習題word版：第一章 三角形的證明

第一章三角形的證明1．1等腰三角形第1課時全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)根底題知識點1全等三角形的性質(zhì)與判定1．如圖，△ABC≌△BAD.假設AB＝6，AC＝4，BC＝5，那么AD的長為(B)A．4 B．5 C．6 D．以上都不對2．如圖，假設能用AAS來判定△ACD≌△ABE，那么需要添加的條件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，那么∠B＝120°．4．如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，那么DF＝6．5．(教材P4習題T1變式)將下面證明中每一步的理由寫在括號內(nèi)．：如圖，∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求證：AD＝BC.證明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，()∴∠CAB＋∠DAC＝∠DBA＋∠CBD，即∠DAB＝∠CBA.(等量代換)在△ADB和△BCA中，∵∠DBA＝∠CAB()，AB＝BA()，∠DAB＝∠CBA(已證)，∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC(全等三角形的對應邊相等)．6．(2022·黃岡)：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM.證明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AN，,∠BAD＝∠NAM，,AD＝AM，))∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.知識點2等腰三角形的性質(zhì)7．(2022·淮安改編)假設等腰三角形的頂角為50°，那么它的底角度數(shù)為(D)A．40° B．50° C．60° D．65°8．等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，那么此三角形的周長為(D)A．13 B．14 C．15 D．13或149．(2022·蘭州)如圖，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，那么∠2的度數(shù)是(A)A．50° B．60° C．65° D．70°10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D.假設AB＝6，CD＝4，那么△ABC的周長是20．易錯點1未考慮三角形的三邊關系致錯11．實數(shù)x，y滿足|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，那么以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是(B)A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不對易錯點2忽略等腰三角形的頂角為鈍角的情況致錯12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°，那么∠B等于70°或20°．中檔題13．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BD＝CD，那么以下結論錯誤的選項是(C)A．AB＝AC B．AD平分∠BACC．AB＝BC D．∠BAC＝90°14．(2022·湖州)如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．假設AB＝AC，∠CAD＝20°，那么∠ACE的度數(shù)是(B)A．20° B．35° C．40° D．70°15．(2022·遵義)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，BD＝AD＝AC，E為CD的中點．假設∠CAE＝16°，那么∠B為37°．16．如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組加以證明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一，如選擇證明△ABE≌△CDF，證明如下：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.證明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEF＝∠CEB，,AE＝CE，,∠EAF＝∠ECB，))∴△AEF≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，BC＝2CD.∴AF＝2CD.綜合題18．(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E在邊AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)；(2)如圖2，在△ABC中，∠ACB＝40°，點D，E在直線AB上，且AD＝AC，BE＝BC，那么∠DCE＝110°；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，點D，E在直線AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)(直接寫出答案，用含n的式子表示)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.(3)①如圖1，∠DCE＝90°－eq\f(1,2)n°；②如圖2，∠DCE＝90°＋eq\f(1,2)n°；③如圖3，∠DCE＝eq\f(1,2)n°；④如圖4，∠DCE＝eq\f(1,2)n°.

第2課時等邊三角形的性質(zhì)根底題知識點1等腰三角形相關線段的性質(zhì)1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分別為邊AC，AB上的中線．假設BD＝5，那么CE＝5．2．證明：等腰三角形兩腰上的高相等．：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D.求證：BD＝CE.證明：∵CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴BD＝CE.知識點2等邊三角形的性質(zhì)3．如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠1＋∠2＝(C)A．60° B．90° C．120° D．180°4．(2022·湘潭)如圖，在等邊△ABC中，點D是邊BC的中點，那么∠BAD＝30°．5．如圖，△ABC為等邊三角形，AC∥BD，那么∠CBD＝120°．6．如圖，在等邊△ABC中，AD為高．假設AB＝6，那么CD的長度為3．7．等邊△ABC的邊長如下圖，那么y＝3．8．如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點B在直線m上，延長AC，交直線m于點D.假設∠1＝20°，求∠2的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線．求證：BE＝BD.證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，∴AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，AD為∠BAC的平分線．∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＝30°.在△ABE和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠BAE＝∠BAD，,AB＝AB，))∴△ABE≌△ABD(SAS)．∴BE＝BD.中檔題10．(2022·福建)如圖，等邊△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC＝45°，那么∠ACE等于(A)A．15° B．30° C．45° D．60°11．如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD和△BCE是等邊三角形，連接AE，交BD于點P，連接CD，分別交BE，AE于點Q，M，連接BM，PQ，那么∠AMD的度數(shù)為(B)A．45° B．60° C．75° D．90°12．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，CD，BE交于點O，那么∠BOC的度數(shù)是120°．13．如圖，等邊△ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，那么∠EFD＝45°．14．如圖，在等邊△ABC中，D是BC上的一點，延長AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點O.求∠E的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，BF是△ABC的高，∴∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO為∠BAE的平分線，∴∠BAO＝∠EAO.在△ABO和△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAO＝∠EAO，,AO＝AO，))∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30°.15．(教材P7習題T3變式)如圖，△ABC為等邊三角形，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于點Q.(1)求證：AM＝BN；(2)求∠BQM的度數(shù)．解：(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABM＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵△AMB≌△BNC，∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.綜合題16．，如下圖，P為等邊△ABC內(nèi)的一點，它到三邊AB，AC，BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，那么h與h1，h2，h3有何數(shù)量關系？寫出你的猜測并加以證明．解：猜測：h1＋h2＋h3＝h.證明如下：連接PA，PB，PC.∵S△PAB＝eq\f(1,2)AB·h1，S△PAC＝eq\f(1,2)AC·h2，S△PBC＝eq\f(1,2)BC·h3，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·h，S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，∴eq\f(1,2)AB·h1＋eq\f(1,2)AC·h2＋eq\f(1,2)BC·h3＝eq\f(1,2)BC·h.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC.∴h1＋h2＋h3＝h.

