大二下課程數(shù)值分析課件numerical review

Review

(NumericalAnalysis)陳彩華南京大學(xué)工程管理學(xué)院chchen@12第一章誤差與誤差分析3誤差是人們用來描述數(shù)值計(jì)算中近似解的精確程度，是科學(xué)計(jì)算中的一個(gè)十分重要的概念誤差的來源數(shù)值計(jì)算的誤差數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解——截?cái)嗾`差（方法誤差）機(jī)器字長有限——舍入誤差4定義：設(shè)x為精確值，x*為它的一個(gè)近似值，則稱e*=x*-x為近似值x*的絕對(duì)誤差，有時(shí)簡稱誤差。絕對(duì)誤差x—精確值

x*—近似值定義：存在一個(gè)正數(shù)R*，使得，|e*|=|x*-x|<=R*則稱R*為絕對(duì)誤差限，簡稱誤差限。記：x=x*±R*5相對(duì)誤差由于精確值難以求出，通常也采用下面的定義x*-xer*=x*定義：設(shè)x為精確值，x*為它的一個(gè)近似值，則稱

為近似值x*的相對(duì)誤差。x*-xer*=x若存在正數(shù)Rr*，使|er*|<=Rr*，則稱Rr*為相對(duì)誤差限6有效數(shù)字x*=±(a1.a2···an···)*10m(a1>0)若|x*-x|<=0.5*10m-n+1則x*至少有n位有效數(shù)字。（這里ai是0到9中的數(shù)字）設(shè)x*為x的近似值，若x*可表示為一個(gè)比較實(shí)用的描述定義：若近似值x*的誤差限是某一位的半個(gè)單位，且該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字。|x*-x|<=0.5*10k至少有m+1-k位有效數(shù)字7誤差估計(jì)誤差估計(jì)：估計(jì)誤差限或相對(duì)誤差限記(x*)為x*的誤差限，則有簡單算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)8誤差估計(jì)一元可微函數(shù)f(x)的誤差估計(jì)r(f(x*))條件數(shù)記為Cp設(shè)一元函數(shù)f(x)可微，x*為x的近似值，則有9誤差估計(jì)設(shè)多元函數(shù)f(x)可微，x*=(x1*,x2*,…,xn*)為x=(x1,x2,…,xn)的近似值，則有多元可微函數(shù)f(x)的誤差估計(jì)10算法的穩(wěn)定性：誤差分析例：近似計(jì)算，其中n=1,2,...,8解：此公式精確成立數(shù)值計(jì)算注意事項(xiàng)要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法要避免兩相近數(shù)相減要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)要有數(shù)值穩(wěn)定性，即能控制舍入誤差的傳播11插值法Interpolation13多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值已知函數(shù)y=f(x)在[a,b]上n+1個(gè)點(diǎn)

ax0<x1<···<xnb處的函數(shù)值為y0=f(x0)，…，yn=f(xn)求次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式p(x)=c0+c1x+···+cnxn，使得p(xi)=yi，i=0,1,...,n注意：p(x)的次數(shù)有可能小于n，差值多項(xiàng)式唯一14基函數(shù)插值法基函數(shù)插值法通過基函數(shù)來構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法就稱為基函數(shù)插值法記Zn(x)={次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的全體}n+1維設(shè)z0(x),z1(x),...,zn(x)構(gòu)成Zn(x)的一組基，則插值多項(xiàng)式可表示為p(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+···+anzn(x)尋找合適的基函數(shù)確定插值多項(xiàng)式在這組基下的線性表示系數(shù)15Lagrange插值Lagrange基函數(shù)定義：設(shè)lk(x)是n次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿足則稱lk(x)為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上的n次插值基函數(shù)16Lagrange插值---插值型積分計(jì)算系數(shù)兩點(diǎn)說明l0(x),l1(x),…,ln(x)構(gòu)成Zn(x)的一組基l0(x),l1(x),…,ln(x)與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，但與f(x)無關(guān)

