課件第六章變換

復(fù)變函數(shù)

與積分變換

主講：周暉杰寧波大學(xué)科技學(xué)院數(shù)學(xué)組二零零七年六月

大學(xué)數(shù)學(xué)多媒體課件2023/1/102參考用書《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等教育出版社,2003.6

《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》,華中科大,高等教育出版社

《復(fù)變函數(shù)》,西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室,高等教育出版社,1996.5

2023/1/103

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2023/1/104第六章傅里葉變換

2023/1/105第六章傅里葉變換

6.1傅里葉變換的概念

6.2單位脈沖函數(shù)6.3傅里葉變換性質(zhì)本章小結(jié)思考題2023/1/106第一節(jié)傅立葉變換的概念

一、周期函數(shù)展為傅立葉級數(shù)的三角式

三角形式2023/1/1072023/1/108上式稱為傅氏級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式．

指數(shù)形式2023/1/1092023/1/10102023/1/1011例1．解：2023/1/1012例2．解：2023/1/1013二、傅立葉積分與傅立葉變換

定理1

傅立葉積分上式(4)稱為傅立葉積分公式的復(fù)指數(shù)形式．

2023/1/1014傅立葉變換傅立葉逆變換2023/1/10152023/1/1016例3．解：2023/1/10172023/1/1018例4．解：例5．解：2023/1/10192023/1/1020例6．解：2023/1/10212023/1/1022第二節(jié)單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換一、引言

傅立葉級數(shù)與傅立葉變換以不同形式反映了周期函數(shù)與非周期函數(shù)的頻譜特性，是否可以借助某種手段將它們統(tǒng)一起來？更具體的說，是否能夠?qū)㈦x散頻譜以連續(xù)頻譜的方式表現(xiàn)出來？這就需要引入下面將要介紹的單位脈沖函數(shù)與廣義傅立葉變換．在工程實(shí)際中，有許多物理現(xiàn)象具有一種脈沖特征，它們僅在某一瞬間或某一點(diǎn)出發(fā)，在物理學(xué)中常常有質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、瞬時力等抽象模型．如：瞬時沖擊力、脈沖電流、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等等，這些物理量都不能用通常的函數(shù)形式去描述，為了描述這一類抽象的概念．我們介紹單位脈沖函數(shù)．

2023/1/1023這就表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠用來表示上述電路的電流強(qiáng)度，為了確定電流強(qiáng)度，我們引入一個新函數(shù)，稱為單位脈沖函數(shù)，

2023/1/1024二、單位脈沖函數(shù)的概念及其性質(zhì)

1.定義

2023/1/1025性質(zhì)1（函數(shù)的篩選性質(zhì)）

證明：

2023/1/1026性質(zhì)2性質(zhì)32023/1/1027三、單位脈沖函數(shù)的傅氏變換

2023/1/1028例1．解：2023/1/1029例2．證明：2023/1/1030例3．解：在這個例子中顯示，在廣義傅氏變換意義下，周期函數(shù)也可以進(jìn)行傅氏變換，其頻譜仍然是離散的，這一點(diǎn)與傅氏級數(shù)展開是一致的．所不同的是，這里用沖激強(qiáng)度來表示各頻率分量的幅值的相對大?。?023/1/1031定理（對一般的周期函數(shù)）

證明：2023/1/1032例4．解：由單位階躍函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式:

2023/1/1033例5．解：2023/1/1034重要公式2023/1/1035第三節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)一、基本性質(zhì)

2023/1/1036證明：2023/1/1037說明當(dāng)一個函數(shù)（或信號）沿時間軸移動后，它的各頻率成分的大小不發(fā)生改變，但是相位發(fā)生了變化；被用來進(jìn)行頻譜搬移，這一技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用．例1．解：2023/1/1038例2．解：2023/1/1039證明：2023/1/1040例3．解：2023/1/1041證明：2023/1/1042推論：證明：2023/1/1043證明：2023/1/1044例4．解：方程兩邊取傅氏變換，得：求上述傅氏逆變換，可以得到：運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì)，微分性質(zhì)及其積分性質(zhì)可以把線性常系數(shù)微分積分方程，通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換，可以得到此微分積分方程的解．2023/1/1045這一等式稱為帕賽瓦爾（Parseval）等式．證明：2023/1/1046例5．解：由于被積函數(shù)是偶函數(shù)，所以又有2023/1/1047例6．解：2023/1/1048二、卷積與卷積定理

本節(jié)介紹傅氏變換的另一類重要性質(zhì)：卷積與卷積定理．

1.卷積的概念2023/1/10492．卷積的性質(zhì)（1）交換律證明：（2）結(jié)合律（3）分配律證明：2023/1/1050例1．解：2023/1/1051例2．解：討論：2023/1/1052例3．解：2023/1/10532．卷積定理證明：(1)由卷積定義（位移性質(zhì)）2023/1/1054(2)由卷積定義推論：利用卷積定理可以簡化卷積的計(jì)算及某些函數(shù)的傅氏變換．

2023/1/1055例4．解：由前面討論知:由卷積定理有:2023/1/1056例5．解：利用傅氏變換性質(zhì)和卷積定理求傅氏變換．2023/1/1057例6．解：由位移性質(zhì)得:

所以由象函數(shù)的位移性質(zhì)得:所以由象函數(shù)的微分性質(zhì):2023/1/1058例7．解：根據(jù)卷積定理：由位移性質(zhì)：由卷積定理：2023/1/1059例8．證明：由卷積定理：