第3課時等腰三角形的判定與反證法根底題知識點1等腰三角形的判定1．在△ABC中，∠B＝∠C，那么(B)A．AB＝BC B．AB＝ACC．BC＝AC D．∠A＝60°2．如圖，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，那么△ABC一定是(C)A．任意三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．直角三角形3．如圖，AC，BD相交于點O，∠A＝∠D，如果請你再補充一個條件，使得△BOC是等腰三角形，那么你補充的條件不能是(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4．(2022·西安月考)以下能判定△ABC為等腰三角形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周長為135．如圖，OC平分∠AOB，CD∥OB.假設OD＝3cm，那么CD＝3cm.6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，假設添加以下條件中的一個：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成為等腰三角形的有①②．7．：如圖，AB＝BC，DE∥AC，求證：△DBE是等腰三角形．證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知識點2反證法8．用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個角是直角〞第一步應假設一個三角形中有兩個角是直角．9．用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角．：等腰△ABC中，AB＝AC.求證：∠B，∠C必定是銳角．證明：①假設等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，那么∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾；②假設等腰三角形的底角∠B，∠C都是鈍角，即∠B＋∠C＞180°，那么∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾．綜上所述，假設①，②錯誤，所以∠B，∠C只能為銳角．故等腰三角形的底角必定為銳角．10．用反證法證明：直線a∥c，b∥c，求證：a∥b.證明：假設a與b相交于點M，那么過M點有兩條直線平行于直線c，這與“過直線外一點平行于直線的直線有且只有一條〞相矛盾，所以假設不成立，即a∥b.易錯點找點的標準不明確致錯11．(2022·西安月考)如圖，在平面直角坐標系中，點A(2，2)在第一象限，點P在x軸上．假設以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，那么滿足條件的點P共有(C)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個中檔題12．(2022·鄭州月考)，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過點O作DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.假設BD＋CE＝5，那么線段DE的長為(A)A．5 B．6 C．7 D．813．在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°.假設用反證法證這個結論，應首先假設∠B≥90°．14．(2022·邵陽)如下圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點A落在點C處．假設AE＝eq\r(3)，那么BC的長是eq\r(3)．15．(2022·內(nèi)江)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為D，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．證明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.∴△BDE是等腰三角形．16．如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，延長BC到點E，使CE＝CD，連接DE.(1)成逸同學說：BD＝DE，她說得對嗎？請你說明理由；(2)小敏同學說：把“BD平分∠ABC〞改成其他條件，也能得到同樣的結論，你認為應該如何改呢？解：(1)BD＝DE是正確的．理由：∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.(2)可改為：BD⊥AC(或點D為AC中點)．理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.綜合題17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動(D不與B，C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E.(1)當∠BDA＝115°時，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變小(填“大〞或“小〞)；(2)當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，△ADE可以是等腰三角形嗎？假設可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；假設不可以，請說明理由．解：(2)當DC＝2時，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA的度數(shù)為110°或80°.

