新高考二輪復(fù)習(xí)真題源講義第13講 破解離心率問(wèn)題之第二、三定義及雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)類（解析版）

第13講破解離心率問(wèn)題之第二、三定義及雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)類參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為和，是橢圓上不同于，的一點(diǎn)．設(shè)直線，的斜率分別為，，則當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意可得，，設(shè)，則，而，，所以，又，令，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，最小，即，所以，故選：．2．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為和，是橢圓上不同于，的一點(diǎn)．設(shè)直線，的斜率分別為，，則當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，，設(shè)，，則，則，，，則．令，，，故時(shí)，取最小值，橢圓的離心率為．故選：．3．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上與，不重合的動(dòng)點(diǎn)，若直線，斜率之積為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，設(shè)，，則由在橢圓上可得，①直線與的斜率之積為，，②把①代入②化簡(jiǎn)可得，，故選：．4．設(shè)，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，設(shè)，，則由在橢圓上可得，①直線與的斜率之積為，，②把①代入②化簡(jiǎn)可得，，離心率．故選：．5．已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若的最小值為2，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，，，，兩式相減，得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線不符合條件，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為2，，，離心率．故選：．6．雙曲線，為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，為雙曲線上的點(diǎn)，且直線，斜率分別為，，若，則雙曲線離心率為A． B．2 C． D．【解答】解：由題意，設(shè)，，，，則，，，，兩式相減可得，即，，，，．故選：．7．雙曲線，、為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，為雙曲線上的點(diǎn)，且直線、斜率分別為、，若，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：由題意，設(shè)，，，，則，，，，兩式相減可得，，，，．故選：．8．設(shè)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，直線與直線是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率的乘積等于2，則此雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．【解答】解：設(shè)，，，，是線段的中點(diǎn)，，，把，，，分別代入雙曲線，得，，直線的斜率，，，，的斜率，與的斜率的乘積等于2，，，此雙曲線的離心率．故選：．9．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連結(jié)，，設(shè)，則，所以，．在△中，由余弦定理得，，化簡(jiǎn)消去，可得，解得．故選：．10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若存在過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，與雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是A．， B． C．， D．【解答】解：設(shè)，根據(jù)雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且，，，若存在過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，需保證．，則，．根據(jù)雙曲線的漸近線為，則，根據(jù)雙曲線的離心率，根據(jù)雙曲線的離心率，．故選：．11．已知斜率為的直線分別交雙曲線的左、右支于點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為2，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，，，，，，則，，因?yàn)椋c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為2，所以，所以，因?yàn)?，，，在雙曲線上，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，所以，所以離心率為，故選：．12．已知橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線和直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)，，，，，，，，兩式相減得：，即．直線，斜率之積為，，．橢圓的離心率．故選：．13．如圖，已知，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于，且不與，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的任意一點(diǎn)，若直線，的斜率之積為，且雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為A．2 B． C． D．【解答】解：設(shè)，，，則，，則，，由題意知，所以，故選：．14．已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，是橢圓上的不同兩點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，設(shè)，，則，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以由題意，所以可得，所以橢圓的離心率，故選：．15．已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，、是橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，若、的斜率之積為，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：由已知、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，則，，且，即．又，，故、的斜率之積為，故，所以橢圓離心率是．故選：．二．填空題（共10小題）16．橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，在橢圓上存在點(diǎn)滿足線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是．【解答】解：由題意，橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，而，，于，，即，，又，故故答案為：17．已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點(diǎn)，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由，得，，解得，故答案為：．18．如圖，已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點(diǎn)，則由得：，所以，，即，由橢圓的第二定義得，又由，得，，解得，故答案為：19．已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點(diǎn)，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由，得，，解得，故答案為：．20．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上且異于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．由題意，有，①由，，得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，橢圓的離心率．故答案為：．21．已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若的最小值為1，則雙曲線的離心率為．【解答】解：由題意，可設(shè)點(diǎn)，，．，且．兩式相減得．再由斜率公式得：．根據(jù)的最小值為1，可知，，故答案為：．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是雙曲線上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線，若，則雙曲線離心率等于．【解答】解：設(shè)，，則，由于雙曲線在點(diǎn)的切線方程為：，即在點(diǎn)切線的斜率，因?yàn)椋?，所以，又，所以，可得離心率，故答案為：23．過(guò)雙曲線右頂點(diǎn)且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍為．【解答】解：由題意過(guò)雙曲線，右頂點(diǎn)且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得雙曲線的漸近線斜率，，，雙曲線離心率的取值范圍為．故答案為：．24．經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為2．【解答】解：經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交