專題講座高中數(shù)學(xué)“概率”參考模板范本

34/34專題講座高中數(shù)學(xué)“概率”一、整體把握高中“概率”教學(xué)內(nèi)容隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時為統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)．因此，統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個未來公民的必備常識．高中數(shù)學(xué)“概率”位于必修三和選修2-3（理科限選）．主要知識如下：（一）概率知識結(jié)構(gòu)圖課標(biāo)要求：必修三：（1）在具體情境中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．（2）通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式．（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．（4）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進(jìn)行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義．（5）通過閱讀材料，了解人類認(rèn)識隨機現(xiàn)象的過程．選修2-3（1）在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性．（2）通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．（3）在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題．（4）通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．（5）通過實際問題，借助直觀（如實際問題的直方圖），認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．（二）重點難點分析必修三概率部分：概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義．高中“概率”，是在義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)概率的某些基本性質(zhì)和簡單的概率模型，加深對隨機現(xiàn)象的理解，并學(xué)習(xí)用隨機模擬的方法估計簡單隨機事件發(fā)生的概率．選修2-3（理科限選）部分：主要內(nèi)容是離散型隨機變量的分布列．研究一個隨機現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率，分布列正是描述了離散型隨機變量取值的概率規(guī)律，二項分布和超幾何分布是兩個應(yīng)用廣泛的概率模型．結(jié)合課標(biāo)要求，可得如下教學(xué)的重點和難點：重點：從思想方法的角度：重點是對隨機現(xiàn)象的理解，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，從而正確理解概率的意義；從知識技能的角度：一是概率的統(tǒng)計定義；二是古典概型以及概率的加法公式；三是離散型隨機變量的分布列，以及隨機變量的數(shù)字特征——期望、方差．具體地說：二項分布（期望、方差）和超幾何分布（期望）難點：正確理解概率的意義；幾何概型；條件概率；二、高中“概率”教與學(xué)的策略（一）“概率的定義”的教學(xué)策略學(xué)生在義務(wù)教育階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過概率，（1）知道隨機現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述．（2）能列出隨機現(xiàn)象所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件發(fā)生的概率．（3）知道通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率．那么，學(xué)生在高中學(xué)習(xí)概率定義，與義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)有何區(qū)別？重點應(yīng)該強調(diào)的是什么？主要有兩點：（1）加強對隨機現(xiàn)象的認(rèn)識，（2）將“通過大量地重復(fù)試驗，用頻率來估計概率”這種直觀地感性認(rèn)識逐步提升到理論的層面，學(xué)習(xí)“概率的統(tǒng)計定義”．如何做到這些呢？老師首先需要提升認(rèn)識：歷史上，概率源于賭博．博弈的形式多種多樣，但是它們的前提是“公平”，即“機會均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家和賭博家卡爾丹（1501—1576）所說的“誠實的骰子”，即道明了這一點．在卡爾丹以后約三百年的時間里，帕斯卡、費馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計算、公式推導(dǎo)和擴大應(yīng)用等方面做了重要的工作．直到1812年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理論》中給出概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)之比．古典定義適用的條件有二：（1）可能結(jié)果總數(shù)有限；（2）每個結(jié)果的出現(xiàn)有同等可能．其中第（2）條尤其重要，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提．這就使得古典定義的方法能應(yīng)用的范圍很窄，同時還有一些數(shù)學(xué)上的問題（貝特朗悖論）．1919年，德國數(shù)學(xué)家馮.米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了概率的統(tǒng)計定義：在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)n的增加，某個事件出現(xiàn)的頻率m/n總是在一個固定數(shù)值p的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個固定的數(shù)值p定義為這一事件的概率．雖然統(tǒng)計定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個估計概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應(yīng)用的角度來講，它的適用范圍更廣．