第4課時等邊三角形的判定根底題知識點1等邊三角形的判定1．在△ABC中，假設AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC是(B)A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定2．以下說法不正確的選項是(D)A．有兩個角分別為60°的三角形是等邊三角形B．頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形C．底角為60°的等腰三角形是等邊三角形D．有一個角為60°的三角形是等邊三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，那么AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如圖，將兩個完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，那么拼接后的△ABD的形狀是等邊三角形．5．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，假設衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，那么此時A，B兩點之間的距離是18cm.6．如圖，點D，E在線段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求證：△ADE為等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE為等邊三角形．知識點2含30°角的直角三角形的性質(zhì)7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，那么BC＝(C)A．8 B．6 C．4 D．28．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么BC∶AB等于(B)A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶39．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于點D.假設CD＝1，那么BD＝2．10．如圖，這是某超市自動扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h＝米，自動扶梯的傾角為30°，假設自動扶梯運行速度為v＝米/秒，那么顧客乘自動扶梯上一層樓的時間為26秒．11．如圖，鐵路AC與鐵路AD相交于車站A，B區(qū)在∠CAD的平分線上，且距車站A為20千米，∠DAC＝60°，那么B區(qū)距鐵路AC的距離為10千米．12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，BC＝8cm，求AD的長．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16cm.又∵CD⊥AB于點D，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝eq\f(1,2)BC＝4cm.∴AD＝AB－DB＝12cm.中檔題13．如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點C落在斜邊AB上的點E處，CD＝1，∠B＝30°，那么BD的長是(B)A．1 B．2 \r(3) D．2eq\r(3)14．(2022·玉林)如圖，∠AOB＝60°，OA＝OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側作等邊△ACD，連接BD，那么BD所在直線與OA所在直線的位置關系是(A)A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直15．如圖，∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝12，點M，N在邊OB上，PM＝PN.假設MN＝2，那么OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．616．如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連接PQ交AC于點D，那么DE的長為(B)\f(1,3) \f(1,2) \f(2,3) D．不能確定17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊的中線，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF.(1)求證：△AED是等邊三角形；(2)假設AB＝2，那么四邊形AEDF的周長是4．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°.∴AD＝eq\f(1,2)AB.∵點E為AB的中點，∴AE＝eq\f(1,2)AB.∴AE＝AD.∴△ADE是等邊三角形．綜合題18．在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，連接AC.(1)如圖1，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝CF.求證：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等邊三角形；(2)假設點E在BC的延長線上，那么在直線CD上是否存在點F，使△AEF是等邊三角形？請證明你的結論(圖2備用)．解：(1)證明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等邊三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(2)存在．證明：在CD的延長線上取點F，在BC的延長線上取點E，使CF＝BE，連接AE，EF，AF.與(1)①同理，可證△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.∴∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(注：假設在CD的延長線上取點F，使CE＝DF也可)

小專題1等腰三角形中常見的數(shù)學思想思想方法1分類討論思想類型1針對腰長和底邊長進行分類1．等腰三角形一邊長等于5，另一邊長等于9，那么它的周長是(D)A．14 B．23 C．19 D．19或232．假設實數(shù)x，y滿足|x－5|＋eq\r(y－10)＝0，那么以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為25．3．等腰△ABC中，一腰AC上的中線BD將三角形的周長分成9cm和12cm兩局部，那么這個三角形的腰長和底邊長分別為6__cm和9__cm或8__cm和5__cm．類型2針對頂角和底角進行分類4．假設等腰三角形中有一個角等于70°，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是(C)A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°5．一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，那么這個等腰三角形頂角的度數(shù)為120°或20°．6．如果等腰三角形中的一個角是另一個角度數(shù)的一半，那么該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)為45°，45°，90°或36°，72°，72°．7．等腰三角形有一個角為52°，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度？解：①假設的這個角為頂角，那么底角的度數(shù)為(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高與底邊的夾角為26°；②假設的這個角為底角，那么一腰上的高與底邊的夾角為38°.故所求的一腰上的高與底邊的夾角為26°或38°.類型3針對銳角、直角和鈍角三角形進行分類8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，那么底角∠B等于(C)A．20° B．60°或20°C．65°或25° D．60°9．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為6，那么其底邊上的高是3或3eq\r(3)．10．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．解：分兩種情況討論：①假設∠A＜90°，如圖1所示．∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－54°)＝63°.②假設∠A＞90°，如圖2所示．同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)∠DAB＝27°.綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為63°或27°.類型4確定等腰三角形的數(shù)目11．平面直角坐標系中，A(2，2)，B(4，0)．假設在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，那么滿足條件的點C的個數(shù)是(A)A．5 B．6 C．7 D．812．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，那么符合條件在點P共有(B)A．7個 B．6個 C．5個 D．4個類型5等腰三角形中的動點問題13．如圖，∠BOC＝60°，點A是BO延長線上的一點，OA＝10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動．如果點P，Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間，當t＝eq\f(10,3)或10s時，△POQ是等腰三角形．14．O為等邊△ABD的邊BD的中點，AB＝4，E，F(xiàn)分別為射線AB，DA上一動點，且∠EOF＝120°，假設AF＝1，求BE的長．解：當F點在線段DA的延長線上時，如圖1，過點O作OM∥AB交AD于點M，∵O為等邊△ABD的邊BD的中點，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.∴△ODM為等邊三角形．∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM.而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴BE＝MF＝3.當F點在線段AD上時，如圖2，同理可證△OMF≌△OBE，那么BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.