Ln(x)就稱為f(x)的Lagrange插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)的估計(jì)1718Newton插值Lagrange插值簡單易用，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)lk(x)都需重新計(jì)算，很不方便!設(shè)計(jì)一個(gè)可以逐次生成插值多項(xiàng)式的算法，即pn+1(x)=pn(x)+un+1(x)[un+1(x)什么條件]其中pn+1(x)和pn(x)分別為n+1次和n次插值多項(xiàng)式——Newton插值法為什么Newton插值解決辦法更換基函數(shù)19新的基函數(shù)設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為x0,…,xn，考慮插值基函數(shù)組優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)xn+1時(shí)，只需加上基函數(shù)Newton插值公式余項(xiàng):Newton插值公式:20xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……?[x0,x1,…,xn]21等距節(jié)點(diǎn)：向前差分在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用等距節(jié)點(diǎn)：xi=x0+ih，i=1,2,…,nh>0，稱為步長此時(shí)，可以使用差分來簡化Newton插值公式向前差分（教材上簡稱為差分）定義為f(x)在xi處步長為h的一階向前差分22高階差分二階向前差分n階向前差分的定義規(guī)定高階差分23差分表差分表xi?(xi)一階差分二階差分三階差分…n階差分x0x1xn-3xn-2xn-1xn?(x0)?(x1)?(xn-3)?(xn-2)?(xn-1)?(xn)?0?n-3?n-2?n-12?02?12?n-32?n-23?03?13?n-3……n?0Matlab計(jì)算差分的函數(shù)：diff等距節(jié)點(diǎn)插值Newton前插公式其余項(xiàng)為2425Hermite插值一般來說，給定m+1個(gè)插值條件，就可以構(gòu)造出一個(gè)m次Hermite插值多項(xiàng)式兩個(gè)典型的Hermite插值三點(diǎn)三次Hermite插值兩點(diǎn)三次Hermite插值插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1,x2插值條件：p(xi)=f(xi)，i=0,1,2，p’(x1)=f’(x1)插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1插值條件：p(xi)=f(xi)，p’(xi)=f’(xi)，i=0,126三點(diǎn)三次Hermite插值插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1,x2插值條件：p(xi)=f(xi)，i=0,1,2，p’(x1)=f’(x1)三點(diǎn)三次Hermite插值可設(shè)將p’(x1)=f’(x1)代入可得27三點(diǎn)三次Hermite插值由于x0,x1,x2是R(x)的零點(diǎn)，且x1是二重零點(diǎn)，故可設(shè)與Lagrange插值余項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程類似，可得其中x位于由x0,x1,x2和x所界定的區(qū)間內(nèi)余項(xiàng)公式28兩點(diǎn)三次Hermite插值插值節(jié)點(diǎn)：x0,x1插值條件：p(xi)=f(xi)=yi，p’(xi)=f’(xi)=mi，i=0,1兩點(diǎn)三次Hermite插值仿照Lagrange多項(xiàng)式的思想，設(shè)其中均為3次多項(xiàng)式，且滿足i,j=0,129兩點(diǎn)三次Hermite插值將插值條件代入立即可得如何確定0(x),1(x),0(x),1(x)的表達(dá)式？