但是從數(shù)學(xué)理論上講，統(tǒng)計定義仍然是有問題的．有循環(huán)定義之嫌．因為定義中出現(xiàn)了‘可能性’．這指的就是概率．（類似地在古典概率定義中通常出現(xiàn)‘等可能性’）．你可以設(shè)法避免這類詞出現(xiàn)，但其本質(zhì)的意義無法避免．事實上，概率的統(tǒng)計定義的數(shù)學(xué)描述是（弱）貝努里大數(shù)律（老師們在大學(xué)都學(xué)過）：它說的是：當(dāng)試驗次數(shù)時，一個事件發(fā)生的頻率與某個常數(shù)p的偏差大于任一個正常數(shù)的可能性趨于零．之所以不能用這個式子中的常數(shù)p作為‘概率’的定義，是因為在這個式子中已經(jīng)有了‘概率’．也就是說：概率的概念籠統(tǒng)說并不難，但若深入到理論或哲學(xué)中去討論，問題就有一大堆．在數(shù)學(xué)上，概率的概念是用公理化的形式定義的．即使是大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生，由于他們大都不學(xué)‘測度論’，也無法完整地理解這種公理體系的意義．概率的古典定義、統(tǒng)計定義有其時代背景和現(xiàn)實意義，不能因噎廢食．這里希望教師了解的是，在各種教科書中出現(xiàn)的‘概率統(tǒng)計定義’,‘古典概率定義’,‘幾何概率定義’都是一些描述性的說法，教師不應(yīng)該過分地去揣摩，探究那里的用語，而應(yīng)理解其實質(zhì)．那么，我們在中學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)該如何把握概率的概念呢？“理解其實質(zhì)”是指什么呢？我想主要應(yīng)該理解以下幾點：1．“重復(fù)試驗”．“重復(fù)試驗”是指條件相同下的試驗，嚴(yán)格說在現(xiàn)實中兩次試驗條件完全相同是不可能的，這里給出的是數(shù)學(xué)模型．至于現(xiàn)實中哪些問題能用這個數(shù)學(xué)模型來近似描述，這是另一個問題．2．頻率和概率的關(guān)系．頻率反映了事件發(fā)生頻繁的程度，從而可以用來度量事件發(fā)生的可能性大?。l率是隨機的，是這n次試驗中的頻率．換另外n次試驗，一般說，頻率將不同，而概率是一個客觀存在的常數(shù)．因此，人們用概率來度量事件發(fā)生的可能性．不過，在現(xiàn)實中，概率往往是不知道的，通常用頻率來估計概率．恰如在現(xiàn)實中，一根木棒的長度是一個客觀的常數(shù)，但其值是未知的，我們是用測量值來估計其長度，不論儀器多么精確，測得的數(shù)值都會有誤差（即測量值是隨機的），但總是穩(wěn)定在木棒的真實長度值的附近．3．概率反映的是多次試驗中頻率的穩(wěn)定性．有人往往錯誤地以為，擲一個均勻硬幣，正面出現(xiàn)的概率等于二分之一，就應(yīng)該兩次試驗中出現(xiàn)一次正面．?dāng)S一個均勻骰子，每擲六次，各點都應(yīng)該出現(xiàn)一次．否則就是不均勻．事實上，頻率的穩(wěn)定性反映的是大量試驗中出現(xiàn)的性質(zhì)，其穩(wěn)定性要在試驗次數(shù)很多時才體現(xiàn)出來．對個別的幾次試驗，由于其隨機性，是無法預(yù)料的．4．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率趨于概率？請正確理解與的區(qū)別．正確的應(yīng)該是：即使n非常大，出現(xiàn)頻率偏離概率較大的情形也是可能的，這是隨機現(xiàn)象的特性．在概率的教學(xué)中，對一些學(xué)生容易產(chǎn)生誤解的地方，有人建議用試驗的辦法幫助學(xué)生理解，這當(dāng)然是很好的．例如，在討論抽簽與抽取順序無關(guān)時，就可以用試驗來模擬．但必須注意到頻率偏離概率大的情形．例如,扔一百個均勻硬幣，一面出現(xiàn)30個，另一面出現(xiàn)70個，是不奇怪的．對此教師應(yīng)有充分的認(rèn)識．5．結(jié)果的隨機性不同于結(jié)果未知．比如，至今人們還不知道哥德巴赫猜想是否成立，但這個命題沒有任何隨機性．6．用頻率估計概率，一定要大量試驗？實驗次數(shù)多少合適？狄莫弗-拉普拉斯極限定理給出了解答：．（*）其中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)．例如擲硬幣的問題，若要保證有95%的把握使正面向上的頻率與其概率0.5之差落在0.1的范圍內(nèi)，那要拋擲多少次？根據(jù)（*）式，可以估計出．有人認(rèn)為概率的統(tǒng)計定義沒什么可講的，學(xué)生有生活經(jīng)驗，很容易理解．從某一方面看，確實如此．學(xué)生不難理解擲均勻硬幣時，出現(xiàn)正面的可能性是二分之一；擲均勻骰子時，出現(xiàn)各個點數(shù)的可能性都是六分之一，等等．（不過，從歷史上看，人們認(rèn)識到這一點是經(jīng)過了很長的一個時期的．教科書上記載的那些歷史上擲硬幣的試驗說明了這一點．之所以會做這么多的試驗，就是因為人們在過去認(rèn)識不到這種頻率的穩(wěn)定性．）根據(jù)以上分析，我們可以確定這一節(jié)課的教學(xué)策略：1）首先通過大量實例，體會隨機事件發(fā)生的不確定性，歸納出隨機事件的概念．2）然后再深入情境，體會隨機事件的規(guī)律性．通過發(fā)現(xiàn)隨機事件的發(fā)生既有隨機性，又存在著統(tǒng)計規(guī)律性，認(rèn)識概率的意義．很自然地提出問題：如何把握規(guī)律？3）從已有的生活經(jīng)驗中提取信息，體會可以用(大量重復(fù))試驗的方法來估計概率．緊緊抓住大量、重復(fù)這兩個關(guān)鍵詞，認(rèn)識用大量重復(fù)試驗的頻率來估計事件的概率這種方法．4）通過數(shù)學(xué)實驗，觀察頻率，再次體會隨機性與規(guī)律性，形成概率的統(tǒng)計定義．其中還可以結(jié)合歷史上科學(xué)家們做拋擲硬幣實驗的例子，讓學(xué)生在了解史實的同時，進(jìn)一步體會大量重復(fù)試驗的必要性．（二）古典概型的教學(xué)需要明確的是古典概率是一類數(shù)學(xué)模型，并非是現(xiàn)實生活的確切描述．扔一個硬幣，可以看成只有兩個結(jié)果：“正面向上”和“正面向下”．每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，從而符合古典概率的模型．但現(xiàn)實情況是，硬幣可能卡在一個縫中，每一面既不向上也不向下．另外,硬幣是否均勻，也只能是近似的．同一個現(xiàn)實對象可以用不同的模型來描述．例如物理上，地球有時被看成是一個質(zhì)點(在研究天體運動時)，有時被看成橢球(飛機的航程)，有時被看成平面(人在地面行走時)．