思想方法2方程思想15．(2022·西安月考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，且BD＝BC＝AD，那么∠A的度數(shù)為(B)A．30° B．36° C．45° D．70°16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度數(shù)．解：設∠A＝x°，∵BC＝BD＝ED＝EA，∴∠ADE＝∠A＝x°.∴∠DEB＝∠DBE＝2x°.∴∠BDC＝∠C＝3x°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x°.在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，即x＋3x＋3x＝180.∴x＝eq\f(180,7).∴∠A為eq\f(180°,7).思想方法3整體思想17．在△ABC中，∠A＝α，點D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上．(1)如圖1，假設BE＝BD，CD＝CF，那么∠EDF＝90°－eq\f(1,2)α；(2)如圖2，假設BD＝DE，DC＝DF，那么∠EDF＝180°－2α；(3)如圖3，假設BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，那么∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)；(4)如圖4，假設DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，那么∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)．

小專題2特殊三角形中常見輔助線的作法類型1利用等腰三角形的“三線合一〞作輔助線1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于點E，且BE＝eq\f(1,2)BC.假設∠EAB＝20°，那么∠BAC＝40°．2．如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE.求證：BD＝CE.證明：過點A作AP⊥BC于點P.∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.∴BP－DP＝PC－PE，即BD＝CE.3．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于點D，E是AD上一點，且EA＝EC，求證：EB⊥AB.證明：過點E作EF⊥AC于點F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝eq\f(1,2)AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC交BC于點D，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABE和△AFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AF，,∠BAE＝∠FAE，,AE＝AE，))∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.4．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O為AB的中點，OE⊥OF交AC，BC于點E，F(xiàn).求證：OE＝OF.證明：連接OC.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°.∴OC＝OB.又∵點O為AB的中點，∴CO⊥AB.∴∠COB＝90°.又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.在△EOC和△FOB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOC＝∠FOB，,OC＝OB，,∠OCE＝∠OBF，))∴△EOC≌△FOB(ASA)．∴OE＝OF.類型2巧用特殊角構造含30°角的直角三角形5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，DE＝2，那么BC的長為12．6．如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，那么CD＝2．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，DE⊥AC于點E，AE＝2，求CE的長．解：連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，∴∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，∠ADC＝90°.∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.∴AD＝2AE＝4.又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°，∴AC＝2AD＝8.∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.8．如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，BD⊥BC于點B，∠ABD＝30°，求證：AB＝2BC.證明：過點A作AM⊥BD，交BD的延長線于點M.∵在Rt△ABM中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AM.∵BD為AC邊上的中線，∴AD＝CD.∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.在△BCD和△MAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBC＝∠DMA，,∠BDC＝∠MDA，,CD＝AD，))∴△BCD≌△MAD(AAS)．∴BC＝AM.∴AB＝2BC.

小專題3構造等腰三角形的常用方法方法1利用平行線構造等腰三角形①利用“角平分線＋平行線〞構造等腰三角形．假設∠1＝∠2，AC∥OB，那么△OAC為等腰三角形．②作腰的平行線構造等腰三角形．假設AB＝AC，DE∥AC，那么△BDE為等腰三角形．③作底邊的平行線構造等腰三角形．假設AB＝AC，DE∥BC，那么△ADE為等腰三角形．1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BD＝CE，DE交BC于點F，求證：DF＝EF.證明：過點D作DM∥AC交BC于點M，∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠DMB.∴BD＝MD.∵BD＝CE，∴MD＝CE.在△DMF和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MDF＝∠E，,∠MFD＝∠CFE，,MD＝CE，))∴△DMF≌△ECF(AAS)．∴DF＝EF.2．△ABC為等邊三角形，點D為AC上的一個動點，點E為BC延長線上一點，且BD＝DE.(1)如圖1，假設點D在邊AC上，猜測線段AD與CE之間的關系，并說明理由；(2)如圖2，假設點D在AC的延長線上，(1)中的結論是否成立，請說明理由．解：(1)AD＝CE.理由：過點D作DP∥BC，交AB于點P，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°.∴△APD也是等邊三角形．∴AP＝PD＝AD.∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC.∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD.∴∠PDB＝∠DEC.又∵∠BPD＝∠A＋∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A＋∠ABC＝120°，∴∠BPD＝∠DCE.在△BPD和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDB＝∠CED，,∠BPD＝∠DCE，,DB＝DE，))∴△BPD≌△DCE(AAS)．∴PD＝CE.∴AD＝CE.(2)AD＝CE成立．理由：過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°.∴△APD也是等邊三角形．∴AP＝PD＝AD.∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC.∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD.∴∠PDB＝∠DEC.在△BPD和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDB＝∠CED，,∠P＝∠DCE＝60°，,DB＝DE，))∴△BPD≌△DCE(AAS)．∴PD＝CE.∴AD＝CE.方法2運用倍角關系構造等腰三角形在△ABC中，∠ACB＝eq\f(1,2)∠ABC.①如圖1，作∠ABC的平分線BD，那么可構造等腰△BDC；②如圖2，∠BCE＝2∠ACB，交BA的延長線于點E，那么可構造等腰△BCE；③如圖3，延長CB至點D，使BD＝AB，那么可構造兩個等腰三角形，如△ABD，△ADC；④如圖4，作∠BCE＝∠ACB，交AB的延長線于點E，那么可構造等腰△BCE.3．