《數(shù)學(xué)物理方程》全冊(cè)配套課件

電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)方法任課教師：陳其科聯(lián)系方式：E_mail：qkchen@

電話(huà)：61830311總學(xué)時(shí):

80課時(shí)教材：梁昆淼，《數(shù)學(xué)物理方程》（第四版）成績(jī)構(gòu)成：平時(shí)20%+半期考試20%+期末考試60%第一篇復(fù)變函數(shù)論第一篇復(fù)變函數(shù)論

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的分支學(xué)科研究對(duì)象：變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)

主要任務(wù)：研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴(lài)關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。應(yīng)用領(lǐng)域：求解物理學(xué)上復(fù)雜場(chǎng)分布問(wèn)題復(fù)數(shù)：實(shí)數(shù)和虛數(shù)的總稱(chēng)。課程意義第一篇復(fù)變函數(shù)論

復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)論發(fā)展歷程第一篇復(fù)變函數(shù)論

復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。

A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復(fù)變函數(shù)論發(fā)展歷程第一篇復(fù)變函數(shù)論

復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處，但又有不同之處。在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。學(xué)習(xí)方法1.2復(fù)變函數(shù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4解析函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)第一章復(fù)變函數(shù)第一篇復(fù)變函數(shù)論對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y，稱(chēng)為復(fù)數(shù)。其中：x稱(chēng)為復(fù)數(shù)的實(shí)部，

Y稱(chēng)為復(fù)數(shù)的虛部，

,稱(chēng)為虛單位。（一）復(fù)數(shù)的概念§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算1、復(fù)數(shù)定義

全體復(fù)數(shù)在引入復(fù)數(shù)運(yùn)算法則后，構(gòu)成復(fù)數(shù)域。在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)沒(méi)有大小的概念。注：第一章復(fù)變函數(shù)2、復(fù)數(shù)的模與幅角復(fù)數(shù)的模:復(fù)數(shù)的輻角:復(fù)數(shù)幾何表示復(fù)數(shù)幾何意義：實(shí)部與虛部可與平面坐標(biāo)點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。復(fù)數(shù)的三角表示：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的概念1）當(dāng)z=0時(shí)，幅角無(wú)意義；其中，滿(mǎn)足注：關(guān)于幅角的幾點(diǎn)說(shuō)明：2）根據(jù)三角函數(shù)周期性，一個(gè)復(fù)數(shù)有無(wú)限多個(gè)幅角或的幅角稱(chēng)為主幅角，記做：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的概念3、復(fù)數(shù)的指數(shù)表示歐拉公式：則：指數(shù)表示3）2）4）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算注：1）（一）復(fù)數(shù)的概念共軛復(fù)數(shù)：4、復(fù)數(shù)的共軛§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算注：（一）復(fù)數(shù)的概念（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加減法1）2）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算注：2、復(fù)數(shù)的乘法利用復(fù)數(shù)指數(shù)形式進(jìn)行乘法運(yùn)算比較簡(jiǎn)單指數(shù)式：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算注：3、復(fù)數(shù)的除法指數(shù)式：注：利用復(fù)數(shù)指數(shù)形式進(jìn)行除法運(yùn)算比較簡(jiǎn)單§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1）2）3）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算注：4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、分配律。例：若，求w?！?.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算解：故的主幅角有n個(gè)，即對(duì)應(yīng)有n個(gè)值：它們?cè)谝宰鴺?biāo)原點(diǎn)為中心，半徑為的圓周上均勻分布。例：討論式子在復(fù)平面上的意義解：為圓上各點(diǎn)令§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算例：求方程sinz=2解：設(shè)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算或或（續(xù)上）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一）區(qū)域的概念由確定的平面點(diǎn)集，稱(chēng)為定點(diǎn)z0的—鄰域鄰域：內(nèi)點(diǎn)：若z0及其鄰域全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱(chēng)z0為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)：若z0及其鄰域不含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱(chēng)z0為點(diǎn)集E的外點(diǎn)1、幾個(gè)定義§1.2復(fù)變函數(shù)邊界點(diǎn):若z0及其鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，稱(chēng)z0為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)邊界點(diǎn)外點(diǎn)（一）區(qū)域的概念§1.2復(fù)變函數(shù)2、區(qū)域A）全由內(nèi)點(diǎn)組成B）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線(xiàn)連接，且折線(xiàn)上的點(diǎn)屬于該點(diǎn)集。

復(fù)變函數(shù)的宗量z在復(fù)平面上的滿(mǎn)足下述條件的定義域（點(diǎn)集），稱(chēng)為區(qū)域：閉區(qū)域：

區(qū)域B連同它的邊界稱(chēng)為閉區(qū)域，表示為表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的閉區(qū)域（一）區(qū)域的概念§1.2復(fù)變函數(shù)如：3、區(qū)域連通性的分類(lèi)

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線(xiàn)所圍成的部分都屬于D,則稱(chēng)D為平面單連通區(qū)域,否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD（一）區(qū)域的概念§1.2復(fù)變函數(shù)

若復(fù)數(shù)平面中存在的點(diǎn)集E，對(duì)于E的每一個(gè)點(diǎn)（復(fù)數(shù)），均按照某種規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)為的復(fù)變函數(shù)?！?.2復(fù)變函數(shù)（二）復(fù)變函數(shù)的定義z稱(chēng)為w的宗量，E稱(chēng)為函數(shù)定義域其中：記做：二元實(shí)函數(shù)（三）復(fù)變函數(shù)例幾個(gè)常見(jiàn)初等函數(shù)定義式：§1.2復(fù)變函數(shù)周期特性：可大于1。（三）復(fù)變函數(shù)例§1.2復(fù)變函數(shù)（一）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性

設(shè)w=f(z)在z0點(diǎn)的某鄰域有定義，對(duì)于任意>0，若存在>0，使得時(shí)，有則稱(chēng)w0為z→z0時(shí)極限，計(jì)為1)z在全平面，z→z0的方式是任意的（與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高）1、復(fù)變函數(shù)的極限2)w0是復(fù)數(shù).