在這里同樣如此．同一個問題可以用不同的古典概率模型來解決．在古典概率的問題中，關(guān)鍵是要給出正確的模型．一題多解所體現(xiàn)的恰是多個模型．下面舉一個例子．例1．某人有6把鑰匙，但忘記了打開房門的鑰匙是哪一把．于是，他逐把不重復(fù)地試開．若6把中只有1把能打開房門，則（1）恰好第三次打開房門的概率是多少？（2）最多3次試開一定能打開房門的概率是多少？解法1：把6把鑰匙分別編號，能打開房門的鑰匙記為“k”．把用6把鑰匙逐把試開房門當(dāng)作一次試驗（即把6把鑰匙全部試完，不論能否打開房門），于是每個基本事件就相當(dāng)于6把鑰匙的一個全排列，所有基本事件的個數(shù)為．這些結(jié)果是等可能的．恰好第三次打開房門，即“k”排在第3位上，共有種結(jié)果，故“恰好第三次打開房門（設(shè)為事件A）”的概率為．最多3次試開一定能打開房門，即“k”排在前3位上，共有種結(jié)果，故“最多3次試開一定能打開房門（設(shè)為事件B）”的概率為．解法2：由于本題中討論的是恰好第三次打開房門的概率，所以，我們可以著眼于前三次，把“從6把鑰匙中選出3把，逐把試開房門”當(dāng)作一次試驗．于是，所有基本事件的個數(shù)為．這些結(jié)果是等可能的．（1）；（2）．解法3：還可以著眼于k的位置．把“用6把鑰匙逐把試開房門”當(dāng)作一次試驗（即把6把鑰匙全部試完，不論能否打開房門），但只考慮第幾次能打開房門，也就是考慮k排在第幾位，這樣，就只有6個基本事件．（1）；（2）．解法4：仍把鑰匙如前編號．我們只關(guān)注第三次（前三次）取到的鑰匙．第三次取到的鑰匙顯然是這6把鑰匙之一，即，有6種結(jié)果．且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相同的．當(dāng)?shù)谌稳〉健発”時，第三次恰好打開房門．因此，“恰好第三次打開房門”的概率為；最多3次試開一定能打開房門的概率為．我們希望通過這樣的例子讓學(xué)生很好地體會概率的古典模型、體會概率模型的意義．但其中排列組合并非必要的知識．若將問題改為：有1個黑球和5個白球（除顏色外它們都相同）放在一個袋中，現(xiàn)從中取球，取出記錄顏色后再放回．求“第3次取到黑球”的概率．解：由于是有放回地抽取，所以，每次抽取都可以看做是相互獨立的，故第3次取到黑球的概率為．對古典概率模型的認(rèn)識在具體題目中要注意以下問題：（ⅰ）等可能性與非等可能性；（ⅱ）有序取與無序?。唬á＃┯蟹呕厝∨c不放回?。唬áぃ┩ㄟ^全排列的方法，更容易構(gòu)造等可能事件．（三）緊扣“等可能”，突破幾何概型教學(xué)的難點前一陣在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》上看到這樣一個例子：1．等腰RtΔABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率2．等腰RtΔABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率前者的概率是，后者的概率是這兩個看上去很相近的問題，答案為什么會不同呢？這個問題引起學(xué)生的很多的困惑．其實，要解決它，還得回到幾何概型的定義．幾何概型的定義是：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域Ω內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件A的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域D中的點，這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等．用這樣的方法處理隨機試驗，稱為幾何概型．從幾何概型的定義我們可以看出：解決幾何概型問題的基本步驟是：（1）找出等可能基本事件；（2）對應(yīng)幾何圖形（所有等可能基本事件所在的區(qū)域Ω和隨機事件中等可能基本事件所在的區(qū)域A）；（3）由區(qū)域確定測度．第一個事件所對應(yīng)的等可能基本事件應(yīng)該是在線段AB上隨機取一點，這一點落在這個線段上是等可能的．第二個事件所對應(yīng)的等可能基本事件應(yīng)該是在直角區(qū)域內(nèi)任取一條射線，顯然若射線等可能出現(xiàn)在直角區(qū)域內(nèi)，則點M就不可能等可能出現(xiàn)在線段AB上．如何確定等可能基本事件？抓住“任意”、“隨機”等詞，確定等可能的基本事件空間．貝特朗悖論：幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識．然而，1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指幾何概率概念本身：在一個圓內(nèi)隨機地畫一條弦，它的長度大于該圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？從不同方面考慮，可得不同結(jié)果：（1）由于對稱性，可預(yù)先指定弦的方向．作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于1/4點與3/4點間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長．所有交點是等可能的,則所求概率為1/2．（2）由于對稱性，可預(yù)先固定弦的一端．僅當(dāng)弦與過此端點的切線的交角在60°～120°之間，其長才合乎要求．所有方向是等可能的，則所求概率為1/3．（3）弦被其中點位置唯一確定．只有當(dāng)弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長才合乎要求．中點位置都是等可能的，則所求概率為1/4．這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論．得到三種不同的結(jié)果，是因為在取弦時采用了不同的等可能性假設(shè)：在第一種解法中則假定弦的中點在直徑上均勻分布；在第二種解法中假定端點在圓周上均勻分布，而第三種解法中又假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布．這三種答案是針對三種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．三個結(jié)果都正確！——這就是讓老師和學(xué)生感到迷惑不解的原因．這一悖論揭示了幾何概率在19世紀(jì)剛興盛時期存在著其邏輯基礎(chǔ)的脆弱性，也反映出古典概率有著相當(dāng)?shù)木窒蓿@也推動了20世紀(jì)概率論公理化工作的早日到來．關(guān)于這個悖論有很多種討論，在此不一一贅述．