0(x)30兩點(diǎn)三次Hermite插值同理可得相類似地，可以推出31兩點(diǎn)三次Hermite插值所以，滿足插值條件p(x0)=f(x0)=y0，p’(x0)=f’(x0)=m0p(x1)=f(x1)=y1，p’(x1)=f’(x1)=m1的三次Hermite插值多項(xiàng)式為余項(xiàng)32分段線性插值由以上條件直接可得Ih(x)在小區(qū)間[xk,xk+1]上的表達(dá)式x[xk,xk+1]，k=0,1,…,n-133誤差估計(jì)在小區(qū)間[xk,xk+1]上有當(dāng)h0時(shí)，Ih(x)在[a,b]上一致收斂到f(x)分段線性插值的缺點(diǎn)：Ih(x)在節(jié)點(diǎn)不可導(dǎo)誤差估計(jì)34分段三次Hermite插值設(shè)ax0<x1<···<xnb為[a,b]上的互異節(jié)點(diǎn)yk＝f(xk),mk＝f'(xk)，k=0,1,…,n求分段函數(shù)Ih(x)滿足

Ih(x)在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]上是三次多項(xiàng)式分段三次Hermite插值35分段三次Hermite插值由以上條件直接可得Ih(x)在小區(qū)間[xk,xk+1]上的表達(dá)式x[xk,xk+1]，k=0,1,…,n-1誤差估計(jì)（教材第41頁定理4）36非線性方程與方程組

的數(shù)值解法二分法P37二分法P38二分法(3)如此反復(fù)下去，即可得一系列有根區(qū)間一個(gè)很小的正數(shù)3940不動(dòng)點(diǎn)迭代構(gòu)造f(x)=0的一個(gè)等價(jià)方程：(x)的不動(dòng)點(diǎn)f(x)=0x=(x)等價(jià)變換f(x)的零點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)迭代基本思想41不動(dòng)點(diǎn)迭代任取一個(gè)迭代初始值x0，計(jì)算得到一個(gè)迭代序列：x0，x1，x2，...，xn，...

k=0,1,2,......幾何含義：迭代求曲線y=(x)與y=x的交點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)迭代格式42收斂性判斷定理：設(shè)(x)C[a,b]且滿足對(duì)任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數(shù)0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有則對(duì)任意初始值x0[a,b]，不動(dòng)點(diǎn)迭代xk+1=(xk)收斂于唯一的不動(dòng)點(diǎn)，且不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性判斷43收斂性的實(shí)際判斷定理：若(x)C1[a,b]，對(duì)任意的x[a,b]有(x)[a,b]且對(duì)任意x[a,b]有|’(x)|L<1則上述定理中的結(jié)論成立。以上兩定理的收斂性與初始值的選取無關(guān)全局收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性判斷44局部收斂定義：設(shè)x*是(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若存在x*的某個(gè)-鄰域U(x*)=[x*-,x*+]，對(duì)任意x0U(x*)，不動(dòng)點(diǎn)迭代xk+1=(xk)產(chǎn)生的點(diǎn)列都收斂到x*，則稱該迭代局部收斂。定理：設(shè)x*是(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若’(x)在x*的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且|’(x*)|<1則不動(dòng)點(diǎn)迭代xk+1=(xk)局部收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代的局部收斂性證明：板書45收斂速度定義：設(shè)迭代xk+1=(xk)收斂到(x)的不動(dòng)點(diǎn)x*，記ek=xkx*，若其中常數(shù)C>0，則稱該迭代為p階收斂。當(dāng)p=1時(shí)稱為線性收斂，此時(shí)C<1當(dāng)p=2時(shí)稱為二次收斂，或平方收斂當(dāng)p>1時(shí)稱為超線性收斂二分法是線性收斂的若’(x*)0，則不動(dòng)點(diǎn)迭代xk+1=(xk)線性收斂46收斂速度的判別定理：設(shè)x*是(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若(p)(x)在x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且迭代xk+1=(xk)是p階收斂的。