3)

若f(z)在處有極限,其極限是唯一的注：§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若在處連續(xù)，則有（一）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性若時(shí)，有

，稱(chēng)f(z)在z0點(diǎn)連續(xù)2、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性若f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（二）導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)設(shè)w=f(z)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù)，如果極限存在，并且與Δz→0的方式無(wú)關(guān)，則稱(chēng)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z處可導(dǎo)，該極限值稱(chēng)為函數(shù)f(z)在點(diǎn)z處的導(dǎo)數(shù)，即1、定義§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（二）導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)公式和法則可應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)。2、求導(dǎo)法則（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)變函數(shù)求導(dǎo)：Δx沿實(shí)數(shù)軸趨近0復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)：Δz沿實(shí)平面任一曲線(xiàn)趨近0復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)遠(yuǎn)比實(shí)變函數(shù)可導(dǎo)要求嚴(yán)格。（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、柯西-黎曼條件——必要條件

若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z可導(dǎo)，則Δz沿實(shí)軸(x軸)和虛軸(y軸)趨近于0應(yīng)相等，即：==沿x軸：沿y軸：柯西-黎曼條件（C-R條件）（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

柯西-黎曼條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件。例：證明在z=0處滿(mǎn)足C.R.條件，但在z=0處不可導(dǎo)。證：滿(mǎn)足C.R.條件而令，則隨而變，故在z=0處不可導(dǎo)（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件

函數(shù)f(z)在點(diǎn)

z可導(dǎo)的充要條件是：

1）存在且連續(xù)；

2）滿(mǎn)足柯西-黎曼條件。證明：（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件(續(xù)）由C.R.條件

1）可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系。當(dāng)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，僅由其實(shí)部或虛部即可求得導(dǎo)數(shù)。（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件(續(xù)）2）利用該條件可以判斷函數(shù)是否可導(dǎo)。注：3）復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解步驟：I)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性II)驗(yàn)證C-R條件III)由實(shí)部或虛部求導(dǎo)數(shù)：（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3、極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼條件

復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示應(yīng)用廣泛，極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼條件也有應(yīng)用價(jià)值。（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3、極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼條件（續(xù)）（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)1、解析函數(shù)的定義若w=f(z)在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)，稱(chēng)f(z)在點(diǎn)z0解析若w=f(z)是在區(qū)域

B上任意點(diǎn)可導(dǎo)，稱(chēng)f(z)在區(qū)域B

解析1）在某個(gè)區(qū)域上，函數(shù)可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。注：2）函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)解析的充要條件是：

a）在區(qū)域B內(nèi)可導(dǎo)且連續(xù)；

b）滿(mǎn)足柯西-黎曼條件。3）某區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)在該區(qū)域必有任意階導(dǎo)數(shù)例：證明：f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析，且f’(z)=f(z)。證：在復(fù)平面上均一階偏導(dǎo)連續(xù)且滿(mǎn)足C.R.條件——解析（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)定義1：在某區(qū)域上有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)。（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)2、解析函數(shù)的性質(zhì)由C.R.條件前一式對(duì)x

求導(dǎo)，后式對(duì)y

求導(dǎo)，相加同理共軛調(diào)和函數(shù)定義2：若兩調(diào)和函數(shù)分別為同一復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部，則稱(chēng)為共軛調(diào)和函數(shù)。（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)性質(zhì)一：若函數(shù)在區(qū)域B上解析，則為區(qū)域B上的共軛調(diào)和函數(shù)。2、解析函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）性質(zhì)二：若函數(shù)在區(qū)域B上解析，則是相互正交的兩組曲線(xiàn).（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)

若給定一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)u(x,y)或v(x,y)，可利用C.R.條件，求出其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)或u(x,y)，進(jìn)而確定解析函數(shù)具體方法：設(shè)已知u(x,y)，求v(x,y)全微分式（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)求解方法：方法一、曲線(xiàn)積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：故u為調(diào)和函數(shù)（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法一、曲線(xiàn)積分法例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法二、湊全微分顯式法例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法三、不定積分法對(duì)第二式對(duì)y積分，視x為參數(shù)，則有：例：已知解析函數(shù)f(z)實(shí)部,求v(x,y)解：化為極坐標(biāo)求解（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)單值函數(shù)：復(fù)數(shù)平面上點(diǎn)集E中的每一個(gè)點(diǎn),均按照某種映射關(guān)系，與一個(gè)復(fù)數(shù)值對(duì)應(yīng)，單值復(fù)變函數(shù)。多值函數(shù)：復(fù)數(shù)平面上點(diǎn)集E中的每一個(gè)點(diǎn),均按照某種映射關(guān)系，與多個(gè)復(fù)數(shù)值對(duì)應(yīng)，單值復(fù)變函數(shù)?！?.5單值函數(shù)與多值函數(shù)（一）初等單值函數(shù)1、冪函數(shù)

當(dāng)n是正整數(shù)或0在復(fù)平面上解析。2、多項(xiàng)式函數(shù)在復(fù)平面上解析.3、有理函數(shù)在復(fù)平面上除使Q(z)=0的點(diǎn)外解析§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)（一）初等單值函數(shù)4、指數(shù)函數(shù)(ⅰ)ez≠0,因?yàn)閨ez|=|ex·eiy|=ex>0.(ⅱ)對(duì)于實(shí)數(shù)z=x(y=0)來(lái)說(shuō),我們定義與通常實(shí)指數(shù)函數(shù)的定義是一致的.(ⅲ)ez1·ez2=ez1+z2.(ⅳ)w=ez在復(fù)平面上解析,且(ⅴ)由歐拉公式:由此可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù):（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)5、正、余弦函數(shù)有:（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)性質(zhì)1:在復(fù)平面上解析,且性質(zhì)2：sinz是奇函數(shù),cosz是偶函數(shù),它們遵從三角公式性質(zhì)3：sinz及cosz以為周期.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)：性質(zhì)4：sinz=0必須且只須cosz=0必須且只須（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)（續(xù)）：性質(zhì)5：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再能斷定

通過(guò)sinz,cosz我們可以依照通常的關(guān)系定義正切、余切、正割、余割.（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等均為多值函數(shù)。1、根式函數(shù)即：多值函數(shù)造成根式函數(shù)多值的原因：（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)考察z的連續(xù)變化：(1)z從給定點(diǎn)z0

出發(fā)，對(duì)應(yīng)的值w從w0出發(fā)；z環(huán)繞原點(diǎn)(z=0)轉(zhuǎn)一圈回到原處，輻角變?yōu)棣?+2π，而w由w0變?yōu)閣1，即w從一個(gè)單值分支變到另一個(gè)單值分支；繼續(xù)沿逆時(shí)針?lè)较蚶@z=0轉(zhuǎn)一圈，z再次回到原處，輻角變?yōu)棣?+4π，而w由w1變?yōu)閣0。如路徑未包圍原點(diǎn)(z=0),則w始終在同一單值分支中變化，不會(huì)變化到另一分支z的輻角的多值性，即2、單值分支

多值函數(shù)的每個(gè)值稱(chēng)為單值分支。如w1,w2為的兩個(gè)單值分支。2)所有分支值域合起來(lái)覆蓋整個(gè)w平面。（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)1)單值分支間值域互不交迭。注：（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)3、支點(diǎn)支點(diǎn)特性:

當(dāng)z繞任一包圍它的路徑一周并回到原處時(shí),函數(shù)值不復(fù)原，多值函數(shù)值由一個(gè)分支變到另一個(gè)分支，具有這種性質(zhì)的點(diǎn)稱(chēng)為多值函數(shù)的支點(diǎn)。顯然：z=0，z=∞均為的支點(diǎn)。