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且∠ABC＝2∠C，求證：AB＋BD＝AC.解：證法1：在邊AC上截取AP＝AB，連接PD.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠PAD.在△ABD和△APD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AP，,∠BAD＝∠PAD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD＝∠B，PD＝BD.∵∠B＝2∠C，∴∠APD＝2∠C.∴∠PDC＝∠C.∴PD＝PC.∴AB＋BD＝AC.證法2：延長AB至點E，使BE＝BD，連接DE，證△AED全等于△ACD即可．證法3：延長CB至E，使BE＝AB，連接AE，那么∠E＝∠C＝∠EAB，易證∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB＋BD.方法3截長補短構造等腰三角形4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．(用截長法與補短法兩種方法解答)解：方法1：(截長法)在CD上取點E，使DE＝BD，連接AE，那么CE＝AB＝AE.∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝20°.方法2：(補短法)延長DB至點F，使BF＝AB，那么AB＋BD＝DF＝CD.∴AF＝AC，∠C＝∠F＝eq\f(1,2)∠ABC.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝20°.5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點D，求證：BC＝CD＋AB.(用兩種方法)解：方法1：(截長法)在BC上取點E，使BE＝BA，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.在△ABD和△EBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝EB，,∠ABD＝∠EBD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△EBD(SAS)．∴∠BAC＝∠BED＝108°.∴∠DEC＝72°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°.∴∠CDE＝72°.∴∠CDE＝∠CED＝72°.∴CD＝CE.那么BC＝BE＋EC＝AB＋CD.方法2：(補短法)延長BA至點E′，使BE′＝BC，連接DE′，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠E′BD.在△E′BD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(E′B＝CB，,∠E′BD＝∠CBD，,BD＝BD，))∴△E′BD≌△CBD(SAS)．∴DE′＝DC，∠E′＝∠C＝36°.∵∠E′AD＝72°，∴∠E′DA＝∠E′AD＝72°.∴E′A＝E′D.∴CD＝DE′＝AE′.那么BC＝BE′＝AB＋AE′＝AB＋CD.

直角三角形第1課時勾股定理及其逆定理根底題知識點1直角三角形的性質(zhì)及判定1．在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，那么另一個銳角的度數(shù)是(D)A．120° B．90° C．60° D．30°2．由以下條件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2022·遵義)a∥b，某學生將一直角三角板如下圖放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度數(shù)為(B)A．35° B．55° C．56° D．65°知識點2勾股定理及其逆定理4．(2022·西安期中)以下各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1，eq\r(2)5．如圖，點D在△ABC的邊AC上，將△ABC沿BD翻折后，點A恰好與點C重合．假設BC＝5，CD＝3，那么BD的長為(D)A．1 B．2 C．3 D．46．(2022·成都)如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是eq\r(5)－1．7．(2022·西安月考)等腰直角三角形中，假設斜邊長為16，那么直角邊的長為8eq\r(2)．8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四邊形ABCD的面積．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(132－122)＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)AB·BC＋eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝6＋30＝36.知識點3命題(逆命題)與定理(逆定理)9．以下命題中，其逆命題成立的是①④．(只填寫序號)①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長a，b，c(c為最長邊)滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．10．寫出以下命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題．(1)兩直線平行，同位角相等；(2)如果a是偶數(shù)，b是偶數(shù)，那么a＋b是偶數(shù)．解：(1)同位角相等，兩直線平行．真命題．(2)如果a＋b是偶數(shù)，那么a是偶數(shù)，b是偶數(shù)．假命題．易錯點對圖形分析不準確致錯11．△ABC是直角三角形，AB＝3，BC＝4，分別以AB，BC，AC為邊向△ABC外作正方形，那么以AC為邊的正方形的面積是7或25．中檔題12．△ABC的三邊長分別是6cm、8cm、10cm，那么△ABC的面積是(A)A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm213．以下命題：①假設a＋b＝0，那么|a|＝|b|；②等邊三角形的三個內(nèi)角都相等；③底角相等的兩個等腰三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是(A)A．1個 B．2個 C．3個 D．0個14．(2022·陜西)如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.假設∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，那么B′C的長為(A)A．3eq\r(3) B．6 C．3eq\r(2) \r(21)15．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，那么AB的長為(D)A．2 B．2eq\r(3) \f(\r(3),3)＋1 \r(3)＋116．(2022·襄陽)CD是△ABC的邊AB上的高，假設CD＝eq\r(3)，AD＝1，AB＝2AC，那么BC的長為2eq\r(3)或2eq\r(7)．17．(2022·黃岡)如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，那么螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.(杯壁厚度不計)18．如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．eq\x(作AD⊥BC于D，設BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD)→eq\x(根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁〞，建立方程模型求出x)→eq\x(利用勾股定理求出AD的長，再計算三角形面積)解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，設BD＝x，那么CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(152－92)＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.綜合題19．觀察以下勾股數(shù)組：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出：(1)當a＝19時，b，c的值是多少？(2)當a＝2n＋1時，求b，c的值．你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？解：(1)當a＝19時，設b＝k，那么c＝k＋1，觀察有如下規(guī)律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)當a＝2n＋1時，設b＝k，那么c＝k＋1，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.證明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.

