工科高等代數(shù)：第5章 矩陣的相合與相似 1

第5章矩陣的相合與相似

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第5章§5.1歐氏空間§5.2正交化§5.3二次型§5.4實對稱方陣相合標準形§5.5特征向量與相似矩陣第5章矩陣的相合與相似

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第5章§5.6正交相似§5.7更多例子§5.8若當標準型最小二乘法例1

在幾何向量組成的3維向量空間v中，用幾何方法定義了內積：

求是否存在向量滿足條件：解設有滿足條件，它們在實數(shù)域R上的任意線性組合含于V，應滿足條件即配方得選矛盾。因此不存在滿足所說條件的例2（最小二乘法）已知某種材料在生產過程中的廢品率y與某種化學成分的含量百分比x有關.以下是某工廠在生產過程中實測到的x,y的一些對應數(shù)據.

X(%)3.63.73.83.94.04.14.2Y(%)1.000.90.90.810.600.560.35試給出x,y之間函數(shù)關系的一個近似公式解法1:

可以將x,y的函數(shù)關系用一次函數(shù)y=kx+b來近似的表示?，F(xiàn)在需要確定k,b使直線與所有點的總的偏差盡可能小，點(xi,yi)的偏差為kxi+b-yi,則所有偏差的平方和為：用來度量“總的偏差”，選擇k,b使d(k,b)達到最小值。將d(k,b)展開得其中將數(shù)值代入，配方得:取所以所求直線方程為解法２

與解法１相同將問題歸結為求函數(shù)即可使達到最小值0.0206821.的最小值。是連續(xù)可微函數(shù)且取值，存在最小值且函數(shù)對k,b的偏導數(shù)在最小點都等于0。解關于k,b的方程組仍得所求方程為內積的推廣實數(shù)域R上的三維幾何空間R3中，向量α,β的內積可以通過模長和夾角余弦來定義設向量α,β的坐標為α=(x1,y1,z1),β=(x2,y2,z2),則有內積的坐標表達式和余弦公式：實數(shù)域R上的n維空間Rn，設向量α,β為α=(x1,…,xn),β=(y1,…,yn),很自然地推廣3維內積的坐標表達式和余弦公式：定義5.1.1.(內積)設V是實數(shù)域R上線性空間.如果給定了V上的2元實函數(shù),將V中任意兩個向量α,β對應到一個實數(shù)(α,β),并且滿足如下條件:(雙線性)

(α1+α2,β)=(α1,β)+(α2,β),(λα1,β)=λ(α1,β);(β,α1+α2)=(β,α1)+(β,α2),(β,λα1)=λ(β,α1)對任意α1,α2,

β∈V和λ∈R成立.(2)(對稱性)(α,β)=(β,α)對任意α2,

β∈V成立(3)(正定性)(α,α,)>0對任意0≠α∈V成立就稱(α,β)為內積,V為歐幾里德空間,簡稱歐氏空間.記號E(R)表示歐氏空間，En(R)表示n維歐氏空間。例

如下的空間V是歐氏空間:1.V是實數(shù)域R上n維數(shù)組空間Rn.對X=(x1,…,xn),Y=(y1,…,yn),定義(X,Y)=x1y1+…+xnyn,則(X,Y)是內積,Rn成為歐氏空間.上述內積稱為Rn上的標準內積。2.V是閉區(qū)間[a,b]上所有的連續(xù)實函數(shù)組成的實向量空間C[a,b].對任意f(x),g(x)∈V,定義

則(f(x),g(x))是內積,C[a,b]在此內積下成為歐氏空間.(0,α)=(00,α)=0(0,α)=0.特別(0,0)=0.因此,內積的正定性也可以敘述為:(α,α)≥0對任意α∈V成立,其中等號成立僅當α=0.由定性定義任意向量α的長度,則|α|≥0,且僅當α=0時|α|=0.對任意α≠0,

α0=(1/|α|)α是與α方向相同、長度為1的向量,稱為單位向量.由α得到單位向量(1/|α|)α

的過程稱為將向量α歸一化.設V是歐氏空間.如果α,β∈V滿足條件(α,β)=0,就稱α,β正交,記為α⊥β.由內積的定義立即得出:例3(勾股定理)證明：設a,b∈Rn,則a⊥b當且僅當|a±b|2=|a|2+|b|2.例4