老師們只需明白的是確定“等可能基本事件”的重要性，在解決幾何概型問題時，必須找準(zhǔn)觀察角度、明確隨機選擇的意義、判斷好基本事件的等可能性．如何對應(yīng)幾何圖形？有的問題，幾何特征較為明顯，能迅速找到相應(yīng)的幾何圖形，計算其測度．但有的問題中，找到相應(yīng)的幾何圖形較為困難．如：例．一家快遞公司的投遞員承諾在上午9：00—10：00之間將一份文件送到某單位．（Ⅰ）如果這家單位的接收人員在上午9：45離開單位，寫出他在離開單位前能拿到文件的概率；（Ⅱ）如果這家單位的接收人員將在上午9：30—11：00之間離開單位，那么他在離開單位前能拿到文件的概率是多少？解：（Ⅰ）所求事件的概率為．（Ⅱ）設(shè)為投遞員到達(dá)該單位的時間，為接受人員離開單位的時間．可以看成平面中的點，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，這是一個長方形區(qū)域，面積為．設(shè)事件表示“接受人員在離開單位之前能拿到文件”，則事件所構(gòu)成的區(qū)域為，面積為．這是一個幾何概型，所以．即接受人員在離開單位之前能拿到文件的概率為.利用幾何概型可以很好地給出隨機模擬的思想．隨機模擬的思想十分重要，老師應(yīng)給予充分的重視．這里就不多說了．（四）條件概率與事件獨立性的教學(xué)課標(biāo)要求：了解．條件概率：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，記作：P（B|A）計算公式：.例1．某科動物出生后活到20歲以上的概率為0.7，活到25歲以上的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的該科動物活到25歲的概率．設(shè)A表示“活到20歲以上”，B表示“活到25歲以上”，則有P（A）=0.7，，所求的實際上是=0.8.例2．某電子元件廠有職工180人，男職工100人，女職工80人，男、女職工中非熟練工人分別有20人和5人，現(xiàn)從該廠中任選一名職工，若已知被選出的是女職工，求她是非熟練工人的概率．設(shè)A表示“任選一名職工為女職工”，B表示“任選一名工人為非熟練工人”，則所求就是“在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（B|A）”．方法一：公式法，，（，顯然）.方法二：縮小樣本空間P（B|A）=5/80=1/16.需要注意的是：1.條件概率中的事件A、B，指的是任何兩個事件A和B（事件A、B不一定有包含關(guān)系）．2.分清“AB同時發(fā)生”P（AB），還是“在A發(fā)生的條件下B發(fā)生”P（B|A）事件的獨立性若事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即，（），則稱事件A、B相互獨立．此時，事實上，，，相互等價．獨立的直觀概念并不難理解．現(xiàn)實中許多問題可以近似看成是相互獨立的．例如，對一組對象有放回地抽??；重復(fù)地投擲硬幣或骰子；不同射手的射擊等等．因此，在概率論的研究中，我們給出的數(shù)學(xué)模型通常會根據(jù)其背景假設(shè)它滿足獨立的條件或不滿足獨立的條件．而不是通過驗證是否成立來判斷A、B是否獨立．（五）正確區(qū)分概率模型，準(zhǔn)確解決概率問題概率可以進(jìn)行運算，互斥事件和相互獨立事件是概率加、乘兩種運算在兩個特殊概率模型中的體現(xiàn)．互斥事件：是指在同一個試驗下，不可能同時發(fā)生的兩個事件．特例：對立事件——在同一試驗下必有一個發(fā)生的互斥事件．相互獨立事件：在兩個或多個獨立實驗下，一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．特例：獨立重復(fù)實驗，將同一實驗獨立重復(fù)n次，研究同一事件發(fā)生k次的概率．正確區(qū)分概率模型，有助于準(zhǔn)確解決概率問題．例1．一個口袋中裝有大小相同的1個紅球，2個黑球和3個白球，從口袋中一次摸出一個球，摸出的球不再放回．（Ⅰ）連續(xù)摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出紅球，則停止摸球，求摸球次數(shù)不超過2次的概率．解：（Ⅰ）古典概型從袋中依次摸出2個球共有6×5=30種結(jié)果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2×3=6種結(jié)果，則所求概率．（Ⅱ）互斥事件有一個發(fā)生的概率．第一次摸出紅球的概率為，第二次摸出紅球的概率為，則摸球次數(shù)不超過2次的概率為．例2．一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為和.則（A）（B）（C）（D）以上三種情況都有可能答：B解：每箱抽查可看做相互獨立．考查不放回的抽樣、重點考查二項分布的概率．方法一：每箱不能選中劣幣的概率均為，故至少發(fā)現(xiàn)一枚劣幣的概率為；方法二：每箱不能選中劣幣的概率均為，故至少發(fā)現(xiàn)一枚劣幣的概率為，因為，顯然<．例3．如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T，T，T，T，電源能通過T，T，T的概率都是，電源能通過T的概率是0.9，電源能否通過各元件相互獨立．已知T，T，T中至少有一個能通過電流的概率為0.999．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求電流能在M與N之間通過的概率．分析：本題考查了概率中的互斥事件、對立事件及獨立事件的概率．解：記依次表示事件：電流能通過A表示事件：中至少有一個能通過電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過，（Ⅰ）相互獨立，，又，故，（Ⅱ），=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.98911、概率計算中首先要明確隨機事件是什么，正確識別概率類型.2、會將復(fù)合事件的概率分解為若干個已知概率或易求概率的事件的“和”或“積”.（六）隨機變量的分布列的教學(xué)在必修課程概率的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)對隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性有了一定的了解，結(jié)果的隨機性和頻率的穩(wěn)定性是隨機現(xiàn)象的兩個最基本的特點，那么，怎樣才算把一個隨機現(xiàn)象的規(guī)律研究清楚了？了解一個隨機現(xiàn)象的規(guī)律，就是指了解這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果及每個結(jié)果的概率．