高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)

立體幾何復(fù)習(xí)中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué).一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．掌握平面公理、性質(zhì)，并運(yùn)用其判定共線、共面、共點(diǎn)問題；2．掌握點(diǎn)與線、線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系的判定方法和性質(zhì)的運(yùn)用；3．理解空間向量的概念，掌握向量的共線、共面的定理及運(yùn)用；了解空間向量的基本定理，向量的數(shù)量積，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的射影；4．能建立空間的直角坐標(biāo)系，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)運(yùn)用向量進(jìn)行有關(guān)平行和垂直的相應(yīng)的證明；解決夾角和距離的問題；5．會(huì)運(yùn)用角與距離的概念求線線角、線面角、面面角及線線距、線面距、點(diǎn)面距、面面距；6．理解特殊幾何體（棱柱、棱錐、正多面體及球）的概念和性質(zhì)，并且能運(yùn)用線面關(guān)系思想解決特殊幾何體的相關(guān)問題；7．了解球面距離概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的球面上兩點(diǎn)間的距離．.知識(shí)體系直線、平面、簡(jiǎn)單的幾何體平面的基本性質(zhì)直線與平面的關(guān)系空間向量角和距離簡(jiǎn)單的幾何體.平面的基本性質(zhì)三個(gè)公理三個(gè)推論線在面內(nèi)面面的交線三點(diǎn)決定平面一線和線外一點(diǎn)兩條相交直線兩條平行直線.直線與平面的關(guān)系線與線線與面面與面相交平行異面垂直斜交線在面內(nèi)平行相交（垂直）平行相交（垂直）.空間向量空間向量及其運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)表示共線與共面基本定理數(shù)量積射影空間直角坐標(biāo)直線的方向向量平面的法向量計(jì)算角和距離向量的運(yùn)算.角和距離角距離異面直線成角直線與平面成角二面角兩點(diǎn)距離點(diǎn)到平面的距離線面距離面面距離異面直線距離.簡(jiǎn)單幾何體棱柱與棱錐正多面體、歐拉定理球棱柱棱錐直棱柱斜棱柱正棱錐一般棱錐正棱柱球面距離球面面積球的體積.三．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：有關(guān)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的證明；向量的表示方法；向量的基本運(yùn)算；空間角度與距離的求解；特殊幾何體的表面積與體積計(jì)算是重點(diǎn)．難點(diǎn)：異面直線的角度與距離．二面角的平面角，特殊幾何體表面上兩點(diǎn)間距離（特別是球面上兩點(diǎn)距離）求解．.四．主要內(nèi)容：1．點(diǎn)、直線、平面是立體幾何中三個(gè)基本元素，有關(guān)平面的性質(zhì)的三個(gè)公理及推論是立體幾何中推理的主要理論根據(jù)．2．空間直線和直線、直線和平面、平面和平面位置關(guān)系的定義，判定及性質(zhì)研究是該章的主要內(nèi)容，而平行和垂直的位置判定又是本章的核心內(nèi)容，為此，必須熟練地掌握平行與垂直的判定和性質(zhì)的證明與運(yùn)用．現(xiàn)分述如下：.（1）線線平行的證明思路：①平行線公理（公理4）；②線面平行的性質(zhì)定理；③如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行；④兩個(gè)平行平面和第三平面相交，則它們的交線平行；⑤空間向量坐標(biāo)法：兩條直線的方向向量共線，記=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，則//等價(jià)于存在實(shí)數(shù)λ，使ai=λbi（i=1，2，3）．.（2）線面平行的證明思路；①線面平行的定義；②線面平行的判定定理；③兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)任一直線，必平行于另一平面；④空間向量坐標(biāo)法：直線的方向向量與平面的法向量垂直。.（3）面面平行的證明思路；①面面平行的定義；②面面平行的判定定理；③同垂直于一條直線的兩個(gè)平面平行；④如果兩個(gè)平面都與第三平面平行，則這三個(gè)平面平行；⑤空間向量坐標(biāo)法（即證一個(gè)平面內(nèi)兩不平行向量分別平行于另一平面內(nèi)的向量或兩個(gè)平面的法向量平行）．.（4）線線垂直的證明思路①異面直線垂直的定義；②三垂線定理及逆定理；③線面垂直的定義④空間向量坐標(biāo)法：記=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，則⊥a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．.（5）線面垂直的證明思路①線面垂直的定義；②線面垂直判定定理；③兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于一個(gè)平面；④兩個(gè)平面互相垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面；⑤一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中一個(gè)，則必垂直于另一個(gè)平面；⑥空間向量坐標(biāo)法（運(yùn)用構(gòu)造平面的法向量判定線面垂直，即直線的方向向量平行于平面的法向量）．.