對任意A∈Rm×n,b∈Rm×1,求證：ATAX=ATb的解X0使|AX-b|2取最小值|AX0-b|2.齊次線性方程組AX=0與ATAX=0同解.rank(ATA)=rankA.方程組ATAX=ATb總有解，且當rankA=n時有唯一解X=(ATA)-1ATb.證明：(1)設ATAX0=ATb.對任意X∈Rn×1,AX-b=(AX0-b)+A(X-X0),且即AX0-b⊥A(X-X0),由勾股定理得|AX-b|2≥|AX0-b|2.(2)AX=0與ATAX=0的解空間為VA,VATA.首先反之,X∈VATAATAX=0XTATAX=0(AX)TAX=0AX=0即X∈VA.從而(3)由rankAB≤

rankA知rank(ATA,ATb)≤rank(AT)=rank(A)=rank(ATA).反之,ATA為(ATA,ATb)的子矩陣于是rank(ATA)≤rank(ATA,Atb),因此法方程組ATAX=ATb的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，一定有解.當rankA=n時,rank(ATA)=rankA=n.因此ATA為可逆矩陣，方程組有唯一解X=(ATA)-1ATb.□?算法5.1.1(最小二乘法)設n元實系數(shù)線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣的秩rankA=n.如果方程組無解，則(ATA)X=ATb的唯一解X0是使|AX-b|2最小的近似值.■定理5.1.2(Cauchy-Schwatz不等式)對歐氏空間V中任意α,β∈V,(α,β)2≤(α,α)(β,β)成立,其中的等號僅當α,β線性相關時成立.證法1顯然,當α=0時,(α,β)2=0=(α,α)(β,β),C-S不等式中的等式成立.以下設α≠0,(α,α)>0由內積的正定性知:對任意實數(shù)x,有(xα+β,xα+β)≥0即(α,α)x2+2(α,β)x+(β,β)≥0.判別式Δ=4(α,β)2-4(α,α)(β,β)≤0即(α,β)2≤(α,α)(β,β)其中的等號成立僅當方程(α,α)x2+2(α,β)x+(β,β)=0有根,即存在x使(xα+β,xα+β)=0即xα+β=0,也就是α,β線性相關.證法2仍只須考慮α≠0的情形.由內積的正定性得(-(α,β)

α+(α,α)β,

(-(α,β)

α+(α,α)β)≥0,展開得-(α,β)2(α,α)-2(α,β)2(α,α)+(α,α)2(β,β)≥0兩邊同除以正實數(shù)(α,α),并且移項,得(α,β)2≤(α,α)(β,β).等號成立僅當-(α,β)

α+(α,α)β=0,即α,β線性相關.?以上證法1更自然.但是證法2可以在以后推廣到復數(shù)范圍內.?應用到例題中的2個例子中,分別得到:(1)(x1y1+…+xnyn)2≤(x12+…+xn2)(y12+…+yn2)對任意實數(shù)xi,yi(1≤i≤n)成立.(2)對區(qū)間[a,b]上任意連續(xù)函數(shù)f(x),g(x)成立.?根據C-S不等式,可以定義兩個非零向量α,β的夾角

例5(三角形不等式)對歐氏空間V中任意向量α,β,有|α+β|≤|α|+|β|.證明:由(α,β)2≤(α,α)(β,β)有|(α,β)|≤|α||β|.因此§5.2正交化機動目錄上頁下頁返回結束

第5章例1實數(shù)域R上方程x1+x2+x3+x4=0的解空間W是歐氏空間R4的子空間,a1=(1,-1,0,0)T,a2=(0,1,-1,0)T,a3=(0,0,1,-1)T,組成W的一組基S.將W中每個向量用它在S下的坐標表示.根據a,b∈W在S下的坐標X=(x1,x2,x3)T,Y=(y1,y2,y3)T與計算內積(a,b).標準正交基解:a=x1a1+x2a2+x3a3=(a1,a2,a3)(x1,x2,x3)T=AX,b=y1a1+y2a2+y3a3=(a1,a2,a3)(y1,y2,y3)T=AY,其中A=(a1,a2,a3)是依次以a1,a2,a3為列排成的矩陣.于是?由內積的雙線性性可以推出:對歐氏空間中V中任意向量αi,βj和任意實數(shù)xi,yj,(1≤i≤k,1≤j≤m),有特別地,取V的任意一組基M={α1,…,αn},設α,β

在這組基M下的坐標分別是X=(x1,…,xn)T,Y=(y1,…,yn)T,則S是由基M中的向量兩兩的內積組成的矩陣,稱為內積(α,β)在基M下的度量矩陣(metricmatrix),也稱為Gram方陣.?上述定義可推廣到一般的向量組T={α1,…,αm},即G=(tij)mxm,tij=(αi,αj),1≤i,j≤m稱為T的度量矩陣(metricmatrix),也稱為Gram方陣.?在3維幾何空間R3中,由于定義了長度和角度之后,直角坐標系處于特殊的地位.直角坐標系要求3條坐標軸兩兩垂直,并且3條坐標軸上選取同樣的長度作為單位長.按向量的語言,就是選取了3個兩量正交的單位向量α1,α2,α3作為基向量.將空間中的向量在這樣的基向量下用坐標表示,則由于內積在這組基下的度量矩陣S=I(3)為單位陣.坐標分別為X=(x1,x2,x3)T

