大一下微積分課件-8 -2偏導(dǎo)數(shù)

8.2偏導(dǎo)數(shù)8.2.1偏導(dǎo)數(shù)8.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)例理想氣體的壓強(qiáng)p，其中R為常數(shù),8.2.1偏導(dǎo)數(shù)p關(guān)于T的變化率,當(dāng)V為常數(shù)時(shí)，p是T的一元函數(shù),稱(chēng)為p關(guān)于T的偏導(dǎo)數(shù)p關(guān)于V的變化率,當(dāng)T為常數(shù)時(shí)，p是V的一元函數(shù),稱(chēng)為p關(guān)于V的偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)關(guān)系：體積V和絕對(duì)溫度T之間一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或記號(hào)回憶存在,內(nèi)有定義，如果極限則稱(chēng)此極限為記為對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),或二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義:同理,記為對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),為或說(shuō)明對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),就是函數(shù)沿平行x軸方向的變化率,對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),是沿平行y軸方向的變化率,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如,從偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，因此一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式，只需將y看作常量,并不需要新的方法,求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)看成x的一元函數(shù)求導(dǎo)即可.對(duì)多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)仍然適用。說(shuō)明

例

求

在點(diǎn)(1,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).解三個(gè)偏導(dǎo)數(shù).解求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),例變?yōu)橐辉瘮?shù)再求導(dǎo),在點(diǎn)(1,0,2)處的可將其它變量的值代入,常常較簡(jiǎn)單.證結(jié)論成立．例解例證例１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，說(shuō)明例

設(shè)解此極限不存在，故函數(shù)在(0,0)不連續(xù)。與k有關(guān),試說(shuō)明函數(shù)在(0,0)點(diǎn)是否連續(xù).在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)是否存在.偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù).一元函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，一定在該點(diǎn)連續(xù)的結(jié)論，說(shuō)明對(duì)于多元函數(shù)不成立，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在，只能保證沿平行坐標(biāo)軸方向有而不能保證沿任意方向都有例所以函數(shù)在(0,0)點(diǎn)是連續(xù)的解連續(xù)

偏導(dǎo)數(shù)存在.不存在.不存在.同理試說(shuō)明函數(shù)在(0,0)點(diǎn)是否連續(xù).在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)是否存在.

二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)

(x0,y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是

f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)的().A.充分條件而非必要條件B.必要條件而非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件又非必要條件D可偏導(dǎo)連續(xù)解例按定義得一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義為曲面上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知:表示曲線在點(diǎn)處的切線表示曲線在點(diǎn)關(guān)于x軸正向夾角α的正切值處的切線關(guān)于y

軸正向夾角的正切值同理:曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角是多少?解在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與y軸正向所成的傾角是多少?

曲線例練習(xí)8.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)還是x,y的二元函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱(chēng)這些偏導(dǎo)數(shù)為f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義n-1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為n階偏導(dǎo)數(shù)或2階和2階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).例的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).解解例在一定條件下，混合偏導(dǎo)數(shù)相等！多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連續(xù)，一般地,則混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān).如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏在區(qū)域D內(nèi)定理連續(xù)，那么在導(dǎo)數(shù)該區(qū)域內(nèi)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)常常用于建立某些偏微分方程.偏微分方程是描述自然現(xiàn)象、反映自然規(guī)律的一種重要手段.例如方程(a是常數(shù))稱(chēng)為波動(dòng)方程,它可用來(lái)描述各類(lèi)波的運(yùn)動(dòng).又如方程稱(chēng)為拉普拉斯(laplace)方程,它在熱傳導(dǎo)、流體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題中有著重要的作用.例驗(yàn)證函數(shù)滿足拉普拉斯方程:證因由x,y在函數(shù)表達(dá)式中的對(duì)稱(chēng)性,有例解有).0,0()0,0(yxxyff和求按定義得yx