且有47迭代法加速若’(x)變化不大，則可假定：加速48迭代法加速收斂性：yk收斂較快49Newton法基本思想將非線性方程線性化設(shè)xk是f(x)=0的近似根，將f(x)在xk處Taylor展開令：條件：f’(x)0◆◆●Newton法的幾何意義Newton法切線法51收斂性（單根）k=0,1,2,...迭代函數(shù)牛頓法至少二階局部收斂弦截法弦截法的幾何意義線性方程組的數(shù)值解法SolutionofLinearSystems54線性方程組解法線性方程組的數(shù)值解法可以分為直接法和迭代法兩類。－直接法：用有限步計(jì)算得到準(zhǔn)確解－迭代法：給出一個(gè)近似解序列，逐步逼近直接法Gauss消去法Gauss主元消去法矩陣直接分解法迭代法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法PP5556Gauss消去法高斯消去法的主要思路：將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣，然后回代求解考慮n階線性方程組：矩陣形式=57幾點(diǎn)注記主元：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件：主元全不為0定理：（i=1,2,...,n）的充要條件是A的順序主子式不為零，即推論：Gauss消去法的工作量－消元過程－回代過程5859LU分解換個(gè)角度看Gauss消去法矩陣的三角分解過程矩陣分解，即將一個(gè)較復(fù)雜的矩陣分解成若干結(jié)構(gòu)簡單的矩陣的乘積，是矩陣計(jì)算中的一個(gè)很重要的技術(shù)60LU分解則A(k)與A(k+1)之間的關(guān)系式可以表示為：其中：(i=k+1,…,n)將Gauss消去過程中第k-1步消元后的系數(shù)矩陣記為：(k=1,…,n-1)61LU分解LU分解記：，則其中：L---單位下三角矩陣，U---非奇異上三角矩陣LU分解于是有：容易驗(yàn)證：(k=1,…,n-1)62LU分解存在唯一性LU分解存在高斯消去法不被中斷定理：A存在唯一的LU分解的充要條件是A的所有順序主子式都不為零。（證：板書）所有順序主子式不為零63LU分解---續(xù)利用矩陣乘法直接計(jì)算LU分解——待定系數(shù)法LU=A比較等式兩邊的第一行得：u1j=a1j比較等式兩邊的第一列得：比較等式兩邊的第二行得：比較等式兩邊的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U的第一行L的第一列U的第二行L的第二列64計(jì)算LU分解第k步：此時(shí)U的前k-1行和L的前k-1列已經(jīng)求出比較等式兩邊的第k行得：比較等式兩邊的第k列得：直到第n步，便可求出矩陣L和U的所有元素。(j=k,…,n)(i=k+1,…,n)這種計(jì)算LU分解的方法也稱為Doolittle分解65LU分解算法算法：(LU分解求解方程組)%先計(jì)算LU分解fork=1tonend%解三角方程組Ly=b和Ux=y66列主元Gauss消去法①先選取列主元：②ifikkthen交換第k行和第ik行③消元列主元Gauss消去法在第k步消元時(shí)，在第k列的剩余部分選取主元67列主元Gauss消去法算法(列主元Gauss消去法)fork=1ton-1ifthenstopifikkthenswapk-thandik-throw(includingb)fori=k+1tonendend68PLU分解列主元Gauss消去法對(duì)應(yīng)的矩陣分解為PLU分解定理：若A非奇異，則存在排列矩陣P，使得PA=LU其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣列主元Gauss消去法比普通Gauss消去法要多一些比較運(yùn)算，但比普通高斯消去法穩(wěn)定列主元Gauss消去法是目前直接法的首選算法69第五章線性方程組直接解法—向量與矩陣范數(shù)—矩陣條件數(shù)向量的范數(shù)幾種常用的向量范數(shù)701-范數(shù)：2-范數(shù)：3--范數(shù)（有時(shí)也稱最大范數(shù)）：p-范數(shù)：71范數(shù)性質(zhì)范數(shù)的性質(zhì)連續(xù)性定理：設(shè)f是Rn上的任一向量范數(shù)，則f關(guān)于x的每個(gè)分量連續(xù)。