景德鎮(zhèn)高專物理系

第4章守恒定律

Theconservationlaw本章要點(diǎn)：1．沖量、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律及應(yīng)用；2．功、動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律及應(yīng)用；3．動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律在碰撞問題中的應(yīng)用；4．力矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量守恒定律及應(yīng)用；5．對(duì)稱性與守恒定律。動(dòng)量守恒和能量守恒以及角動(dòng)量守恒不僅是力學(xué)也是物理學(xué)中各種運(yùn)動(dòng)所遵循的普遍規(guī)律，本章介紹動(dòng)量、能量、角動(dòng)量等重要概念，以及相應(yīng)的守恒定律及其應(yīng)用。4.1動(dòng)量守恒

Conservationlawof

momentum

4.1.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理Particleandparticlesystemconservationlawofmomentum1．沖量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

由牛頓第二定律得

上式的積分為

（4-1）式中和是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度和動(dòng)量，和是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度和動(dòng)量。為力對(duì)時(shí)間的積分，稱為力的沖量，用符號(hào)I表示。

式（4-1）的物理意義是：在給定時(shí)間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量。這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。式（4-1）是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的矢量表達(dá)式，在直角坐標(biāo)系中，其分量式為

（4-2）

顯然，質(zhì)點(diǎn)在某一軸線上的動(dòng)量增量，僅與該質(zhì)點(diǎn)在此軸線上的受的外力的沖量有關(guān)。動(dòng)量比速度能更恰當(dāng)?shù)胤从澄矬w的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理如圖4-1所示，在系統(tǒng)S內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2，它們的質(zhì)量分別為和.系統(tǒng)外的質(zhì)點(diǎn)對(duì)它們作用的力叫做外力，系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力則叫內(nèi)力。設(shè)作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力分別是和，而兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力分別為和根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理，在時(shí)間內(nèi),兩質(zhì)點(diǎn)所受力的沖量和動(dòng)量增量分別為

圖4-1

和

將上兩式相加，有由牛頓第三定律知，所以系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力之和，故上式為

上式表明，作用于兩質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量之和的增量，亦即系統(tǒng)的動(dòng)量增量。上述結(jié)論容易推廣到由個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)內(nèi)含有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么式（4-3）可改寫成考慮到內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等、方向相反，故其矢量和必為零，即

設(shè)作用于系統(tǒng)的合外力用表示，且系統(tǒng)的初動(dòng)量和末動(dòng)量各為和，那么上式可改寫為

（4-4a）

或

（4-4b）

式（4-4）表明，作用于系統(tǒng)的合外力的沖量于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。對(duì)于在無限小的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理可寫成

（4-4c）

上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。例質(zhì)量為的物體，由水平面上點(diǎn)以初速為拋出，與水平面成仰角。若不計(jì)空氣阻力，求：（1）物體從發(fā)射點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，重力的沖量；（2）物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中，重力的沖量。

圖4-2分析：重力是恒力，因此，求其在一段時(shí)間內(nèi)的沖量時(shí)，只需求出時(shí)間間隔即可。由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間，物體從出發(fā)到落回至同一水平面所需的時(shí)間是到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間的兩倍。這樣，按沖量的定義即可求出結(jié)果。另一種解的方法是根據(jù)過程的始、末動(dòng)量，由動(dòng)量定理求出。解1：物體從出發(fā)到達(dá)最高點(diǎn)所需的時(shí)間為則物體落回地面的時(shí)間為于是，在相應(yīng)的過程中重力的沖量分別為

于是，在相應(yīng)的過程中重力的沖量分別為

解2：根據(jù)動(dòng)量定理，物體由發(fā)射點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到A、B的過程中，重力的沖量分別為4.1.2

動(dòng)量守恒定律

Conservationlawofmomentum

1.