（6）面面垂直的思路①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理；③空間向量坐標(biāo)法：即兩個(gè)平面的法向量互相垂直。.注意事項(xiàng)一.證明題：1.必須畫圖，說明輔助線的畫法；2.證明中不要跳步，要用足相關(guān)的定理、定義，必要時(shí)可以用計(jì)算來證明；3.重要的定理要注明，如三垂線定理。.二.計(jì)算題：1.要用定義指明所求的角或距離；如求二面角問題中要找出交線，并在兩個(gè)平面內(nèi)分別找到與交棱垂直的直線，指出二面角的平面角；2.如果用余弦定理，則要指明三角形；3.必要時(shí)可以轉(zhuǎn)化為平面問題解決。.三.向量問題：1.建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；2.分清楚直線的方向向量和平面的法向量；特別是法向量，一定要說清楚是哪一個(gè)平面的法向量，并用垂直關(guān)系來解；3.在用空間基本定理解題時(shí)，要注意四點(diǎn)共面的條件應(yīng)用。.1．空間四點(diǎn)A、B、C、D確定六條直線，若AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC同時(shí)成立，則A、B、C、D四點(diǎn)的位置關(guān)系是（）（A）一定共面（B）一定共線（C）不一定共面（D）滿足題設(shè)的四點(diǎn)不存在C.2．已知a,b是不同的直線，α,β是不同的平面，則下列條件中，不能判定a⊥b的是（）（A）a⊥α,b⊥β,α⊥β（B）a⊥β,bβ（C）a//α,b//β,α⊥β（D）a⊥α,a⊥β,b//βC.3．下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；②兩個(gè)平面都與同一直線平行是這兩個(gè)平面平行的充要條件；③與一個(gè)平面等距離的兩點(diǎn)的連線，一定平行于這個(gè)平面；④如果一個(gè)平面與兩條異面直線的公垂線垂直，那么這兩條異面直線必分別平行于這個(gè)平面。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)A.4．若，，為任意向量，則下列公式不一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）D.5．已知+=(2,,2)，－=(0,,0)，則cos=（）（A）（B）（C）（D）A.6．正三棱錐的側(cè)面與下底面所成的二面角的余弦值為，則其相鄰兩側(cè)面所成的二面角的余弦值為（）（A）（B）（C）（D）0D.7．水平地面有一個(gè)圓球，在陽光的照射下，其影子伸到距球與地面接觸點(diǎn)10m遠(yuǎn)處，若此時(shí)，垂直于地面長(zhǎng)為1m的木桿影子長(zhǎng)為2m，則此球的半徑為（）（A）20m（B）(－1)m（C）5m（D）(10－20)mD.8．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，將它沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，若折疊后AB的長(zhǎng)為d，則d的最小值為（）（A）a（B）a（C）a（D）aC.9．正八面體相鄰兩面所成的二面角的正切值為（）（A）1（B）2（C）－（D）－2D.10．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的底面A1C1內(nèi)取一點(diǎn)E，使AE與AB、AD所成的角均為60°，則線段AE的長(zhǎng)為（）（A）（B）（C）（D）A.11．一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為那么該三棱柱的體積是（）（A）96（B）16（C）24（D）48D.12．設(shè)ABCD為正四面體，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，則△BEF在該四面體的面ADC上的射影是（）（A）（B）（C）（D）A.13．Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC的中點(diǎn)，AC=4，DE⊥平面ABC，且DE=1，則點(diǎn)E到AC的距離是

。.14．已知球面上A、B兩點(diǎn)的球面距離等于1，過這兩點(diǎn)的球的半徑的夾角等于60°，則這個(gè)球的表面積與體積之比等于

。π

.15．長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)等于1，其長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，則x+y+z的最大值等于

。.16．過底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，如果這個(gè)截面的面積為，那么這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成的角的正切值等于

。2

.17．PA，PB，PC是從P點(diǎn)引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角為60°，則直線PC與平面APB所成角的余弦值為

。.18．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值等于

。.19．若P是△ABC所在