高中數(shù)學(xué)高考55第九章 平面解析幾何 9 6 雙曲線

§9.6雙曲線第九章

平面解析幾何NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)PARTONE平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的_________________等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫做_____________，兩焦點(diǎn)間的距離叫做______________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)_________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)_________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)不存在.1.雙曲線定義知識梳理ZHISHISHULI距離的差的絕對值雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦距2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)范圍________________________________________對稱性對稱軸：_______對稱中心：______頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線_______________離心率e＝

，e∈_________，其中c＝_________x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)(1，＋∞)性質(zhì)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝___，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝___；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝______(c>a>0，c>b>0)2a2ba2＋b2

1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？提示不一定.當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a＝0時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.2.方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？提示若A>0，B<0，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若A<0，B>0，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB<0.【概念方法微思考】3.與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，雙曲線哪些性質(zhì)受影響？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)××√基礎(chǔ)自測JICHUZICE1234567123456√√7題組二教材改編√1234567√12345674.[P54A組T6]經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_________.把點(diǎn)A(4,1)代入，得a2＝15(舍負(fù))，1234567題組三易錯自糾∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故選A.1234567√√1234567即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，12345672題型分類深度剖析PARTTWO題型一雙曲線的定義例1

(1)已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線

D.圓√解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，∴|MF2|＝2.∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.師生共研(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝___.解析∵由雙曲線的定義有1.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得∴|PF1|·|PF2|＝8，引申探究2.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“

”，則△F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)雙曲線x2－

＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________.設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2為銳角三角形，題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

(1)(2018·大連調(diào)研)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________________.師生共研解析如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.(2)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：解設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴b＝6，c＝10，a＝8.②焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)；解∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.解設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法(2)待定系數(shù)法①當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，設(shè)為Ax2＋By2＝1(AB<0).思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2018·沈陽調(diào)研)設(shè)橢圓C1的離心率為

，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.解析由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5，0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則||PF1|－|PF2||＝8.由雙曲線的定義知，a＝4，b＝3.可得a2＋b2＝9.

②由①②可得a2＝4，b2＝5.√題型三雙曲線的幾何性質(zhì)多維探究命題點(diǎn)1與漸近線有關(guān)的問題√解析由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，命題點(diǎn)2求離心率的值(或范圍)例4

已知直線l為雙曲線：

＝1(a>0，b>0)的一條漸近線，直線l與圓(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝a，則雙曲線C的離心率為________.解析由題意可知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，圓(x－c)2＋y2＝a2的圓心為(c,0)，半徑為a.(1)求雙曲線的漸近線的方法思維升華(2)求雙曲線的離心率(ⅱ)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.√解析因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，所以不妨設(shè)|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn)，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，故選A.離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個知識點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓與雙曲線的離心率問題難點(diǎn)的根本方法.高頻小考點(diǎn)GAOPINXIAOKAODIAN高考中離心率問題√解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.∴1≤b<2.故選A.例2

已知F1，F(xiàn)2為雙曲線的焦點(diǎn)，過F2作垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，BF1交y軸于點(diǎn)C，若AC⊥BF1，則雙曲線的離心率為√又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516√12345678910111213141516√解析根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，123456789101112131415164.(2018·金華模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于A.2 B.4 C.6 D.8√在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|解得|PF1|·|PF2|＝4.故選B.A.3B.2C.－3D.－2√12345678910111213141516解析由題意及正弦定理得∴|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，由余弦定理可知12345678910111213141516由題意可知△APF的周長l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，12345678910111213141516√當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)0，P三點(diǎn)共線時(shí)取得“＝”，故選B.A.32B.16C.84D.412345678910111213141516√12345678910111213141516所以雙曲線C的實(shí)軸長為16.故選B.12345678910111213141516√12345678910111213141516由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點(diǎn)，12345678910111213141516121234567891011121314151610.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－

＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于___.4解析由題意知a＝1，由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1為等腰三角形，∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1為等腰直角三角形.12345678910111213141516(0,2)1234567891011121314151612.(2018·福建六校聯(lián)考)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點(diǎn)，△APQ的一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為___.1234567891011121314151612345678910111213141516解析設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對稱，又△APQ的一個內(nèi)角為60°，∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，技能提升練12345678910111213141516√解析如圖，12345678910111213141516因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，12345678910111213141516√解析