為了在數(shù)學(xué)上處理，一個常用的做法就是：把每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果都對應(yīng)一個數(shù)，實際上是建立一個從實驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射，這就引出了離散型隨機變量及其分布列的概念．超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布是幾類特殊的分布，盡管這些分布無法覆蓋各種各樣的隨機現(xiàn)象，但他們描述了隨機現(xiàn)象中最有用，最常見的情形，他們有助于我們對一般隨機現(xiàn)象的理解和討論．1．注重對具體分布模型的認(rèn)識和應(yīng)用注意超幾何分布的使用條件為不放回地抽取，二項分布的使用條件為n次獨立重復(fù)實驗相當(dāng)于有放回抽取．二項分布：n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)ξ服從二項分布：．超幾何分布：設(shè)有N個產(chǎn)品，其中有M個次品(M≤N)，從中任取n個，令ξ表示取到的次品數(shù)，則．k=0，1，2，…，min(M,n)稱隨機變量ξ服從超幾何分布，其中N，M，n是分布的參數(shù)．例如從全班任取n個人，取到女生的人數(shù)；從撲克牌中取n張，取到黑桃的張數(shù)；買n張彩票，中獎的張數(shù)，等等都可以用超幾何分布描述．正態(tài)分布，要從頻率分布直方圖到總體分布的過程，讓學(xué)生明確總體分布的來源，從而了解正態(tài)分布密度函數(shù)的意義．在此基礎(chǔ)上，直觀認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．了解正態(tài)曲線隨著μ和σ變化而變化的特點．并結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式及概率的性質(zhì)，了解3σ原則．應(yīng)要求學(xué)生掌握這三種分布列的結(jié)構(gòu)特點，為后繼學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．不過從寫分布列的角度看，學(xué)生對各種分布列的特性知道與否，似乎都不太重要，因此我們在教學(xué)中遇到其它分布列（單點分布、兩點分布、超幾何分布、泊松分布、帕斯卡分布等）時，用而不談名稱就是了．下用具體問題進(jìn)一步說明上述情況．例1．某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進(jìn)行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5,整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結(jié)果精確到0.01):(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.解：（I）每家煤礦必須整改的概率是1—0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是．（II）由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)服從二項公布，從而的數(shù)學(xué)期望是，即平均有2.50家煤礦必須整改．（III）某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是，由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，故至少關(guān)閉一家煤礦的概率是．例2．A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).（1）求的取值范圍；（2）求的數(shù)學(xué)期望E.分析：理解的含義是解決本題的關(guān)鍵.解：（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，可得：（2）例3．已知隨機變量，若，則=（A）0.477（B）0.628（C）0.954（D）0.977答案：C解：因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，又，所以，所以0.954，故選C.【選題目的】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識，掌握其基礎(chǔ)知識是解答好本題的關(guān)鍵.2．注重對期望、方差的現(xiàn)實意義的解讀在實際中，有許多決策問題，是用隨機變量均值的大小來決策的．（從下面的例子可以看到，均值常常是人們期望得到的值．均值被稱為‘?dāng)?shù)學(xué)期望’．）例4．有兩個公司歡迎你去面試求職，設(shè)想它們各方面條件相同而且你去面試求職的可能結(jié)果也一樣：你得到年薪4萬的可能性是20%，得到年薪3萬的可能性是30%，得到年薪2萬5千元的可能性是40%，公司不雇用你的可能性是10%．你先去一個公司面試，條件是，一旦你決定在第一個公司工作，就不能再去第二個公司；如果你放棄了第一個公司的工作，也不允許再返回．試問你該如何決策．解：當(dāng)公司1給你年薪4萬時，你應(yīng)該接受．因為公司2無論如何也不會提供比這更多的年薪．當(dāng)公司1不雇用你時，你別無選擇，只能去公司2面試．問題是當(dāng)公司1給你3萬和2萬5千年薪時，你應(yīng)該如何決策．顯然，當(dāng)公司1給你的年薪比公司2給你的年薪低時，你應(yīng)該去公司2；當(dāng)公司1給你的年薪比公司2高時，你接受公司1的工作，不再去公司2求職．問題是公司2給你的年薪是隨機的，事前無法確定．如前所述，我們只能和公司2的平均年薪比較．現(xiàn)在去公司2能得到的平均年薪是．因此，當(dāng)公司1給你3萬的年薪，接受它；若公司1給你2.5萬元的年薪，拒絕它，去公司2面試．這個決策使你有0.2的概率得到4萬，0.3的概率得到3萬，有0.5的概率去公司2面試得到2.7萬的平均年薪．從而，這個決策的平均年薪為萬元．（七）隨機模擬試驗由于計算機具有高速度和大容量的特點，我們可以用計算機來模擬那些龐大而復(fù)雜的試驗，這種模擬稱為隨機模擬或數(shù)字模擬，是一種非常重要的方法．先來看一個例子．例1（擲硬幣問題）擲有一個均勻的硬幣，正面向上的概率為0.5，那么，把一個均勻硬幣擲100次，出現(xiàn)50次正面向上的概率是否接近0.5？解出現(xiàn)50次正面的概率為．我們知道，擲一個均勻硬幣，‘出現(xiàn)正面’的概率是0.5．有人以為，擲100次應(yīng)該出現(xiàn)50次正面．為什么這件事發(fā)生的概率只有0.08，和想象相差甚遠(yuǎn)．好像均勻硬幣不應(yīng)該有這樣的結(jié)果．