,Y=(y1,y2,y3)T的向量α,β的內積(α,β)=XTIY=XTY=x1y1+x2y2+x3y3.在n維實向量空間V中定義內積之后,很自然我們也希望選取V的這樣的基M={α1,…,αn},使度量矩陣S=((αi,αj))nxn是n階單位陣,也就是要求基向量之間的內積滿足條件從而向量α,β的坐標X=(x1,…,xn)T

,Y=(y1,…,yn)T計算內積的公式有最簡單的形式(α,β)=XTIY=XTY=x1y1+…+xnyn.因此,以上對基向量內積的要求就是:基{α1,…,αn}由兩兩正交的單位向量組成.定義5.2.1V中由兩兩正交的非零向量組成的向量組{α1,…,αk},稱為正交向量組.如果V的基M是正交向量組,就稱M為正交基.由兩兩正交的單位向量組成的基稱為標準正交基.引理5.2.2(1)實矩陣A的列向量組是正交向量組ATA是可逆對角矩陣;(2)實矩陣A的列向量組是標準正交向量組ATA=I;(3)n階實方陣A列向量組是Rnx1標準正交基ATA=IAT=A-1AAT=IA行向量組是R1xn標準正交基.引理(例3)

歐氏空間V中的正交向量組{α1,…,αk}線性無關.證明:

設有實數(shù)x1,…,xk使x1α1+…+xkαk=0對每個1≤i≤k,將上述等式兩邊的向量同時與αi作內積,考慮到(αi,αj)=0對所有的j≠i成立,得到xi(αi,αi)=0由于αi≠0,(αi,αi)>0,因此xi=0.這就證明了xi=0對所有的1≤i≤k成立,因此α1,…,αk線性無關.□例

在區(qū)間[0,2π]上的全體連續(xù)函數(shù)組成的實線性空間C[0,2π]

中定義內積求證:函數(shù)組{1,coskx,sinkx|k∈Z}是C[0,2π]中的正交向量組,因而線性無關.Gram-Schmidt正交化方法定理

n維歐氏空間V必然存在標準正交基.證明(算法5.2.1)任取V的一組基M={α1,…,αn}.取β1=α1,并依次對2≤k≤m取得到正交向量組，在將之歸一化即得標準正交基.□命題:

設M1={α1,…,αn}是歐氏空間的一組基,則存在V的標準正交基M={γ1,…,γn}使(γ1,…,γn)=(α1,…,αn)T對某個上三角矩陣成立.對每個1≤k≤n,{γ1,…,γk}是{α1,…,αk}生成的子空間的一組標準正交基.推論5.2.1歐氏空間V中任何一組兩兩正交的單位向量S={α1,…,αk}都能擴充為V的一組標準正交基.證明:

將S擴充為V的一組基M1={α1,…αk,…,αn},再利用Gram-Schmidt正交化方法,用βk+1,…,βn替換αk+1,…,αn得到一組標準正交基M={α1,…αk,βk+1,…,βn}.□例試求R4中線性無關的向量組α1=(1,0,1,0)T,α2=(0,-1,1,-1)T,

α3=(1,1,1,1)T所生成的子空間的一組正交基,并擴充成為R4的一組標準正交基。解：待定系數(shù)求§5.3二次型機動目錄上頁下頁返回結束

第5章二次型的配方定義5.3.1

n個變量二次齊次多項式稱為n元二次型。如果自變量都在數(shù)域F中取值，函數(shù)表達式稱為數(shù)域F上的二次型，它是F上數(shù)組空間中的系數(shù)也都在F中取值，則到中的一個映射例1

求下面的實二次型的值域以及它們的最大值或最小值。（2）（1）(8.1.1)令(8.1.2)將(8.1.2)代入(8.1.1)，可以化為（1）由于矩陣可逆，由（8.1.2）定義的映射是到自身的1—1對應。所以的定義域和值域相同。又因的值域是從而的值域也是，即沒有最大值，也沒有最小值。（2）（5.1）取可逆線性變換（5.2）將（5.2）代入（5.2），則化為的值域是，因此的值域也是，當時取得最小值0，沒有最大值。選擇適當?shù)目梢跃仃嘝，將二次型化為簡單的形式（5.3）即將定義在的任意二次型通過可逆線性代換化為（5.3）的形式（5.3）所給形式的二次型稱為二次型的標準型。例2