若z繞支點(diǎn)n周后，函數(shù)值w復(fù)原，則稱(chēng)該支點(diǎn)為n-1階支點(diǎn)。注：例：的割縫：其支點(diǎn)為z=0，z=∞

（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)4、支割線(xiàn)

在兩個(gè)支點(diǎn)之間作割縫，并規(guī)定：z在連續(xù)變化的過(guò)程中不能跨越割縫，該割縫所在位置稱(chēng)為割線(xiàn)。

從z=0出發(fā)，沿x軸正方向作一割縫至z=∞。此時(shí)，z無(wú)論在平面上怎樣變化都不可能繞z=0或z=∞轉(zhuǎn)一圈，則輻角的變化范圍在2π之內(nèi)，由此可知，w的值必在一個(gè)單值分支之內(nèi)。（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)5、黎曼面

中，z的第一圈和第二圈分別在“不同的”復(fù)數(shù)平面上運(yùn)行，即將z平面分為兩葉平面。為了將各個(gè)分支作為整體來(lái)研究：

(1)第一頁(yè)的下岸與第二頁(yè)的上岸φ=2π粘合在一起;(2)第二頁(yè)的下岸與第一頁(yè)的上岸φ=0粘合在一起。形成的面稱(chēng)為黎曼面。2.2柯西定理2.3不定積分§2.1復(fù)變函數(shù)的積分第二章復(fù)變函數(shù)的積分第一篇復(fù)變函數(shù)論2.4柯西公式

設(shè)：(1)連續(xù)函數(shù)（一）積分定義§2.1復(fù)變函數(shù)的積分(2)C為區(qū)域D內(nèi)一條A→B的有向光滑路徑。(3)將C劃分成n個(gè)小段，端點(diǎn)為z0，z1，……,zn。(4)在每一小段[zk-1，zk]上，任取ζk，做乘積。(5)做和式。

若：無(wú)論如何分割C，極限存在，且與ζk選取無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此極限為沿C從A到B的路積分（二）積分的表示§2.1復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線(xiàn)積分。因此實(shí)變函數(shù)線(xiàn)積分的很多性質(zhì)可以應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)中。

函數(shù)積分表示為：

由于，則例：計(jì)算積分分別沿路徑(1)和(2),如圖解：路徑(1)由此可見(jiàn)，對(duì)于有些被積函數(shù)而言，積分與路徑有關(guān)路徑(2)(1)(2)§2.1復(fù)變函數(shù)的積分§2.2柯西定理

柯西定理揭示了復(fù)變函數(shù)的積分值與積分路徑的關(guān)系。（一）單通區(qū)域柯西定理

若函數(shù)在閉單連通區(qū)域上解析，為區(qū)域內(nèi)任意分段光滑閉合曲線(xiàn)（也可為邊界曲線(xiàn)），則有

格林公式：

由柯西-黎曼條件：?jiǎn)瓮▍^(qū)域柯西定理§2.2柯西定理（一）單通區(qū)域柯西定理

若函數(shù)在單連通區(qū)域上解析，在閉單通區(qū)域上連續(xù)，為區(qū)域內(nèi)任意分段光滑閉合曲線(xiàn)（也可為邊界曲線(xiàn)），則有單通區(qū)域柯西定理推論推論一：推論二：

單連通區(qū)域中解析函數(shù)f(z)的積分值與路徑無(wú)關(guān)。ABl2l1證明：

若是閉復(fù)通區(qū)域上的單值函數(shù)，則§2.2柯西定理（二）復(fù)通區(qū)域柯西定理

將單連通區(qū)域中的奇點(diǎn)排除后，即形成復(fù)通區(qū)域。復(fù)通區(qū)域柯西定理式中：l為區(qū)域外境界線(xiàn)，li為區(qū)域內(nèi)境界線(xiàn)。境界線(xiàn)正方向的規(guī)定：觀(guān)察者正方向前進(jìn)時(shí)，區(qū)域總在觀(guān)察者左邊。外境界線(xiàn)正向：逆時(shí)針，內(nèi)境界線(xiàn)正向：順時(shí)針ll1l2§2.2柯西定理（二）復(fù)通區(qū)域柯西定理（續(xù)）l2l1lABA’B’C’D’CD證明：

將復(fù)通區(qū)域做割線(xiàn)連接內(nèi)外境界線(xiàn)，則復(fù)通區(qū)域變單通區(qū)域。由單通區(qū)域柯西定理，得：

:逆時(shí)針?lè)较蚍e分關(guān)于柯西定理的說(shuō)明：1、閉單通區(qū)域上解析函數(shù)沿境界線(xiàn)積分為0；

2、閉復(fù)通區(qū)域上解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線(xiàn)正方向積分之和為0；

3、閉復(fù)通區(qū)域解析函數(shù)沿外境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较蚍e分等于沿所有內(nèi)境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较蚍e分之和。

4、在閉單通或閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)，只要起點(diǎn)和終點(diǎn)固定，積分結(jié)果與積分路徑無(wú)關(guān)?！?.2柯西定理

由柯西定理：?jiǎn)芜B通區(qū)域中，解析函數(shù)f(z)的路徑積分值與路經(jīng)無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)。故：固定起點(diǎn)z0，則不定積分可以證明：§2.3不定積分定義了一單值函數(shù)，且F(z)

是f(z)

的原函數(shù)，即：（一）不定積分定義（重要例題）：計(jì)算積分lCR（n為整數(shù)）解：n<0時(shí),z=為（z-)n的奇點(diǎn)。繞作小圓C,在C上

§2.3不定積分n0時(shí)，被積函數(shù)解析。由柯西定理，知由柯西定理

（續(xù)上例）§2.3不定積分重要結(jié)論：§2.4柯西公式

若：f(z)

在閉單通區(qū)域上解析，l是閉區(qū)域的邊界線(xiàn)，是閉區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)，則有柯西積分公式證明：由2.3節(jié)例題結(jié)論，有將上式代入柯西公式，則只需證明：（一）柯西積分公式

由于是被積函數(shù)奇點(diǎn)。以為圓心，ε→0為半徑做小圓Cg，則由柯西定理§2.4柯西公式（一）柯西積分公式(續(xù))對(duì)上式右端估值，很明顯，ε→0時(shí)，f(z)→f()

，故有（得證）z§2.4柯西公式柯西公式的意義：柯西公式可表示為：（一）柯西積分公式(續(xù))

一個(gè)解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值f()確定,即函數(shù)在邊界上的值一經(jīng)確定，其內(nèi)部任一點(diǎn)值也就確定?！?.4柯西公式

解析函數(shù)f(z)