(2)等價(jià)性定理：設(shè)||·||s和||·||t是Rn上的任意兩個(gè)范數(shù)，則存在常數(shù)c1和c2，使得對(duì)任意的xRn有72矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)73常見矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)(1)F-范數(shù)(Frobenious范數(shù))(2)算子范數(shù)(從屬范數(shù)、誘導(dǎo)范數(shù))其中||·||是Rn上的任意一個(gè)范數(shù)74算子范數(shù)常見的算子范數(shù)③-范數(shù)（行范數(shù)）②2-范數(shù)（譜范數(shù)）①1-范數(shù)（列范數(shù)）證明：③②板書，①為作業(yè)75矩陣范數(shù)性質(zhì)矩陣范數(shù)的性質(zhì)(1)連續(xù)性：設(shè)f是Rnn上的任一矩陣范數(shù)，則f關(guān)于A的每個(gè)分量是連續(xù)的。(2)等價(jià)性：設(shè)||·||s和||·||t是Rnn上的任意兩個(gè)矩陣范數(shù)，則存在常數(shù)c1和c2，使得對(duì)任意的ARnn有(3)若A是對(duì)稱矩陣，則76算子范數(shù)性質(zhì)算子范數(shù)的性質(zhì)定理：對(duì)任意>0,總存在一算子范數(shù)||·||，使得

||A||(A)+定理：設(shè)||·||是任一算子范數(shù)，則注：該性質(zhì)對(duì)F-范數(shù)也成立。77定理：設(shè)||·||是Rn上的任一向量范數(shù)，其對(duì)應(yīng)的算子范數(shù)也記為||·||，則有算子范數(shù)性質(zhì)算子范數(shù)的性質(zhì)該性質(zhì)就是矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性證明：直接由算子范數(shù)定義可得定理：設(shè)||·||是任一算子范數(shù)，若||B||<1，則I±B非奇異，且78病態(tài)矩陣定義：考慮線性方程組Ax=b，如果A或b的微小變化會(huì)導(dǎo)致解的巨大變化，則稱此線性方程組是病態(tài)的，并稱矩陣A是病態(tài)的，反之則是良態(tài)的。什么是病態(tài)矩陣用什么量能夠刻畫矩陣的“病態(tài)”性質(zhì)？情況I相對(duì)誤差的上界79情況II相對(duì)誤差的上界80矩陣的條件數(shù)◆◆◆8182矩陣條件數(shù)條件數(shù)與范數(shù)有關(guān)，常用的有無窮范數(shù)和2-范數(shù)注：Cond(A)2稱為譜條件數(shù)，當(dāng)A對(duì)稱時(shí)有舉例－Hilbert矩陣n越大病態(tài)越嚴(yán)重83線性方程組的數(shù)值解法SolutionofLinearSystems迭代法的基本思想Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法85線性方程組迭代法（1）運(yùn)算量大，不適合大規(guī)模的線性方程組求解無法充分利用系數(shù)矩陣的稀疏性直接法的缺點(diǎn)從一個(gè)初始向量出發(fā)，按照一定的迭代格式，構(gòu)造出一個(gè)趨向于真解的向量序列。只需存儲(chǔ)系數(shù)矩陣中的非零元素運(yùn)算量不超過O(kn2)，其中k為迭代步數(shù)能充分利用矩陣的稀疏性迭代法是目前求解大規(guī)模（稀疏）線性方程組的主要方法迭代法86迭代法的構(gòu)造矩陣分裂迭代法基本思想Ax=bk=0,1,2,…給定一個(gè)初始向量x(0)，可得迭代格式其中B=M-1N稱為迭代矩陣A=M-NMx=Nx+bM非奇異A的一個(gè)矩陣分裂87迭代法的收斂性88迭代法的收斂性迭代法收斂2）(3)(4)定理：若存在算子范數(shù)||·||，使得||B||=q<1，則89收斂速度第k步的誤差：平均每次迭代后的誤差壓縮率約為：若要求k步迭代后上述誤差比值不超過，則迭代法的收斂速度90收斂速度定義：迭代法x(k+1)=Bx(k)+f的平均收斂速度定義為漸進(jìn)收斂速度為(B)越小，迭代收斂越快迭代法的收斂速度Jacobi迭代法92Jacobi迭代k=0,1,2,…令M=D，N=L+U，可得雅可比(Jacobi)迭代方法迭代矩陣記為：Jacobi迭代法93Gauss-Seidel迭代在計(jì)算時(shí)，如果用代替，則可能會(huì)得到更好的收斂效果。