第2課時直角三角形全等的判定根底題知識點1用HL判定直角三角形全等1．如圖，點P是∠BAC內(nèi)一點，PE⊥AC于點E，PF⊥AB于點F，PE＝PF，那么直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A．HL B．ASAC．AAS D．SAS2．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，以下能使△ABD≌△ACD的條件是(A)A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如圖，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，那么∠2＝(B)A．40° B．50°C．60° D．75°4．如圖，點D，A，E在直線l上，AB＝AC，BD⊥l于點D，CE⊥l于點E，且BD＝AE.假設BD＝3，CE＝5，那么DE＝8．5．(2022·泰州)如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC，DB相交于點O.求證：OB＝OC.證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝BC，))∴Rt△ABC≌△DCB(HL)．∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.知識點2用其他方法證明直角三角形全等6．以下條件不能判斷兩個直角三角形全等的是(C)A．兩條直角邊分別對應相等B．斜邊和一個銳角分別對應相等C．兩個銳角對應相等D．斜邊和一直角邊分別對應相等7．如圖，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，還需添加條件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需寫出一種情況)8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，使DB＝BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，交CB的延長線于點F.求證：AB＝BF.證明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知識點3HL在實際問題中的應用9．如圖，點C是路段AB的中點，小明和小紅兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，并且DA⊥AB于點A，EB⊥AB于點B.此時小明到路段AB的距離是50米，那么小紅到路段AB的距離是多少米？解：∵DA⊥AB于點A，EB⊥AB于點B，∴△ADC和△BEC為直角三角形．∵點C是路段AB的中點，∴AC＝BC.∵小明和小紅同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小紅到路段AB的距離是50米．中檔題10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，那么以下圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是(A)11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD和CE交于點O，AO的延長線交BC于點F，那么圖中全等的直角三角形有(D)A．3對 B．4對 C．5對 D．6對12．如下圖，過正方形ABCD的頂點B作直線a，過點A，C作a的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).假設AE＝1，CF＝3，那么AB的長度為eq\r(10)．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，線段PQ＝AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，當AP＝5或10時，△ABC和△PQA全等．14．如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF.(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)假設∠CAE＝30°，求∠ACF的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.綜合題15．如圖1，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于點E，BF⊥AC于點F.假設AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于點M.(1)求證：AE＝CF，MB＝MD；(2)當E，F(xiàn)兩點移動到如圖2的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立？假設成立，請給予證明；假設不成立，請說明理由．解：(1)證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.

周測～(時間：40分鐘總分值：100分)一、選擇題(每題3分，共30分)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，那么∠A的度數(shù)是(C)A．70° B．55° C．50° D．40°2．假設△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，那么必有(D)A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠C3．以下命題的逆命題不正確的選項是(D)A．假設a2＝b2，那么a＝bB．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．等腰三角形的兩個底角相等D．對頂角相等4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，以下結論中不正確的選項是(D)A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD5．有一個等腰三角形的周長為20，其中一邊長為5，那么這個等腰三角形的底邊長為(A)A．5 B．8C．5或10 D．106．如圖，在高3m，坡面距離AB為5m的樓梯外表鋪地毯，那么地毯長度至少需(B)A．6m B．7m C．8m D．12m7．假設等邊三角形的一條高為eq\r(3)，那么其邊長為(A)A．2 B．1 C．3 D．48．如圖，在△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，那么AP的長不可能是(D)A． B． C． D．79．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．假設在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，那么圖中等腰三角形共有(D)A．2個 B．3個C．4個 D．5個10．如圖，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延長BE到C，使EC＝AB，分別過點C，E作BC，AE的垂線，兩線相交于點D，連接AD.假設AB＝3，DC＝4，那么AD的長是(C)A．5 B．7 C．5eq\r(2) D．無法確定二、填空題(每題4分，共20分)11．如圖，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE.假設要用“斜邊、直角邊(HL)〞直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE，那么還需補充條件BE＝FC或BC＝FE．12．在證明命題“一個三角形中至少有一個內(nèi)角不大于60°〞成立時，我們利用反證法，先假設三角形的三個內(nèi)角都大于60°，那么可推出三個內(nèi)角之和大于180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．13．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，那么CE＝3．