在區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)時(shí)，則將奇點(diǎn)挖去后形成復(fù)通區(qū)域，在該復(fù)通區(qū)域內(nèi)，柯西積分公式仍然成立。注：zll1l2（一）柯西積分公式(續(xù))——復(fù)通區(qū)域內(nèi)柯西積分公式注意：內(nèi)境界線(xiàn)和外境界線(xiàn)上積分路徑方向均為正方向?！?.4柯西公式（二）柯西積分公式重要推論推論一：解析函數(shù)可求任意次導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為推論二：劉維爾定理：有界整函數(shù)必為常數(shù)。即：若f(z)在全平面上解析，且，則§2.4柯西公式（二）柯西積分公式重要推論推論三：平均值定理：設(shè)f(z)在整個(gè)平面上解析，則在空間某點(diǎn)z的值等于f(z)在以其為圓心的圓周上所有點(diǎn)的值得平均值。證明：由柯西公式

取l為以z為中心，半徑為r的圓周路徑，則在圓周上圓周上的平均值§2.4柯西公式（二）柯西積分公式重要推論推論四：模數(shù)定理：設(shè)f(z)在某個(gè)閉區(qū)域上解析，則其模只能在境界線(xiàn)上才能達(dá)到最大值。§2.4柯西公式

例：(1)求(2)

解：(1)(2)（三）柯西積分公式的應(yīng)用例：計(jì)算：l為圓ixy解：奇點(diǎn)為z=0,z=i,z=-i,在l內(nèi)只有

z=i（三）柯西積分公式的應(yīng)用§2.4柯西公式例：，C為圓周解：處處解析，求：（三）柯西積分公式的應(yīng)用§2.4柯西公式函數(shù)有精確表示和近似表示。精確表示（解析表示）：表示為初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算近似表示：通過(guò)逼近，近似表示為初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算級(jí)數(shù)表示：近似表示的一種，表示為一個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)3.2冪級(jí)數(shù)3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)之和若：則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂于F，此時(shí)實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)的兩個(gè)級(jí)數(shù)也是收斂的?！?.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與柯西判據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì)可移用于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂的定義§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與柯西判據(jù)2、柯西收斂判據(jù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：對(duì)于任一小的正數(shù)，必存在N

使得n>N

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)。§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與柯西判據(jù)3、絕對(duì)收斂若復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。1）絕對(duì)收斂的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必然收斂。注：2）兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的和或積仍絕對(duì)收斂。復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（二）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域B中收斂的充要條件：

對(duì)于任一小的正數(shù)，必存在N(z)

使得n>N(z)

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)。若N與z無(wú)關(guān)，則稱(chēng)該復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂。注：§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（二）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相關(guān)性質(zhì)：1、若復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域B（或路徑l)上一致收斂，且每一項(xiàng)都在區(qū)域B(或路徑l）上連續(xù)，則級(jí)數(shù)和也是區(qū)域B(路徑l）內(nèi)連續(xù)函數(shù)。2、在區(qū)域B內(nèi)，若復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的模

而常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)在區(qū)域B上絕對(duì)且一致收斂?！?.2冪級(jí)數(shù)（一）冪級(jí)數(shù)定義

冪級(jí)數(shù)是指各項(xiàng)都是冪函數(shù)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。稱(chēng)為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)。其中，各系數(shù)項(xiàng)均為復(fù)常數(shù)?！?.2冪級(jí)數(shù)（二）冪級(jí)數(shù)的收斂性判別——達(dá)朗貝爾判別法1、達(dá)朗貝爾收斂判據(jù)（比值判別法）由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判定法可知，若模級(jí)數(shù)考察冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模組成的級(jí)數(shù)則模級(jí)數(shù)收斂。由絕對(duì)收斂定義，知冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?！?.2冪級(jí)數(shù)2、收斂圓由前可知，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件為：引入，則冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件變?yōu)椋菏諗繄A：以z0圓心，半徑為R的圓。R稱(chēng)為收斂半徑。冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂，而在圓上和圓外可能發(fā)散。圓外仍可能有區(qū)域是收斂的。（二）冪級(jí)數(shù)的達(dá)朗貝爾收斂性判據(jù)若

，則冪級(jí)數(shù)發(fā)散；若

，則模級(jí)數(shù)收斂，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；§3.2冪級(jí)數(shù)3、根值判別法：（三）冪級(jí)數(shù)的收斂性判別——根值判別法由此可得收斂半徑的另外一種定義：例：求冪級(jí)數(shù)的收斂圓（t為復(fù)變量）。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以t=0為圓心，半徑為1的圓。§3.2冪級(jí)數(shù)例：求冪級(jí)數(shù)的收斂圓。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以z=0為圓心，半徑為1的圓。§3.2冪級(jí)數(shù)例：求冪級(jí)數(shù)的收斂圓。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以z=0為圓心，半徑為2的圓?！?.2冪級(jí)數(shù)§3.2冪級(jí)數(shù)（四）冪級(jí)數(shù)的積分表示將上式沿收斂圓內(nèi)路徑積分，并利用柯西公式，可得：在收斂圓內(nèi)，冪級(jí)數(shù)的和可表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分——解析函數(shù)?！?.3泰勒級(jí)數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)都存在的實(shí)變函數(shù)可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。問(wèn)題：解析函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)都存在，是否可將其展開(kāi)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)呢？可以！§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)定理：

設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意點(diǎn)，可展開(kāi)為其中即：泰勒級(jí)數(shù)§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)證明：

設(shè)在收斂圓內(nèi)解析，則由柯西積分公式而由于ζ為積分路徑上點(diǎn)，而z為積分路徑內(nèi)點(diǎn)，故有§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)證明(續(xù))：§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)例：在z0=0的鄰域上將展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。解：（展開(kāi)時(shí)能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)）§3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)例：在z0=0的鄰域上將展開(kāi)。解：§3.4解析延拓（一）解析延拓概念考察如下兩個(gè)函數(shù)在區(qū)域等同

對(duì)于某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z)，如果能找到另一個(gè)函數(shù)F(z)，它在含有區(qū)域b的一個(gè)較大的區(qū)域B上解析，且在區(qū)域b上等同于f(z)

，則這個(gè)過(guò)程就叫解析延拓。解析延拓：bB§3.4解析延拓（二）解析延拓唯一性可以證明：函數(shù)f(z)和F(z)在區(qū)域B上解析，若在B的某子區(qū)域b上有

f(z)≡F(z)，則在整個(gè)區(qū)域B上必有

f(z)≡F(z)

?！?.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)（一）雙邊冪級(jí)數(shù)

