微積分課件：ch3-2 不定積分的換元積分法

第二節(jié)不定積分的換元積分法本節(jié)要點本節(jié)通過復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式,建立了不定積分的換一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法元積分公式.一、第一類換元積分法在這一目中,我們將主要考慮復(fù)合函數(shù)的積分問題.我們知道由此得.又如,考慮積分因為即有積分,一般情況又將如何,這就是下面的積分方法——即將被積函數(shù)寫成復(fù)合求導(dǎo)形式,從而求出相應(yīng)的不定第一類換元積分法.基本思想:若有原函數(shù)

即則即有下面的.定理設(shè)函數(shù)有原函數(shù)且可導(dǎo),⑴則有積分公式公式⑴又稱為湊微分法,其要點是:若被積函數(shù)能寫成兩項的乘積,且其中的一項為復(fù)合函數(shù)的形式,而另一項可以湊成中間變量的導(dǎo)數(shù)形式,則可以考慮使用此方法.證因函數(shù)連續(xù),故存在原函數(shù)滿足再由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式,得此說明即為函數(shù)的原函數(shù),又因為它含有任意常數(shù),從而⑴式成立.注意到,在⑴中積分公式的選擇,原函數(shù)應(yīng)該是在基本積分公式中已有的積分.例1求積分解一般地:當(dāng)被積函數(shù)形式為時,總可作變換,即若有原函數(shù),則類似地有例2求積分解因得例3求積分解例4求積分解例5求積分⑴解⑴⑵同理可得⑵例6求積分⑴解⑴⑵同理可得⑵例7求積分解因故值得注意的是,上面的例5,例6,例7均可以作為基本的積分公式.例8求積分解注意到則有注意在三角函數(shù)的積分中,利用三角恒等式對三角函數(shù)做某些變換是積分中經(jīng)常使用的方法.常用的三角公式是:例9計算下列積分:⑶ ⑷解⑴⑴ ⑵⑵⑶⑷例10求積分⑴解⑴⑵又,即⑵注此題中的兩個公式也可作為兩個基本的積分公式.例11求積分解例12求積分⑴解⑴分子分母同除以,并注意到則有⑵⑵例13求積分解由三角公式得積分定理設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)函數(shù),且證設(shè)的原函數(shù)為,記由二、第二類換元法又有原函數(shù),則有換元公式知是的原函數(shù),所以有上述積分方法即稱為第二類換元積分法.一般,當(dāng)被積函數(shù)中含有等因子時作代換,作代換可通過適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q來求出相應(yīng)的積分.常用代換有:作代換作代換這類代換的主要目的是消去積分表達式中的根式.例14求積分解令由原積分為例15求積分解做變換則原積分為:例16求積分解令由知則所以同理可得注本題中的兩個積分結(jié)果也是常用的積分基本公式.例17求積分解令則本節(jié)又建立了如下的一些積分公式:⒃⒄⒅⒆⒇(21)(22)(23)利用上述積分公式,我們可以計算下面積分.例18求積分其中為非零常數(shù).解令則例19求積分解令所以原積分為故注對形如的積分,常用代換從而將積分轉(zhuǎn)換為例20求積分解令則有例21