你學(xué)過了概率的統(tǒng)計定義，該如何解釋這一結(jié)果呢？事實上，一個事件的概率0.5是指，在大量重復(fù)試驗中，該事件出現(xiàn)的頻率‘穩(wěn)定’在0.5（即在0.5附近，偏離0.5很大的可能性極?。?，并非每兩次試驗中出現(xiàn)一次．那么，擲100次均勻硬幣出現(xiàn)50次正面的概率，也應(yīng)該理解為，做大量重復(fù)試驗，即多次地擲100次硬幣，‘出現(xiàn)50次正面’的頻率應(yīng)‘穩(wěn)定’在0.08．下面是一個模擬試驗結(jié)果．1．在excel表格中輸入“=rand()”；（產(chǎn)生不小于0，小于1的隨機數(shù)）2．用下拉列表得到100個隨機數(shù)（相當(dāng)于做100次試驗）；3．用countif函數(shù)統(tǒng)計其中小于0.5的隨機數(shù)（我們規(guī)定小于0.5的隨機數(shù)代表正面朝上）；（100次試驗中正面朝上的次數(shù)）4．用下拉列表得到n組試驗數(shù)據(jù)；5．將n組數(shù)據(jù)中正面朝上的次數(shù)復(fù)制到另一個表格中；6．仍用countif函數(shù)統(tǒng)計各個次數(shù)的組數(shù)；我們看到，擲100個均勻硬幣不一定出現(xiàn)50個正面．可以出現(xiàn)54個正面，也可以出現(xiàn)46個正面，等等．計算在上述n組試驗中，出現(xiàn)50個正面向上的次數(shù)的的頻率．和理論上的值0.08比較大?。畱?yīng)該看到，對一個均勻硬幣來說，擲100次‘出現(xiàn)50次正面’的概率雖然不大，但比正面出現(xiàn)其它次數(shù)，例如出現(xiàn)49次、53次等的概率還是大的．在上述的模擬試驗中，一共擲了100n次硬幣，只需把上表中的n個數(shù)據(jù)求和，即可計算正面出現(xiàn)的頻率，與0.5作比較．說明我們的硬幣是均勻的．鼓勵學(xué)生盡可能運用計算器、計算機來處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行模擬活動，更好地體會統(tǒng)計思想和概率的意義．三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測分析（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對“概率”的要求1．事件與概率①了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.②了解兩個互斥事件的概率加法公式.2．古典概型①理解古典概型及其概率計算公式.②會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3．隨機數(shù)與幾何概型①了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.②了解幾何概型的意義.4．（理科限選）概率①理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.②理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.③了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.④理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.⑤利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.總體而言，古典概型、互斥事件、相互獨立事件、隨機變量的分布列（理科）是考察的重點．但概率的意義、隨機的思想，這些是很難在一張試卷中體現(xiàn)出來的，需要老師們緊密結(jié)合生活，提出相關(guān)問題，滲透在平時的教學(xué)中．作為考試的題目，應(yīng)該如何選擇，下面我們選擇一些例題加以說明：（二）典型題目的檢測分析例1.甲、乙兩人各射擊1次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.（Ⅰ）求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；（Ⅱ）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；（Ⅲ）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？解：記“甲第i次射擊，擊中目標(biāo)”為事件，“乙第i次射擊，擊中目標(biāo)”為事件，則，．（Ⅰ）設(shè)“甲連續(xù)射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件，則事件為“4次全擊中目標(biāo)”．由題意，射擊4次，相當(dāng)于做4次獨立重復(fù)試驗，故.（Ⅱ）記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件，則；.由于甲、乙射擊相互獨立，故.（Ⅲ）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件，，故.【選題目的】考查獨立重復(fù)試驗，對立事件的概率等知識的運用．層次遞進(jìn)，第（Ⅲ）綜合考查學(xué)生分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力．例2.某迷宮有三個通道，進(jìn)入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會隨機（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門．再次到達(dá)智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走完迷宮為止．令表示走出迷宮所需的時間．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望．解：必須要走到1號門才能走出，可能的取值為1，3，4，6【選題目的】考察學(xué)生對于分布列的認(rèn)識，題目不難，規(guī)范解答．例3.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種1粒，補種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（A）100（B）200（C）300（D）400【選題目的】單純考查學(xué)生對二項分布模型的認(rèn)識．例4．某同學(xué)參加3門課程的考試．