當(dāng)所研究的區(qū)域上存在函數(shù)的奇點(diǎn)時(shí)，就不再能將函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)，而需考慮在除去奇點(diǎn)的環(huán)域上的展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)?？疾祀p邊冪級(jí)數(shù)：收斂半徑為R1令收斂半徑記為1/R2，即在圓z-z0=R2外收斂。§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)若R2<R1，則雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)域R2<z-z0<R1內(nèi)絕對(duì)且一致收斂，其和為一解析函數(shù)，級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)。環(huán)域R2<z-z0<R1稱(chēng)為該雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂環(huán)。（一）雙邊冪級(jí)數(shù)（續(xù)）§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)（一）洛朗級(jí)數(shù)洛朗展開(kāi)定理：

設(shè)f(z)在環(huán)域R2<|z-z0|<R1的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可展為冪級(jí)數(shù)

其中積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線(xiàn)。z0R1CR1R2C'R2CR1CR2C洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)證明：為避免圓周上函數(shù)的解析性和級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，將外圓稍微縮小為CR1、內(nèi)圓稍微擴(kuò)大為CR2，利用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式：§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)z0R1CR1R2C'R2CR1CR2C§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)例：在以z=0為中心的0<|z|<+的圓環(huán)域內(nèi)把展開(kāi)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)解:（直接法）例：在z=1的領(lǐng)域上將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)解:先將函數(shù)分解為奇點(diǎn)分別為z=1和z=-1，因此在環(huán)域內(nèi)解析，故有例：在z=0的鄰域上將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。

§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)解:先將函數(shù)分解為奇點(diǎn)分別為z=1和z=2，因此在z=0的鄰域上可在三個(gè)環(huán)狀區(qū)域內(nèi)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)。§3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)§3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（一）孤立奇點(diǎn)與非孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：

若函數(shù)f(z)在某z0點(diǎn)處不可導(dǎo)，而在的任意小鄰域內(nèi)除z0外處處可導(dǎo)，則稱(chēng)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。非孤立奇點(diǎn)：

若函數(shù)f(z)在某z0點(diǎn)處不可導(dǎo)，而在的任意小鄰域內(nèi)總可找到除z0外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱(chēng)z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/[sin(1/z)]在z0=0點(diǎn)的情況洛朗級(jí)數(shù)的正冪項(xiàng)(含常數(shù)項(xiàng))部分被稱(chēng)作解析部分(或正則部分)；負(fù)冪項(xiàng)部分被稱(chēng)為主要部分(或無(wú)限部分)?！?.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)

洛朗級(jí)數(shù)的正冪項(xiàng)(含常數(shù)項(xiàng))部分被稱(chēng)作解析部分(或正則部分)；負(fù)冪項(xiàng)部分被稱(chēng)為主要部分(或無(wú)限部分)。a-1具有特別重要的地位，特稱(chēng)其為函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0的留數(shù)?！?.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)例:z0=0為

sinz/z可去奇點(diǎn)1、可去奇點(diǎn)若函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級(jí)數(shù)中不含有(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，則稱(chēng)z0為f(z)的可去奇點(diǎn)。

可去奇點(diǎn)的主要特征（1）f(z)在奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中無(wú)主要部分；（2）即f(z)在z0點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有界?！?.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)2、極點(diǎn)若函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級(jí)數(shù)中含有有限個(gè)(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，則稱(chēng)z0為f(z)的極點(diǎn)。其中a-m0，m為有限數(shù)，則稱(chēng)z0為f(z)的m階極點(diǎn)。特殊地，一階極點(diǎn)稱(chēng)為單極點(diǎn)。

極點(diǎn)的主要特征：1.f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的主要部分為有限多項(xiàng)；2.。例:f(z)=(z-2)/[(z2+1)(z-1)3],討論z=1,z=i§3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)3、本性奇點(diǎn)若函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)限多(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，則稱(chēng)z0為f(z)的本性奇點(diǎn)。

對(duì)于本性奇點(diǎn)z0，當(dāng)zz0時(shí)，f(z)的值并不固定，而是與z趨于z0的方式有關(guān)。

本性奇點(diǎn)的特征1.f(z)在本性奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的主要部分為無(wú)限多項(xiàng)；2.當(dāng)zz0時(shí)，不存在。例：z0=0是f(z)=exp(1/z)的本性奇點(diǎn)§3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)

洛朗級(jí)數(shù)的正冪項(xiàng)(含常數(shù)項(xiàng))部分被稱(chēng)作解析部分(或正則部分)；負(fù)冪項(xiàng)部分被稱(chēng)為主要部分(或無(wú)限部分)。a-1具有特別重要的地位，特稱(chēng)其為函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0的留數(shù)。3、本性奇點(diǎn)§3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)（二）可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)

洛朗級(jí)數(shù)的正冪項(xiàng)(含常數(shù)項(xiàng))部分被稱(chēng)作解析部分(或正則部分)；負(fù)冪項(xiàng)部分被稱(chēng)為主要部分(或無(wú)限部分)。a-1具有特別重要的地位，特稱(chēng)其為函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0的留數(shù)?？疾旖馕龊瘮?shù)回路積分問(wèn)題：第四章留數(shù)定理情況1：被積函數(shù)在積分回路所圍區(qū)域內(nèi)解析由柯西定理可知：情況2：被積函數(shù)在積分回路所圍區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)第四章留數(shù)定理4.2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分§4.1留數(shù)定理（一）留數(shù)§4.1留數(shù)定理問(wèn)題：若f(z)在l內(nèi)有奇點(diǎn)，情況1：l內(nèi)有一個(gè)孤立奇點(diǎn)z=z0z0ll0由復(fù)通區(qū)域柯西定理：l0為包圍z0的一個(gè)小回路。將f(z)在以z0為中心的環(huán)域上展為洛朗級(jí)數(shù)（一）留數(shù)§4.1留數(shù)定理留數(shù)定義：

設(shè)是的孤立奇點(diǎn)，是包圍在內(nèi)的閉曲線(xiàn)，且不包含的另外奇點(diǎn)，則在點(diǎn)的留數(shù)(Residue)定義為

函數(shù)在奇點(diǎn)的留數(shù)等于函數(shù)在該奇點(diǎn)處洛朗級(jí)數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)（二）留數(shù)定理§4.1留數(shù)定理問(wèn)題：若f(z)在l內(nèi)有奇點(diǎn)，情況2：l內(nèi)有n個(gè)孤立奇點(diǎn)由復(fù)通區(qū)域柯西定理：（二）留數(shù)定理§4.1留數(shù)定理留數(shù)定理：

設(shè)函數(shù)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則

留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積函數(shù)在回路所圍各奇點(diǎn)留數(shù)之和。（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理留數(shù)計(jì)算一般原則：

在以奇點(diǎn)為圓心的圓環(huán)域上將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)，并取其負(fù)一次冪項(xiàng)系數(shù)即可。

