的大小，但其極限值i(∞)＝1－1σ隨σ的增加而增加.

SI模型可視為本模型的特例.根據(jù)式(4.8)~(4.10)可以畫(huà)出i(t)~t的53

圖4-2圖4-2544.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設(shè)

大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng).這種情況下的模型假設(shè)條件為：

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三種，稱(chēng)SIR模型.三類(lèi)人在總?cè)藬?shù)N中所占的比例分別為s(t)、i(t)和r(t)；

(2)病人的日接觸率為λ，日治愈率為μ，σ＝λ/μ.

4.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設(shè)

大多數(shù)55

2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(t)＋i(t)＋r(t)＝1 (4.11)

根據(jù)條件(2)，方程(4.6)仍成立.對(duì)于病愈免疫的移出者而言，應(yīng)有

(4.12)

再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(>0)和i0(>0)(不妨設(shè)移出者的初始值r0＝0)，則由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以寫(xiě)為：2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(56

(4.13)

方程(4.13)無(wú)法求出s(t)和i(t)的解析解，我們轉(zhuǎn)到相平面s~i上來(lái)討論解的性質(zhì).相軌線的定義域(s，i)∈D應(yīng)為：

D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (4.14)

(4.13)

方程(4.57在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

(4.15)

容易求出方程(4.15)的解為：

(4.16)

則在定義域D內(nèi)，相軌線如圖4-3所示.圖中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

58

圖4-3圖4-3593.模型的分析討論

下面根據(jù)式(4.13)、(4.16)和圖4-3分析t→∞時(shí)s(t)、i(t)和r(t)的變化情況(它們的極限值分別記作s∞，i∞和r∞).

(1)首先，由式(5.4.13)，

，而s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知，

，而r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.

3.模型的分析討論

下面根據(jù)式(4.13)、(4.16)60其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對(duì)于充分大的t，有

，這將導(dǎo)致r∞＝∞，與r∞存在相矛盾.故不論初始條件s0，i0如何，病人終將消失，即

i∞＝0 (4.17)

從圖4-3上看，不論相軌線從p1或從p2出發(fā)，它終將與s軸相交.其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對(duì)于充分大的t61(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中令i＝0，得到s∞是方程

(4.18)

在 內(nèi)的單根，在圖4-3中s∞是相軌線

與s軸在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中62(3)若

，則i(t)先增加，當(dāng)

時(shí)，i(t)達(dá)到最大值

然后i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小至s∞.

(3)若 ，則i(t)先增加，當(dāng) 時(shí)，i(t)達(dá)到最63

(4)若

，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小至s∞.

可以看出，如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么 是一個(gè)閾值，當(dāng)

時(shí)傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)σ，即提高閾值，使得

，傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可認(rèn)為s0≈1)，我們注意到在

中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率λ越小，醫(yī)療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.(4)若 ，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小64從另一方面看，

是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱(chēng)為交換數(shù)，其含義是一個(gè)病人被σs個(gè)健康者交換.所以當(dāng)

，即σs0≤1時(shí)，必有σs≤1.既然交換數(shù)不超過(guò)1，病人比例i(t)絕不會(huì)增加，傳染病就不會(huì)蔓延.

從另一方面看， 是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)65我們看到在SIR模型中接觸數(shù)σ是一個(gè)重要參數(shù).σ可以由實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)，因?yàn)椴∪吮壤某跏贾礽0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得

(4.19)

于是當(dāng)傳染病結(jié)束而獲得s0和s∞以后，由式(4.19)能算出σ.另外，對(duì)血樣作免疫檢驗(yàn)也可以根據(jù)對(duì)檢驗(yàn)無(wú)反應(yīng)和有反應(yīng)，估計(jì)出s0和s∞，然后計(jì)算σ.我們看到在SIR模型中接觸數(shù)σ是一個(gè)重要參數(shù).σ可以由實(shí)66

4.模型驗(yàn)證

本世紀(jì)初在印度孟買(mǎi)發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了.死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門(mén)記錄了每天移出者的人數(shù)，依此實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證.

首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到

(4.20)

(4.21)4.模型驗(yàn)證

本世紀(jì)初在印度孟買(mǎi)發(fā)生的一次瘟疫中幾乎67當(dāng)

時(shí)，取式(4.21)右端e－σr泰勒展開(kāi)的前3項(xiàng)，在初始值