94Gauss-Seidel迭代寫成矩陣形式:此迭代方法稱為高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法k=0,1,2,…可得迭代矩陣記為：95SOR迭代為了得到更好的收斂效果，可在修正項(xiàng)前乘以一個(gè)松弛因子，于是可得迭代格式96SOR迭代寫成矩陣形式:可得——SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代方法迭代矩陣記為：SOR的優(yōu)點(diǎn)：通過選取合適的，可獲得更快的收斂速度SOR的缺點(diǎn)：最優(yōu)參數(shù)的選取比較困難97對(duì)角占優(yōu)矩陣且至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立，則稱A為弱對(duì)角占優(yōu)；若所有不等式都嚴(yán)格成立，則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。(i=1,2,...,n)定義：設(shè)ARnn，若對(duì)角占優(yōu)矩陣98可約與不可約（不要求）定義：設(shè)ARnn，若存在排列矩陣P使得則稱A為可約矩陣；否則稱為不可約矩陣。如果A是可約矩陣，則方程組Ax=b等價(jià)于y即可以把原方程組化成兩個(gè)低階的方程組來處理。f不可約矩陣99Jacobi、G-S收斂性定理：若A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu)，則A非奇異定理：若A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu)，則Jacobi迭代和G-S迭代均收斂定理：設(shè)A對(duì)稱且D正定，則Jacobi迭代收斂的充要條件是A和2D-A都正定。Jacobi和G-S迭代法的收斂性證明：板書證明：板書證明：略定理：設(shè)A對(duì)稱且D正定，則G-S迭代收斂的充要條件是A正定。證明：略數(shù)值積分NumericalIntegration基本思想求積系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)101如何近似：插值最常用的一種方法是利用插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值求積公式，具體步驟如下:原函數(shù)容易求得102插值型求積公式求積余項(xiàng)103如何評(píng)價(jià)：代數(shù)精度數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對(duì)于“盡可能多”的函數(shù)是準(zhǔn)確的。104代數(shù)精度容易看出，對(duì)于插值型求積公式其余項(xiàng)因而插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。1次代數(shù)精度105Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式。以此分點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的插值型求積公式Cotes系數(shù)106Cotes系數(shù)推導(dǎo)107Cotes系數(shù)對(duì)稱性108偶階求積公式的代數(shù)精度直接求積109偶階求積公式的代數(shù)精度奇函數(shù)110求積公式的余項(xiàng)幾種低階求積公式的余項(xiàng)梯形公式的余項(xiàng)◆積分中值定理Simpson公式的余項(xiàng)◆112復(fù)化求積公式復(fù)化梯形公式◆復(fù)化Simpson公式◆復(fù)化Cotes公式◆113變步長求積（梯形法的遞推化）變步長求積公式將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得遞推公式：復(fù)合梯形法復(fù)合Simpson法Romberg求積公式考慮以此作為T2n的補(bǔ)償，即Romberg求積公式—復(fù)合Simpson公式Romberg求積公式同上方法，我們再考慮Simpson公式?？紤]以此作為S2n的補(bǔ)償，即實(shí)質(zhì)為何？—復(fù)合Cotes公式Romberg求積公式再重復(fù)同樣的手續(xù)，根據(jù)Cotes誤差公式就可進(jìn)一步推導(dǎo)出下列公式：—Romberg公式一種加速積分的方法120Gauss型求積公式考慮求積公式含2n+2個(gè)參數(shù)(節(jié)點(diǎn)與系數(shù))，為了使該公式具有盡可能高的代數(shù)精度，可將f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入公式，使其精確成立，則可構(gòu)造出代數(shù)精度至少為2n+1的求積公式!怎樣構(gòu)造更高精度的求積方法自由選取求積節(jié)