若奇點(diǎn)為極點(diǎn)，可不作洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)直接求解。（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理1、奇點(diǎn)為單極點(diǎn)(一階極點(diǎn))時(shí)設(shè)z0

是

f(z)的一階極點(diǎn)，即有特殊地，若一階極點(diǎn)判斷依據(jù)（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理2、奇點(diǎn)為m階極點(diǎn)時(shí)設(shè)z0

是

f(z)的m階極點(diǎn)，即有兩邊乘,得到：m階極點(diǎn)判據(jù)（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理2、奇點(diǎn)為m階極點(diǎn)時(shí)為了求a-1,對(duì)上式求m-1階導(dǎo)數(shù)：即可得m階極點(diǎn)留數(shù)計(jì)算公式：（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理例1：求在處的留數(shù)。另解m=?解：（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理例2：求在其奇點(diǎn)的留數(shù)。

解：z=n為一價(jià)極點(diǎn)（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理例3：求在其奇點(diǎn)的留數(shù)。解：故：z=2i為單極點(diǎn),z=0為三階極點(diǎn)。（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理例4：求積分解：（三）留數(shù)的計(jì)算§4.1留數(shù)定理續(xù)前：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分實(shí)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)的回路積分

將在區(qū)間l1=[a,b]的實(shí)變函數(shù)積分與復(fù)平面上的回路積分聯(lián)系起來(lái)?；舅枷?方法：

補(bǔ)充線(xiàn)段

l2,并且延拓函數(shù)到整個(gè)復(fù)平面，構(gòu)成回路積分：xyoabl1l2b1b3b2bmbkll=l1+

l2易于求解利用留數(shù)定理求解§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx

的有理式；（2）積分區(qū)間是[0,2]；（3）在區(qū)間[0,2]內(nèi)，無(wú)奇點(diǎn)。（一）類(lèi)型一：處理方法：則原積分變?yōu)椋骸?.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（一）類(lèi)型一：例1:計(jì)算積分解：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（一）類(lèi)型一：例2:計(jì)算積分解：被積函數(shù)有單極點(diǎn)由留數(shù)定理：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分其中：(1)積分區(qū)間是(-,+);(2)復(fù)變函數(shù)f(z)

在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)（b1,b2…bn)外解析；

(3)當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上時(shí)，一致的|zf(z)|0；（二）類(lèi)型二：特殊地：當(dāng)f(x)是有理分式時(shí)：由條件(1)(2)(3)，要求積分式的分母在實(shí)軸無(wú)零點(diǎn)，且分母的次數(shù)高于分子次數(shù)至少二次。§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（二）類(lèi)型二：處理方法：其積分主值為：補(bǔ)充圍路如圖,作線(xiàn)積分-R?+RxyCR?bkoR(留數(shù)定理)(證明略)§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（二）類(lèi)型二：例題3求積分單極點(diǎn)，只需考慮上半平面極點(diǎn)+i解：滿(mǎn)足類(lèi)型二條件要求?！?.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（二）類(lèi)型二：例題4求積分解：被積函數(shù)滿(mǎn)足類(lèi)型二條件要求。上半平面奇點(diǎn)為n階極點(diǎn)+i?！?.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（二）類(lèi)型二：（續(xù)例題4）§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（二）類(lèi)型二：例題5求積分解：被積函數(shù)為偶函數(shù)，故

由例4結(jié)論，知：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（三）類(lèi)型三：其中：（1）積分區(qū)間；（2）偶函數(shù)F(z)

和奇函數(shù)G(z)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)（b1,b2…bn)外解析；（3）當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上時(shí)，一致地F(z),G(z)0；§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（三）類(lèi)型三：處理方法：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（三）類(lèi)型三：類(lèi)型二故：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（三）類(lèi)型三：例題6：求積分解：滿(mǎn)足類(lèi)型三條件要求，故在上半平面內(nèi)，z=ia為一階極點(diǎn)。§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（三）類(lèi)型三：例題7：求積分解：滿(mǎn)足類(lèi)型三條件要求，故在上半平面內(nèi)，z=ia為二階極點(diǎn)?！?.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（四）類(lèi)型四：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的積分

其中：

(1)函數(shù)f(z)

在實(shí)軸上有單極點(diǎn)

a，上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)（b1,b2…bn)外解析；

(2)當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上時(shí)，一致地|zf(z)|0；或滿(mǎn)足第三類(lèi)型的條件?！?.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（四）類(lèi)型四：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的積分

?CRC-RRO處理方法：作如圖圍路，則：當(dāng)R時(shí)積分為零(約當(dāng)引理)取極限R,ε,則？？？§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（四）類(lèi)型四：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的積分

?CRC-RRO處理方法：洛朗展開(kāi)注意：如為二階以上的極點(diǎn)，則當(dāng)0時(shí)第一項(xiàng)發(fā)散！如實(shí)軸上有多個(gè)單極點(diǎn)：§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（四）類(lèi)型四：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的積分

處理方法：因此原積分為：

注意：實(shí)軸上的奇點(diǎn)只能是單極點(diǎn)，不能是二階或二階以上極點(diǎn)，更不能是本性奇點(diǎn)。否則，積分（極點(diǎn)情形）或不存在（本性奇點(diǎn)情形）?！?.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（四）類(lèi)型四：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的積分

例題8：求狄利克雷積分解：利用函數(shù)的奇偶性，原積分可化成

滿(mǎn)足類(lèi)型四條件要求。在上半平面內(nèi)無(wú)極點(diǎn)；在實(shí)軸上存在單極點(diǎn)z=0。§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（四）類(lèi)型四：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的積分

幾個(gè)積分：§4.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題關(guān)鍵點(diǎn)：如何由實(shí)變函數(shù)構(gòu)造被積復(fù)變函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，構(gòu)造的復(fù)變函數(shù)f(z)應(yīng)滿(mǎn)足以下條件：1）在實(shí)軸上，2）在實(shí)軸上，f(z)應(yīng)滿(mǎn)足類(lèi)型二或類(lèi)型三條件要求?！?.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題例題1：求菲涅爾積分解：xyolRCR/4構(gòu)造如圖回路，在回路內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，則由柯西定理§4.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題（續(xù)上例）=0（證明略）§4.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題例題2：求解：將被積函數(shù)實(shí)軸研拓到復(fù)平面，得

由于,則為多值函數(shù)。z=0為支點(diǎn)，割線(xiàn)沿正實(shí)軸。將函數(shù)沿如圖所示路徑積分，得xyCCRl2l1繞支點(diǎn)一周，幅角增加2π=0=0待求§4.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題(續(xù)上例）xyCCRl2l1易知：在z=-1處存在單極點(diǎn),在該點(diǎn)處的留數(shù)為§4.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題例題2：求解：本例中，被積函數(shù)多值函數(shù)有兩個(gè)支點(diǎn)z=0及z→∞及一個(gè)極點(diǎn)z=1。將函數(shù)沿如圖所示路徑積分(R→∞,εδ→0）xCgCRK2K1+1半徑00§4.3應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算定積分補(bǔ)充例題（續(xù)上例）可以求得：求解過(guò)程見(jiàn)下頁(yè)電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)方法任課教師：陳其科聯(lián)系方式：E_mail：qkchen@