將下列二次型化為標準型：(1)

(2)解（1）取可逆線性代換則再令則原來的二次型化為標準型(2)

令即則令則定理

任意數(shù)域F上的二次型都可以通過配平方法找到可逆線性代換化成標準型證明對n用數(shù)學歸納法當時已經是標準型。如果，則當時取可以再化為以下設并且設元二次型可以通過可逆線性代換化為平方和的形式。情況1其中是由中不含的項組成的的二次型。將看作自變量的二次函數(shù)，其他字母的多項式都看作的多項式的系數(shù)，配方得其中是的二次型。根據歸納假設，將自變量經過適當?shù)目赡婢€性代換可以將化為標準型再令則可逆線性代換將原二次型化為平方和的形式情況二，但對某個成立。取自變量的可逆線性代換即則原二次型化為其中二次型不含項，中的系數(shù)化為已解決了的情況1。情況3對所有的此時不含，實際上是個自變量的二次型根據歸納假設，可以通過可逆線性代換化為平方和的形式。根據數(shù)學歸納法原理，定理對所有的正整數(shù)n成立。推論

實數(shù)域R上的二次型可以通過可逆線性代換化為如下形式對稱方陣的相合:1.二次型的矩陣例

(a)

(a)

(b)

(b)定義2.矩陣相合的定義定義5.2.4引理5.2.3引理5.2.4定理§5.4實對稱方陣相合標準形機動目錄上頁下頁返回結束

第5章例3:例1(1)的二次型.例1中算法：定理：證明:(算法5.4.1)設S=(sij)nxn.對n用數(shù)學歸納法證明定理結論.定理5.4.1:由定理,存在n階可逆實方陣P1,使得定義5.3.2-3引理:我們已經證明了：任何一個n階實對稱(Δ)(Δ)(Δ)引理5.4.1推論:推論5.4.3:定理5.4.2推論5.4.4:例2給出正定實二次型Q(x,y)=ax2+bxy+cy2的系數(shù)a,b,c滿足的充分必要條件。解：Q正定的充分必要條件為a>0且b2-4ac<0.例3:機動目錄上頁下頁返回結束任意實對稱方陣S都相合于對角陣D=diag(a1,…,an),并且將與S相合的對角陣稱為S的相合標準型。與S相合的對角陣不唯一，對角陣D可能相合于更簡單的對角陣，對于不同的數(shù)域F，有不同的答案。引理

任意數(shù)域F上的任意對角矩陣D=diag(a1,…,an)相合于

diag(c12a1,…,cn2an),其中c1,…,cn是F中的任意非零元。證明：取P=diag(c1,…,cn),則

PTDP=diag(c12a1,…,cn2an)□定理：

在復數(shù)域C上的任意對稱方陣S相合于唯一的規(guī)范型證明：S相合于對角矩陣D=diag(a1,…,an),且可排列對角元的順序使得ai≠0(1≤i≤j),aj=0(r+1≤j≤n).即D=diag(a1,…,ar,0,…,0)，其中ai≠0(1≤i≤j).顯然r=rankD=rankS.其中r=rankS.對于每個1≤i≤j,取ci使ci2=ai-1，則ci2ai=1.D相合于Λ=diag(c12a1,…,cr2ar,0,…,0)=diag(I(r),O(n-r))其中r=rankS

由S唯一確定.□定理5.4.1’

實數(shù)域R上的任意n階對稱方陣S相合于規(guī)范型證明：我們只要證明唯一性.由于S與Λ相抵,p+q=rankΛ=rankS.因此只要證明p的唯一性即可.S定義了二次型Q(x)=XTSX,X∈Rn×1其中p,q由S唯一決定，p+q=rankS.機動目錄上頁下頁返回結束設有可逆方陣P1,P2分別將S相合于Λ1，Λ2分別定義了二次型其中Y=(y1,…,yn)T,Z=(z1,…,zn)T∈Rn×1.假如p≠s,不妨設p>s.設a1,…,an依次是P1的各列，V+是由P1的前p列a1,…,ap生成的p維子空間.對任意0≠a∈V+,有

a=y1a1+y2a2+…+ypap,其中各項前實系數(shù)不全為0,則設b1,…,bn依次是P2的各列，V-是由P2的后

n-s列bs+1,…,bn生成的n-s維子空間.對任意0≠b

∈V-,有

b=zs+1bs+1+…+znbn,其中各項前為實系數(shù).V+