全等三角形(常見(jiàn)輔助線)課件

專(zhuān)題學(xué)習(xí)----幾何證明中常見(jiàn)的“添輔助線”方法

1A專(zhuān)題學(xué)習(xí)----幾何證明中常見(jiàn)的1AⅠ.連結(jié)目的:構(gòu)造全等三角形或等腰三角形語(yǔ)言描述:連結(jié)XY注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法2AⅠ.連結(jié)目的:構(gòu)造全等三角形或等腰三角形語(yǔ)言描述:連結(jié)XY注Ⅰ.連結(jié)典例1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD1.連結(jié)AC構(gòu)造全等三角形2.連結(jié)BD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形3AⅠ.連結(jié)典例1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠Ⅰ.連結(jié)典例2:如圖,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,

求證:點(diǎn)M是CD的中點(diǎn).ACBD連結(jié)AC、AD構(gòu)造全等三角形EM4AⅠ.連結(jié)典例2:如圖,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,Ⅰ.連結(jié)典例3:如圖,AB=AC,BD=CD,M、N分別是BD、CD的中點(diǎn)，求證：∠AMB＝∠ANCACBD連結(jié)AD構(gòu)造全等三角形NM5AⅠ.連結(jié)典例3:如圖,AB=AC,BD=CD,M、N分別是Ⅰ.連結(jié)練一練:如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長(zhǎng).ACBD連結(jié)BD構(gòu)造全等三角形O6AⅠ.連結(jié)練一練:如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD目的:構(gòu)造直角三角形（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離）,得到距離相等語(yǔ)言描述:過(guò)點(diǎn)X作XY⊥MN注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段7A目的:構(gòu)造直角三角形（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離）,得到距Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例1:如圖,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求點(diǎn)D到AB的距離.ACD過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BE8AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例1:如圖,△ABC中,∠Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例2:如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,

求證:BC=AB+CD.ACD過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BFE9AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例2:如圖,梯形中,∠A=Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例3:如圖,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,

求證:PD=PE.ACD過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA,PG⊥OB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BF思考:

你從本題中還能得到哪些結(jié)論?EPGO10AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例3:如圖,OC平分∠AOⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練：如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,BE的延長(zhǎng)線交CD延長(zhǎng)線與F，求證:CF=AB+CD.過(guò)E點(diǎn)做BC的垂線，構(gòu)造了:全等的直角三角形FACDBE11AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練：如圖,梯形中,∠A=Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練:如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,(1)求證:AB=AC+DC.ACD過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BE

(2)若AB=15cm,求△BED的周長(zhǎng)是多少?12AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練:如圖,△ABC中,∠目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法Ⅲ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段13A目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注Ⅲ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段典例1、如圖，∠ACB=90°，AC=BC，D為△ABC外一點(diǎn)，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．求證：DE=AE+BC．連結(jié)CD,構(gòu)造了一個(gè)等腰三角形14AⅢ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段典例1、如圖，∠ACB=90°Ⅲ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段練一練：△ABC中，AD平分∠BAC，DE是BC的中垂線，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求證：BM＝CN15AⅢ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段練一練：△ABC中，AD平分∠目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法Ⅳ.中線延長(zhǎng)一倍16A目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注典例1.AD是△ABC的中線，Ⅳ.中線延長(zhǎng)一倍ABCDE延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE.17A典例1.AD是△ABC的中線，Ⅳ.中線延長(zhǎng)一倍ABCDE延長(zhǎng)典例1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,則△DBE的周長(zhǎng)是多少?Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB18A典例1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分典例2.如圖,△ABC中,D在AB的垂直平分線上,E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求△ADE的周長(zhǎng).Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“垂直平分線性質(zhì)”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC19A典例2.如圖,△ABC中,D在AB的垂直平分線上,Ⅴ.“周同上例：如圖,A、A1關(guān)于OM對(duì)稱(chēng),A、A2關(guān)于ON對(duì)稱(chēng).若A1A2=6cm,求△ABC的周長(zhǎng).Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“垂直平分線性質(zhì)”BACOMAB+AC+BCA1B+A2C+BCA1