假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，(＞)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為（Ⅰ）求該生至少有門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（Ⅱ）求，的值；（Ⅲ）求數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，=1，2，3，由題意知，，（Ⅰ）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是，（Ⅱ）由題意知，，整理得，，由，可得，．（Ⅲ）由題意知，=，=．【選題目的】考查學(xué)生對隨機變量分布列的認(rèn)識，卻并不死板，需要學(xué)生從表中讀出相關(guān)信息．（Ⅱ）利用列方程解決概率問題，不同于直接求解，在考查概率的同時，還考查方程的思想．例5.某地區(qū)教研部門要對高三期中數(shù)學(xué)練習(xí)進(jìn)行調(diào)研，考察試卷中某道填空題的得分情況.已知該題有兩空，第一空答對得3分，答錯或不答得0分；第二空答對得2分，答錯或不答得0分.第一空答對與否與第二空答對與否是相互獨立的.從所有試卷中隨機抽取1000份試卷，其中該題的得分組成容量為1000的樣本，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第一空得分情況第二空得分情況得分03得分02人數(shù)198802人數(shù)698302（Ⅰ）求樣本試卷中該題的平均分，并據(jù)此估計這個地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分；（Ⅱ）這個地區(qū)的一名高三學(xué)生因故未參加考試，如果這名學(xué)生參加考試，以樣本中各種得分情況的頻率（精確到0.1）作為該同學(xué)相應(yīng)的各種得分情況的概率.試求該同學(xué)這道題第一空得分不低于第二空得分的概率.（Ⅰ）據(jù)此可估計這個地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分為3.01分（Ⅱ）0.94【選題目的】是統(tǒng)計與概率的綜合問題，第一空得分不低于第二空得分，即第一空得3分，或第一空、第二空均得0分．在用頻率估計概率的思想下，考查學(xué)生將復(fù)雜問題分解為基本概率模型的能力．例6．樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3．若該樣本的平均值為1，則樣本方差為（A）（B）（C）（D）2答案：D．解：由題意知，解得，所以樣本方差為=2，故選D.【選題目的】本題考查用樣本的平均數(shù)、方差的計算方法，屬基礎(chǔ)題．互動對話【參與人員】梁麗平：人民大學(xué)附屬中學(xué)侯立偉：北京市十一中學(xué)馬萍：人民大學(xué)附屬中學(xué)【互動話題】1．如何在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，提高和深化學(xué)生對概率的認(rèn)識通過設(shè)計數(shù)學(xué)試驗（拋硬幣、擲圖釘、投骰子等）“用頻率估計概率”，無論是初中還是高中的教學(xué)都有涉及，那這樣的設(shè)計是簡單重復(fù)？還是螺旋上升？高中教學(xué)的提升點在哪里？這部分內(nèi)容高中教學(xué)的重點在哪里呢？本話題就是圍繞著這個問題的討論展開，主要討論以下兩個問題：①高中階段的教學(xué)設(shè)計如何在初中教學(xué)的基礎(chǔ)上深化學(xué)生對概率的認(rèn)識？（以“用頻率估計概率”的數(shù)學(xué)試驗設(shè)計為例）②高中階段“概率”的教學(xué)，哪些內(nèi)容適合設(shè)計數(shù)學(xué)試驗？數(shù)學(xué)試驗的類型有哪些？2．“概率中的隨機模擬”“概率”中的哪些內(nèi)容可以發(fā)揮計算機的作用促進(jìn)學(xué)生的理解？本話題就是圍繞這個問題展開。在教學(xué)和復(fù)習(xí)中，教師往往更多的是關(guān)注于幾何概型題目的解答，而往往忽視了它的一個重要的應(yīng)用價值，即它的隨機模擬的思想。利用幾何概型的原理可以估計圓周率的近似值，計算復(fù)雜圖形的面積等，在教學(xué)中應(yīng)注重突出隨機模擬的思想。3．“如何在概率教學(xué)中發(fā)揮學(xué)生的主動性”？本話題從“概率章節(jié)復(fù)習(xí)題設(shè)置的一次嘗試”展開，教師將出概率復(fù)習(xí)題的任務(wù)交給了學(xué)生自己，讓他們出三道概率復(fù)習(xí)題，要求從易到難三個層次，并要說明為什么選這三道題，說明理由。學(xué)生們的表現(xiàn)如何呢？教師在這個過程中的作用是什么呢？4．把握“概率”教學(xué)的重點從“學(xué)習(xí)概率之前要不要先學(xué)排列組合”說起不少教師對于“學(xué)習(xí)概率之前要不要先學(xué)習(xí)排列組合”心存疑惑，其實對這個問題的思考可以從另外的角度去認(rèn)識，如果概率教學(xué)的重點不在復(fù)雜的含有排列組合的概率計算上，那么我們教學(xué)的重點是什么？本話題就是圍繞這個問題的討論展開。5．概率與我們的生活“生活中最重要的問題其中占大多數(shù)的實際上只是概率問題”拉普拉斯。即概率與數(shù)理統(tǒng)計在一定程度上可以預(yù)測生活中的很多事情，說明概率在生活中無處不在，拉普拉斯已經(jīng)把數(shù)學(xué)思想上升到生活中的哲學(xué)高度了。在生活中，人們總是希望能夠預(yù)知將來會發(fā)生什么事情，概率正是人們“預(yù)見未來，把握現(xiàn)在”的愿望在數(shù)學(xué)上的體現(xiàn)。另一個方面，概率不僅是人們預(yù)測未來的工具，也是選擇未來的判斷依據(jù)，通過過去了解未來，是人們普遍的思維方式。本話題圍繞著日常生活中人們經(jīng)常探討的“小概率事件”和“大概率事件”展開。通過大量豐富的實例（北京市購買小汽車的比例問題、英國約克郡偶像石、華南虎事件、50個人中有兩個人生日相同的概率等），讓學(xué)生領(lǐng)會如何從概率的角度來分析和解釋生活中發(fā)生的現(xiàn)象，從而認(rèn)識到概率在實際生活中的重要作用。案例評析【案例信息】案例評析：《隨機事件的概率》授課教師：李秋生（人大附屬中學(xué)）評析教師：梁麗平（人大附屬中學(xué)）【課堂實錄】【案例評析】一、恰當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)知識的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”許多人之所以不喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，很大的程度上是因為感覺數(shù)學(xué)難、枯燥乏味．