14．如圖，△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，那么BD的長為4eq\r(3)．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點D，E分別在邊AC，AB上，點D與點A，點C都不重合，點F在邊CB的延長線上，且AE＝ED＝BF，連接DF交AB于點G.假設BC＝4，那么線段EG的長為4．三、解答題(共50分)16．(12分)如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC與BD相交于點O.(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何種三角形？證明你的結論．解：(1)證明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．證明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．17．(12分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，BC＝2，CD＝1，求AD的長．解：分別延長AB，DC相交于點E，在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°.在Rt△CBE中，∵∠E＝30°，BC＝2，∴EC＝4.∴DE＝4＋1＝5.在Rt△ADE中，∠E＝30°，∴AE＝2AD，AE2＝AD2＋DE2，即4AD2＝AD2＋52.解得AD＝eq\f(5\r(3),3).18．(12分)如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O.(1)求證：△AEC≌△BED；(2)假設∠1＝42°，求∠BDE的度數(shù)．解：(1)證明：∵AE和BD相交于點O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，))∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.19．(14分)如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)求證：△ODE是等邊三角形；(2)線段BD，DE，EC三者有什么數(shù)量關系？寫出你的判斷過程；(3)數(shù)學學習不但要能解決問題，還要善于提出問題．結合此題，在現(xiàn)有的圖形上，請?zhí)岢鰞蓚€與“直角三角形〞有關的問題．(只要提出問題，不需要解答)解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等邊三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.(3)答案不唯一，如：①連接AO，并延長交BC于點F，求證：△ABF是直角三角形；②假設等邊△ABC的邊長為1，求BC邊上的高．

1．3線段的垂直平分線第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理根底題知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，線段PA＝3cm，那么線段PB的長為(D)A．6cm B．5cmC．4cm D．3cm2．如圖，AB是CD的垂直平分線，假設AC＝cm，BD＝cm，那么四邊形ACBD的周長是(B)A．cm B．cmC．4cm D．cm3．(2022·黃岡)如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，那么∠BAD為(B)A．50° B．70° C．75° D．80°4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，那么∠BCD的度數(shù)為(C)A．80° B．75° C．45° D．35°5．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，那么CE的長為6．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點E，垂足為D.求證：∠CAB＝∠AED.證明：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.知識點2線段垂直平分線的判定7．如圖，AC＝AD，BC＝BD，那么有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB8．如圖，D是△ABC的邊BC的延長線上一點，且BD＝BC＋AC，那么點C在線段AD的垂直平分線上．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D.求證：點D在AB的垂直平分線上．證明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴點D在AB的垂直平分線上．中檔題10．以下說法：①假設直線PE是線段AB的垂直平分線，那么EA＝EB；②假設PA＝PB，EA＝EB，那么直線PE是線段AB的垂直平分線；③假設EA＝EB，那么直線EP是線段AB的垂直平分線；④假設PA＝PB，那么點P在線段AB的垂直平分線上．其中正確的有(C)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．(教材P24習題T3變式)如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC＝6cm，且△ABD的周長為13cm，那么△ABC的周長為(B)A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm12．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN，與AC，BC分別交于點D，E，連接AE，那么：(1)∠ADE＝90°；(2)AE＝EC；(填“＝〞“＞〞或“＜〞)(3)當AB＝3，AC＝5時，△ABE的周長＝7．13．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，將AB邊沿AD折疊，發(fā)現(xiàn)B點的對應點E正好在AC的垂直平分線上，那么∠C＝30°．14．(2022·南充)如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，那么∠C＝24°．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延長線上一點，E是BD垂直平分線與AB的交點，DE交AC于點F.求證：點E在AF的垂直平分線上．證明：∵E是BD的垂直平分線上的一點，∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴點E在AF的垂直平分線上．綜合題16．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC外的一點(點D與點A分別在直線BC的兩側)，且DB＝DC，過點D作DE∥AC，交射線AB于點E，連接AD交BC于點F.(1)求證：AD垂直平分BC；(2)請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇________題．A：如圖1，當點E在線段AB上且不與點B重合時，求證：DE＝AE；B：如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，寫出線段DE，AC，BE之間的等量關系，并證明你的結論．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上．∵DB＝DC，∴點D在線段BC的垂直平分線上．∴AD垂直平分BC.(2)選擇A，證明如下：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.選擇B，線段DE，AC，BE之間的等量關系為DE＝BE＋AC.證明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，且AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.