A2A1A2N20A同上例：如圖,A、A1關(guān)于OM對(duì)稱(chēng),A、A2關(guān)于ON對(duì)稱(chēng).典例3.如圖,△ABC中，MN是AC的垂直平分線.若AN=3cm,△ABM周長(zhǎng)為13cm，求△ABC的周長(zhǎng).Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“垂直平分線性質(zhì)”BACMAB+BC+ACAB+BM+MC+6NAB+BM+AM+613+621A典例3.如圖,△ABC中，MN是AC的垂直平分線.Ⅴ.“周練一練：如圖,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分線，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周長(zhǎng)為13cm，求△ABC的周長(zhǎng).Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“等腰三角形性質(zhì)”BACPAB+AC+BCAM+BM+AN+NC+6NAM+MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+622A練一練：如圖,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分線，完再見(jiàn)23A完23A專(zhuān)題學(xué)習(xí)----幾何證明中常見(jiàn)的“添輔助線”方法

24A專(zhuān)題學(xué)習(xí)----幾何證明中常見(jiàn)的1AⅠ.連結(jié)目的:構(gòu)造全等三角形或等腰三角形語(yǔ)言描述:連結(jié)XY注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法25AⅠ.連結(jié)目的:構(gòu)造全等三角形或等腰三角形語(yǔ)言描述:連結(jié)XY注Ⅰ.連結(jié)典例1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD1.連結(jié)AC構(gòu)造全等三角形2.連結(jié)BD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形26AⅠ.連結(jié)典例1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠Ⅰ.連結(jié)典例2:如圖,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,

求證:點(diǎn)M是CD的中點(diǎn).ACBD連結(jié)AC、AD構(gòu)造全等三角形EM27AⅠ.連結(jié)典例2:如圖,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,Ⅰ.連結(jié)典例3:如圖,AB=AC,BD=CD,M、N分別是BD、CD的中點(diǎn)，求證：∠AMB＝∠ANCACBD連結(jié)AD構(gòu)造全等三角形NM28AⅠ.連結(jié)典例3:如圖,AB=AC,BD=CD,M、N分別是Ⅰ.連結(jié)練一練:如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長(zhǎng).ACBD連結(jié)BD構(gòu)造全等三角形O29AⅠ.連結(jié)練一練:如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD目的:構(gòu)造直角三角形（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離）,得到距離相等語(yǔ)言描述:過(guò)點(diǎn)X作XY⊥MN注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段30A目的:構(gòu)造直角三角形（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離）,得到距Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例1:如圖,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求點(diǎn)D到AB的距離.ACD過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BE31AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例1:如圖,△ABC中,∠Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例2:如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,

求證:BC=AB+CD.ACD過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BFE32AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例2:如圖,梯形中,∠A=Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例3:如圖,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,

求證:PD=PE.ACD過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA,PG⊥OB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BF思考:

你從本題中還能得到哪些結(jié)論?EPGO33AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例3:如圖,OC平分∠AOⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練：如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,BE的延長(zhǎng)線交CD延長(zhǎng)線與F，求證:CF=AB+CD.過(guò)E點(diǎn)做BC的垂線，構(gòu)造了:全等的直角三角形FACDBE34AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練：如圖,梯形中,∠A=Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練:如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,(1)求證:AB=AC+DC.ACD過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BE

(2)若AB=15cm,求△BED的周長(zhǎng)是多少?35AⅡ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段練一練:如圖,△ABC中,∠目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法Ⅲ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段36A目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注Ⅲ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段典例1、如圖，∠ACB=90°，AC=BC，D為△ABC外一點(diǎn)，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．求證：DE=AE+BC．連結(jié)CD,構(gòu)造了一個(gè)等腰三角形37AⅢ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段典例1、如圖，∠ACB=90°Ⅲ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段練一練：△ABC中，AD平分∠BAC，DE是BC的中垂線，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求證：BM＝CN38AⅢ.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段練一練：△ABC中，AD平分∠目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注意點(diǎn):雙添---在圖形上添虛線在證明過(guò)程中描述添法Ⅳ.中線延長(zhǎng)一倍39A目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等語(yǔ)言描述:連結(jié)XM和XN注典例1.AD是△ABC的中線，Ⅳ.中線延長(zhǎng)一倍ABCDE延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE.40A典例1.AD是△ABC的中線，Ⅳ.中線延長(zhǎng)一倍ABCDE延長(zhǎng)典例1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,則△DBE的周長(zhǎng)是多少?Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB41A典例1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分典例2.如圖,△ABC中,D在AB的垂直平分線上,E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求△ADE的周長(zhǎng).Ⅴ.“周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化

借助“垂直平分線性質(zhì)”BACDEAD+AE+DEBD+C