是否可能讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程象讀小說、聽音樂一樣輕松愉快、易于接受，同時又不喪失數(shù)學(xué)的本質(zhì)？應(yīng)該說：教師的重要任務(wù)之一，就是把知識從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)．李秋生老師的課給了我們一個很好的示范．本節(jié)課中，李秋生老師引用了很多生動有趣的實例：麥迪的35秒奇跡、杜麗奧運會再奪金、石頭——剪刀——布等，有的激動人心，百看不厭，有的耳熟能詳，倍感親切，整個課堂生動活潑，涌動著濃濃的生命氣息，散發(fā)著數(shù)學(xué)迷人的魅力；從這些事例出發(fā)，概括、抽象出數(shù)學(xué)問題，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值，也揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)．為了讓學(xué)生感受知識形成的過程，對于有的問題，我們也可以通過深入地研究教材，追蹤數(shù)學(xué)家的思維活動，將其稚化模擬，轉(zhuǎn)化為可以讓學(xué)生操作的活動，然后放手讓學(xué)生探索，從而達(dá)到主動建構(gòu)的目的．本節(jié)課中，概率的統(tǒng)計定義，正是這樣一種過程的體現(xiàn)．啟示：做到這一點，一是教師對數(shù)學(xué)深入理解；二是要借助人文精神的融合．二、營造和諧的課堂氛圍，教法靈活整節(jié)課，老師始終面帶微笑，用優(yōu)美的語言，用自己對于生活的熱情和對于數(shù)學(xué)的喜愛去感染學(xué)生．傳遞給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．不僅僅如此，李老師還綜合運用了多種教學(xué)方式（如合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)），促進(jìn)學(xué)生主動建構(gòu)．學(xué)生思維活躍，課堂氣氛熱烈．我們不僅能看到學(xué)生專注的眼神，更能看到學(xué)生會心的微笑，這樣一種寬松和諧的教學(xué)氛圍，使得學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，成為一種愉快體驗的生命歷程．學(xué)生的微笑和專注就是對于教學(xué)的最好的評價．三、注重概念的形成過程，突出數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)習(xí)本節(jié)課中的概念看似基本、簡單，但需要有一個將感性認(rèn)識轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識的過程，通過這一過程擺脫自發(fā)性概念的粗糙、膚淺狀態(tài)．本節(jié)課在教學(xué)過程的設(shè)計上尤其注重概念的形成過程．每一個數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，其中都有豐富的經(jīng)歷，充滿著人類探索的艱辛和智慧．這些思維成果不經(jīng)自己頭腦的消化是不可能吸收的．學(xué)生固然不需要完全重復(fù)先前人們的思維過程，但重新經(jīng)歷其中某些重要的過程是很有必要、很有幫助的．李老師在概念的形成上可以說是濃墨重彩，每個概念的形成，都采用了“創(chuàng)設(shè)情境——形成概念——深化理解”這樣一種教學(xué)流程，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程．特別值得一提的有兩點：一是有效的問題情境．本節(jié)課中，李老師運用多種手段創(chuàng)設(shè)情境，有實例、數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)交流……，既貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗，能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，更重要的是通過問題引領(lǐng)，使學(xué)生把握其中所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，迅速切入主題，使得情境教學(xué)的效益最大化．二是突出理性思維，學(xué)生深入?yún)⑴c課堂教學(xué)高中的概率課與初中有何區(qū)別，本節(jié)課從一個側(cè)面給了我們回答：突出理性思維，揭示概念的內(nèi)涵，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性．比如概率的統(tǒng)計定義，就緊緊抓住“大量重復(fù)”這個條件，設(shè)計數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并感受在此條件下頻率所呈現(xiàn)出的規(guī)律性，從而得出可以用頻率來估計概率這種方法，把握這個概念的精髓．整節(jié)課中，學(xué)生不僅通過實驗參與教學(xué)，更是在教師創(chuàng)設(shè)的情境中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，在行為和思維上參與教學(xué)活動，是一種深層次參與．四、恰當(dāng)利用現(xiàn)代信息技術(shù)本節(jié)課的另一個特點就是多媒體設(shè)備的應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)實驗中，隨著學(xué)生匯報試驗結(jié)果，屏幕上就動態(tài)產(chǎn)生了各組試驗頻率及折線圖，還有后來累積頻率的計算及折線圖，都是通過Excel電子表格的功能實現(xiàn)的．此處多媒體設(shè)備的使用，不僅迅速、準(zhǔn)確地反映了學(xué)生實驗的結(jié)果，將更多的時間留給學(xué)生進(jìn)行分析思考，同時還能夠從數(shù)、形兩方面觀察試驗結(jié)果，有效的配合了學(xué)生的思維過程．思考與活動1.高中概率教學(xué)的重點是什么？2.設(shè)計一份概率的檢測試題。3.用概率的知識分析下面的問題：在買彩票時，有人說過去中獎的號碼里某一數(shù)碼，比如‘5’出現(xiàn)最多,‘5’是幸運號碼，應(yīng)該買‘5’這個號碼．也有人說某一數(shù)碼，比如‘7’,在過去出現(xiàn)最少，由于每個數(shù)出現(xiàn)的機會是一樣的，因此，下次‘7’出現(xiàn)的機會就大了，應(yīng)該買‘7’這個號碼．那一種說法正確呢？4．聽專家講述，談自己的教學(xué)故亊。包括教學(xué)案例、教學(xué)感受、教學(xué)思考等。用一自身案例寫出自己的教學(xué)思考。參