概率論2-2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

2.3離散型隨機(jī)變量2.3.1.離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X

的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，則稱X

為離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的所有可能取值為則稱上式或?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X

的分布律．說(shuō)明離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來(lái)刻劃．即離散型隨機(jī)變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):X的分布函數(shù)為例2.3.1

設(shè)袋中有標(biāo)號(hào)為-1,1,1,2,2,2的六個(gè)球，從中任取一個(gè)球，求所取球的標(biāo)號(hào)數(shù)X的分布律和分布函數(shù)F(x),并畫出F(x)的圖像。例2.3.2設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過(guò).以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求X

的分布律、分布函數(shù)及概率P(2≤X≤3).(信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).P{X=3}=(1-p)3p解：

以p

表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的概率，則 X

的分布律為：或?qū)懗?/p>

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

以p=1/2代入得：Xpk

012341/2

1/4

1/81/161/16由此得X的分布函數(shù)為于是所要求的概率為或1.獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)2.n次相互獨(dú)立試驗(yàn)試驗(yàn)的獨(dú)立性伯努利試驗(yàn)

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果:A及,且P(A)=p,在相同的條件下將E重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),則稱這一串試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱伯努利試驗(yàn)(Bernoullitrials).（伯努利定理）設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為2.3.2、幾種常見的離散型隨機(jī)變量1.Bernoulli分布（二點(diǎn)分布）如果隨機(jī)變量X

的分布律為或則稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為p

的Bernoulli分布．Bernoulli分布的概率背景進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)：令：X為在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者說(shuō)，令例2.3.3

設(shè)棉田植株被盲蝽為害的概率為0.4.若用X＝1來(lái)表示“受害”，用X＝0來(lái)表示“未受害”，則X的分布函數(shù)為

F(x)有兩個(gè)間斷點(diǎn)x=0和x=1，下圖為X的分布函數(shù)的圖像。2.二項(xiàng)分布Binomialdistribution

其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布X～B(n,p)在n重伯努利試驗(yàn)中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機(jī)變量X的分布律說(shuō)明顯然，當(dāng)n=1時(shí)分布律的驗(yàn)證⑴．由于⑵．又由二項(xiàng)式定理，可知所以是分布律．例2.3.4

某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，試求：（1）一天內(nèi)有不超過(guò)2輛出租車出現(xiàn)故障的概率；（2）一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。例2.3.5（壽命保險(xiǎn)問(wèn)題）在某保險(xiǎn)公司時(shí)有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)。在一年時(shí)間每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付了12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從公司領(lǐng)2000元，問(wèn)（1）“保險(xiǎn)公司虧本”（記為A）的概率是多少？（2）“保險(xiǎn)公司獲利不少于10000，20000元（分別記為B1，B2）的概率是多少？解在這一年的1月1日，保險(xiǎn)公司收入為30000元若一年中死亡x個(gè)人，則保險(xiǎn)公司在這一年應(yīng)付2000x元如果2000x>30000，即x>15，則保險(xiǎn)公司虧本于是，P（保險(xiǎn)公司虧本）＝P（多于15人死亡）

對(duì)于問(wèn)題（2），“保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元”，意味著，即于是同理Poisson定理證明：對(duì)于固定的k，有所以，Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知關(guān)于的值有表可查（見書后附表）。例2.3.6

求例2.3.5中概率的近似值。解由于n=2500，p=0.002，我們用近似公式（3.2.5）因此3.泊松公布Poisson如果隨機(jī)變量X

的分布律為

則稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布．記為P(λ).分布律的驗(yàn)證⑵又由冪級(jí)數(shù)的展開式，可知所以是分布律．⑴由于可知對(duì)任意的自然數(shù)k，有Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．例2.3.7

設(shè)隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且解：已知隨機(jī)變量X的分布律為由已知得由此得方程得解所以，例2.3.8

某商店出售某種貴重商品，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每月銷售量X服從參數(shù)為的泊松分布。問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫(kù)存多少件此商品，才能以99%的概率滿足顧客的需要？4.幾何分布若隨機(jī)變量X

的分布律為記為X～G(p).幾何分布的概率背景在