電話(huà)：61830311總學(xué)時(shí):

80課時(shí)教材：梁昆淼，《數(shù)學(xué)物理方程》（第四版）成績(jī)構(gòu)成：平時(shí)20%+半期考試20%+期末考試60%第二篇數(shù)學(xué)物理方程要想探索自然界的奧秘，就得解微分方程

---牛頓第一章典型方程與定解問(wèn)題第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.1常見(jiàn)坐標(biāo)系(補(bǔ)充內(nèi)容)§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交線(xiàn)的交點(diǎn)來(lái)確定。

三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

三條正交線(xiàn)組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱(chēng)為正交坐標(biāo)系；三條正交線(xiàn)稱(chēng)為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱(chēng)為坐標(biāo)變量。§1.1常用坐標(biāo)系（一）直角坐標(biāo)系位置矢量面元矢量線(xiàn)元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx§1.1常用坐標(biāo)系（二）圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線(xiàn)元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線(xiàn)元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系§1.1常用坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線(xiàn)元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線(xiàn)元矢量體積元面元矢量（三）球面坐標(biāo)系§1.1常用坐標(biāo)系（四）坐標(biāo)單位矢量之間的變換關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oφxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系φoθrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系θθ§1.1常用坐標(biāo)系三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1、直角坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈面對(duì)稱(chēng)分布的問(wèn)題求解。2、柱面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈軸對(duì)稱(chēng)分布的問(wèn)題求解。3、球面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布的問(wèn)題求解?！?.1常用坐標(biāo)系第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程：從物理問(wèn)題中導(dǎo)出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。物理規(guī)律是代表某物理現(xiàn)象的物理量在空間的分布規(guī)律和時(shí)間的變化規(guī)律?？捎胾(r,t)表示。物理規(guī)律反應(yīng)的是同一類(lèi)物理現(xiàn)象遵從的共同規(guī)律，具有普遍性。對(duì)于具體問(wèn)題，由于所處的“環(huán)境”或“歷史原因”不同，代表同一類(lèi)物理現(xiàn)象的物理量的具體表達(dá)式不同。物理規(guī)律的普遍性具體問(wèn)題的特殊性第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程泛定方程描述物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示，反映物理量隨空間位置和時(shí)間變化的規(guī)律，是一類(lèi)物理現(xiàn)象的共性，與具體現(xiàn)象無(wú)關(guān)。例：牛頓第二定律反映的是力學(xué)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無(wú)關(guān)。幾個(gè)概念第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程定解條件——同一類(lèi)物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問(wèn)題又各有其特殊性，即個(gè)性。定解條件即體現(xiàn)物理現(xiàn)象個(gè)性的條件，包括邊界條件和初始條件。邊界條件：周?chē)碍h(huán)境”影響體現(xiàn)在邊界處的物理狀況。初始條件：某個(gè)“初始”時(shí)刻所處的狀態(tài)。例：一個(gè)物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，一個(gè)物體斜拋運(yùn)動(dòng)。例：如電磁波在無(wú)界空間傳播和有界空間傳播。第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（一）波動(dòng)方程(雙曲型方程)1.弦振動(dòng)方程條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)。不受外力影響。研究對(duì)象：線(xiàn)上某點(diǎn)在t時(shí)刻沿縱向的位移。問(wèn)題：第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（一）波動(dòng)方程(雙曲型方程)1.弦振動(dòng)方程簡(jiǎn)化假設(shè)：(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線(xiàn)方向。物理規(guī)律：牛頓運(yùn)動(dòng)定律橫向：縱向：第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（一）波動(dòng)方程(雙曲型方程)1.弦振動(dòng)方程其中：第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（一）波動(dòng)方程(雙曲型方程)1.弦振動(dòng)方程令：一維波動(dòng)方程橫向作用力非齊次方程忽略重力作用（g=0）一維齊次波動(dòng)方程簡(jiǎn)化表示：第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（一）波動(dòng)方程(雙曲型方程)2.薄膜振動(dòng)方程二維波動(dòng)方程三維波動(dòng)方程3.理想傳輸線(xiàn)方程一維波動(dòng)方程4.電磁場(chǎng)波動(dòng)方程三維波動(dòng)方程第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（二）熱傳導(dǎo)方程(拋物型方程)

一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻?qū)峒?xì)桿，側(cè)面絕熱，內(nèi)部無(wú)熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線(xiàn)密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。問(wèn)題：一維熱傳導(dǎo)推導(dǎo)：

設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強(qiáng)度為q(x,t)，溫度分布為u(x,t)?？疾靃x,x+dx]段細(xì)桿，其熱容量為，則由能量守恒定律熱流強(qiáng)度：第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（二）熱傳導(dǎo)方程(拋物型方程)一維熱傳導(dǎo)方程第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（二）熱傳導(dǎo)方程(拋物型方程)研究對(duì)象：溫度場(chǎng)推廣：三維熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)物理規(guī)律：能量守恒定律三維熱傳導(dǎo)方程熱源分布函數(shù)第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程(拉普拉斯方程)物理問(wèn)題的產(chǎn)生：在演化問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)到達(dá)一個(gè)不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的方程稱(chēng)為穩(wěn)定場(chǎng)方程。數(shù)學(xué)方程形式：

在對(duì)應(yīng)的演化方程中取消時(shí)間變量t，對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為零。第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程(拉普拉斯方程)1、熱傳導(dǎo)的穩(wěn)定狀態(tài)熱傳導(dǎo)趨于平衡,溫度u(x,y,z,t)趨于u(x,y,z)Laplace方程Poisson方程——不隨時(shí)間變化第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.2典型的數(shù)學(xué)物理方程（三）拉普拉斯方程(橢圓型方程)2、靜電場(chǎng)的電位方程電勢(shì)u

確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)：拉普拉斯方程(無(wú)源場(chǎng))泊松方程第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件

同一類(lèi)物理現(xiàn)象中，各具體問(wèn)題又有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問(wèn)題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。其他條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件（一）初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)初始時(shí)刻的溫度分布：2、熱傳導(dǎo)方程的初始條件3、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件

描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，無(wú)初始條件1、波動(dòng)方程的初始條件系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件（二）邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用:1、波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧支承：第一類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件（二）邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況2、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值S:給定區(qū)域v的邊界(2)絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)

牛頓冷卻定律：第一類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件（三）定解問(wèn)題解的相關(guān)概念1、定解問(wèn)題(1)初始問(wèn)題：只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題；(2)邊值問(wèn)題：沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題；(3)混合問(wèn)題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問(wèn)題。