第2課時三角形三邊的垂直平分線根底題知識點1三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)1．三角形紙片ABC上有一點P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，那么點P一定(D)A．是邊AB的中點 B．在邊AB的中線上C．在邊AB的高上 D．在邊AB的垂直平分線上2．在三角形的內(nèi)部，有一個點到三角形三個頂點的距離相等，那么這個點一定是三角形(C)A．三條中線的交點B．三條角平分線的交點C．三條邊的垂直平分線的交點D．三條高的交點3．在△ABC中，AB，AC的垂直平分線相交于點P，那么P點必定在BC的垂直平分線上，且PA＝PB＝PC．4．如圖，O為△ABC三邊垂直平分線的交點，點O到頂點A的距離為5cm，那么AO＋BO＋CO＝15__cm．5．如圖，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，BC＝6cm，請計算出∠DAE的度數(shù)和△ADE的周長．解：∵AB和AC的垂直平分線交BC于點D，E，∴BD＝AD，CE＝AE.∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，△ADE的周長為AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6cm.知識點2作圖6．在同一平面內(nèi)，過直線上一點作直線的垂線，能作(A)A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條7．以下作圖語句正確的選項是(D)A．過點P作線段AB的中垂線B．在線段AB的延長線上取一點C，使AB＝ACC．過直線a和直線b外一點P作直線MN，使MN∥a∥bD．過點P作直線AB的垂線8．如圖，線段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC邊上的高AD＝h.張紅的作法是：①作線段BC＝a；②作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC相交于點D；③在直線MN上截取線段h；④連接AB，AC，那么△ABC為所求的等腰三角形．上述作法的四個步驟中，你認為有錯誤的一步是(C)A．① B．② C．③ D．④9．(教材P26習題T3變式)為了推進農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點P，使P到該鎮(zhèn)A村，B村，C村所屬的村委會所在地的距離都相等(A，B，C不在同一直線上，地理位置如圖)，請你用尺規(guī)作圖的方法確定點P的位置．要求：寫出、求作；不寫作法，保存作圖痕跡．解：：A，B，C三點不在同一直線上．求作：作一點P，使PA＝PB＝PC.如下圖，點P即為所求的點．易錯點忽略平面內(nèi)三點的位置關系致錯10．在平面內(nèi)，到三點A，B，C距離相等的點(D)A．只有一個B．有兩個C．有三個或三個以上D．有一個或沒有中檔題11．等腰三角形的底角為40°，兩腰的垂直平分線交于點P，那么(B)A．點P在三角形內(nèi)B．點P在三角形外C．點P在三角形底邊上D．點P的位置與三角形的邊長有關12．如圖，在△ABC中，∠A＝62°，O是邊AB和邊BC的垂直平分線的交點，那么∠BCO＝28°．13．如圖，由于水資源缺乏，B，C兩地不得不從黃河上的揚水站A引水，這就需要A，B，C之間鋪設地下輸水管道，有人設計了三種鋪設方案：如圖①②③，圖中實線表示管道鋪設線路，在圖②中，AD垂直BC于點D；在圖③中，OA＝OB＝OC.為減少滲漏，節(jié)約水資源，并降低工程造價，鋪設線路應盡量縮短，△ABC恰好是一個邊長為a的等邊三角形，那么通過計算，你認為最好的鋪設方案是方案③．14．如下圖，線段a，b，求作等腰三角形，使高為a，腰長為b(a＜b，尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡)．解：作法：(1)作線段AD＝a；(2)過點D作直線MN⊥AD于點D；(3)以點A為圓心，b為半徑畫弧，交MN于B，C兩點，連接AB，AC，△ABC即為所求，如下圖．15．如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F.(1)假設∠ACB＝120°，求∠MCN的度數(shù)；(2)假設△CMN的周長為15cm，求AB的長；(3)假設∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．解：(1)∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠MAC＋2∠NBC)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周長為CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周長為15cm，∴AB＝15cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.微專題——本課時T15(1)的變式與應用總結歸納：如圖，在△ABC中，∠BAC＝α(α＞90°)，邊AB的垂直平分線交AB，BC于點M，E，邊AC的垂直平分線交AC，BC于點N，F(xiàn)，那么∠EAF＝2α－180°.16．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°.(1)在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最??；(2)在(1)的條件下，∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為120°．解：如圖，作點A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于點M，交CD于點N，那么A′A″的長度即為△AMN周長的最小值．

1．4角平分線第1課時角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理根底題知識點1角平分線的性質(zhì)1．以下各圖中，OP是∠MON的平分線，點E，F(xiàn)，G分別在射線OM，ON，OP上，那么可以解釋定理“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等〞的圖形是(D)2．(2022·太原期中)如圖，點P是∠AOB的平分線上一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，連接CD交OP于點E，以下結論不一定正確的選項是(D)A．PC＝PD B．OC＝ODC．OP垂直平分CD D．OE＝CD3．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．假設PA＝2，那么PQ的最小值為(B)A．1 B．2 C．3 D．44．(2022·