把某種物理現(xiàn)象滿(mǎn)足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問(wèn)題。第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件（三）定解問(wèn)題解的相關(guān)概念2、定解問(wèn)題的適定性定解問(wèn)題的適定性檢驗(yàn)：解的存在性：定解問(wèn)題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動(dòng)時(shí)，解是否相應(yīng)微小變動(dòng)。適定性的意義：定解問(wèn)題是實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，適定性是對(duì)模型能否反映實(shí)際問(wèn)題的一般要求。不適定問(wèn)題舉例：一般來(lái)說(shuō)，方程的階數(shù)對(duì)應(yīng)于定解條件的個(gè)數(shù)條件多了，將會(huì)破壞解的存在性；條件少了，將會(huì)破壞解的唯一性。第二篇數(shù)學(xué)物理方程§1.3定解條件（三）定解問(wèn)題解的相關(guān)概念

線(xiàn)性方程的解可以分解成幾個(gè)部分的線(xiàn)性疊加，只要這些部分各自滿(mǎn)足的方程的相應(yīng)的線(xiàn)性疊加正好是原來(lái)的方程3、疊加原理

疊加原理應(yīng)用：1）齊次方程的兩個(gè)解的線(xiàn)性組合仍為原方程的解；2）非齊次方程的特解加對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，結(jié)果為非齊次方程的解；例一根長(zhǎng)為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離，如圖所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出定解問(wèn)題。

x

u

o

b

l

h

圖7.5

解：弦自由振動(dòng)滿(mǎn)足波動(dòng)方程邊界條件：

初始條件：課程內(nèi)容三種方程四種求解方法二個(gè)特殊函數(shù)行波法分離變量法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)勒讓德函數(shù)知識(shí)復(fù)習(xí)常見(jiàn)微分方程的解：

尤拉方程

第二章波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法第二篇數(shù)學(xué)物理方程達(dá)朗貝爾解法——行波法§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解§2.2三維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解常微分方程的求解步驟：

1、先求方程的通解（含有積分常數(shù)——任意）

2、由定解條件確定積分常數(shù)?！?.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（一）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)無(wú)界弦振動(dòng)的定解問(wèn)題作用力初始位移初始速度§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（一）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)1、無(wú)界弦的自由振動(dòng)定解問(wèn)題：先求通解，再求特解。泛定方程可寫(xiě)為§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（一）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)1、無(wú)界弦的自由振動(dòng)(續(xù))作線(xiàn)性變換§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（一）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)1、無(wú)界弦的自由振動(dòng)(續(xù))此即為原方程的通解。=？利用初值條件確定§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（一）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)1、無(wú)界弦的自由振動(dòng)(續(xù))達(dá)朗貝爾公式§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（二）達(dá)朗貝爾公式的物理意義以為例說(shuō)明。xEx0π2π3π

：沿x方向傳播行波

：沿-x方向傳播行波波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法也稱(chēng)為行波法。例：求定解問(wèn)題解：由達(dá)朗貝爾公式§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用2.無(wú)界弦的受迫振動(dòng)（I）（II）（III）+原問(wèn)題疊加原理達(dá)朗貝爾公式齊次化原理外力作用§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3、端點(diǎn)固定半界弦的自由振動(dòng)代入初始條件可得Ox由達(dá)朗貝爾公式：半無(wú)界端點(diǎn)固定§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解代入邊界條件可得（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3、端點(diǎn)固定半界弦的自由振動(dòng)(續(xù))（1）xat,即

x-at0（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3、端點(diǎn)固定半界弦的自由振動(dòng)(續(xù))§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（2）x≤at,即

x-at≤0（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3、端點(diǎn)固定半界弦的自由振動(dòng)(續(xù))§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解另解：用延拓的方法求解。（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3、端點(diǎn)固定半界弦的自由振動(dòng)(續(xù))所謂延拓，是指根據(jù)問(wèn)題奇偶性，將初始條件函數(shù)的定義域擴(kuò)展到[-∞,+∞]區(qū)間，以利用達(dá)朗貝爾公式直接求解。由達(dá)朗貝爾公式及邊界條件：為相互獨(dú)立任意函數(shù)奇函數(shù)§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解將做奇延拓，從半無(wú)界區(qū)域擴(kuò)展到無(wú)界區(qū)域，（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3、端點(diǎn)固定半無(wú)界弦的自由振動(dòng)(續(xù))則半無(wú)界弦問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)界弦自由振動(dòng)問(wèn)題由達(dá)朗貝爾公式：§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用4、端點(diǎn)自由半無(wú)界弦的自由振動(dòng)半無(wú)界端點(diǎn)自由，無(wú)外力用延拓的方法求解?！?.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用4、端點(diǎn)自由半無(wú)界弦的自由振動(dòng)(續(xù))偶函數(shù)將做偶延拓，從半無(wú)界區(qū)域擴(kuò)展到無(wú)界區(qū)域，§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解（三）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用4、端點(diǎn)自由半無(wú)界弦的自由振動(dòng)(續(xù))則半無(wú)界弦問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)界弦自由振動(dòng)問(wèn)題由達(dá)朗貝爾公式：§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解例：求定解問(wèn)題解：考慮初始條件與半無(wú)限長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波沿x正向由邊界條件令§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解當(dāng)時(shí)，（續(xù)上例）由于震動(dòng)由擾動(dòng)引起，所以當(dāng)時(shí)，§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解例：求解弦的自由震動(dòng)，設(shè)弦的初始位移為，初始速度為。解：寫(xiě)出其定解問(wèn)題由達(dá)朗貝爾方程§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題：行波法——達(dá)朗貝爾公式三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題：§2.2高維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題球面平均法——基爾霍夫公式（一）三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ(chēng)解三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(1)(2)其中與為已知函數(shù)?！?.2高維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題將波動(dòng)方程在球坐標(biāo)系下展開(kāi)，球?qū)ΨQ(chēng)u只與r有關(guān)，與方位角無(wú)關(guān)，即（一）三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ(chēng)解§2.2高維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題0一維波動(dòng)方程其通解為：（二）三維波動(dòng)方程的泊松公式§2.2高維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(1)(2)

平均值法基本思路：

用平均值法求解。其中與為已知函數(shù)。

引入球面上自由振動(dòng)的平均值函數(shù)，從而將三維空間的自由振動(dòng)轉(zhuǎn)換為球?qū)ΨQ(chēng)情形，進(jìn)而利用達(dá)朗貝爾公式獲得解。

引進(jìn)在以M點(diǎn)為中心，半徑為r的球面上的平均值

引進(jìn)在以M點(diǎn)為中心，半徑為r的球面上的平均值

三維波動(dòng)方程的平均值法求