動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律，是最早發(fā)現(xiàn)的一條守恒定律，它淵源于十六、七世紀(jì)西歐的哲學(xué)思想，法國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)、物理學(xué)家笛卡兒，對(duì)這一定律的發(fā)現(xiàn)做出了重要貢獻(xiàn)。觀察周圍運(yùn)動(dòng)著的物體，我們看到它們中的大多數(shù)終歸會(huì)停下來。整個(gè)宇宙是不是也像一架機(jī)器那樣，總有一天會(huì)停下來呢？但是，千百年對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)，并沒有發(fā)現(xiàn)宇宙運(yùn)動(dòng)有減少的現(xiàn)象，十六、七世紀(jì)的許多哲學(xué)家都認(rèn)為，宇宙間運(yùn)動(dòng)的總量是不會(huì)減少的，只要我們能夠找到一個(gè)合適的物理量來量度運(yùn)動(dòng)，就會(huì)看到運(yùn)動(dòng)的總量是守恒的，那么，這個(gè)合適的物理量到底是什么呢？法國(guó)的哲學(xué)家笛卡兒曾經(jīng)提出，質(zhì)量和速率的乘積是一個(gè)合適的物理量。但速率是個(gè)沒有方向的標(biāo)量。后來，牛頓把笛卡兒的定義略作修改，即不用質(zhì)量和速率的乘積，而用質(zhì)量和速度的乘積，這樣就得到量度運(yùn)動(dòng)的一個(gè)合適的物理量，這個(gè)量牛頓叫做“運(yùn)動(dòng)量”，現(xiàn)在我們叫做動(dòng)量，笛卡幾由于忽略了動(dòng)量的矢量性而沒有找到量度運(yùn)動(dòng)的合適的物理量，但他的工作給后來的人繼續(xù)探索打下了很好的基礎(chǔ)。

從式（4-4）可以看出，當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零，即時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量的增量亦為零，即。這時(shí)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，即

恒矢量

（4-5a）這就是動(dòng)量守恒定律，它的表述為：當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量將保持不變，式（4-5a）是動(dòng)量守恒定律的矢量式。在直角坐標(biāo)系中，其分量式為

……（4-5b）

式中、和均為恒量。2．幾點(diǎn)說明：(1)動(dòng)量是與慣性系選取有關(guān)的物理量，因此在計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)量時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量必須取同一個(gè)慣性系；(2)當(dāng)系統(tǒng)所受合外力不為零時(shí)，雖然不滿足動(dòng)量守恒條件，但由于垂直合外力方向上系統(tǒng)受力為零，故系統(tǒng)動(dòng)量在該方向的分量將保持不變；(3)在某些碰撞問題中，出于外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)力，因而外力可以忽略不計(jì)，此時(shí)仍然可以應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解決問題；(4)動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基本的定律之一。動(dòng)量守恒定律雖然是從表述宏觀物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的牛頓運(yùn)動(dòng)定律導(dǎo)出的，但近代的科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論分析都表明：在自然界中，大到天體間的相互作用，小到質(zhì)子、中子、電子等微觀粒子間的相互作用都遵守動(dòng)量守恒定律；而在原子、原子核等微觀領(lǐng)域中，牛頓運(yùn)動(dòng)定律卻是不適用的。因此，動(dòng)量守恒定律比牛頓運(yùn)動(dòng)定律更加基本，它與能量守恒定律一樣，是自然界中最普遍、最基本的定律之一。

(５)動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律只在慣性系中才成立。因此運(yùn)用它們來求解問題時(shí)，要選

定一慣性系作為參考系。

例

設(shè)有一靜止的原子核，衰變輻射出一個(gè)電子和一個(gè)中微子后成為一個(gè)新的原子核。已知電子和中微子的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直，且電子的動(dòng)量的值為，中微子的動(dòng)量的值為。問新的原子核的動(dòng)量的值和方向如何？圖4-3解：

0

以、和分別代表電子、中微子和新原子核的動(dòng)量，且與相互垂直（上圖所示）。在原子核衰變的短暫時(shí)間內(nèi)，粒子間的內(nèi)力大于外界作用于該粒子系統(tǒng)上的外力。故粒子系統(tǒng)在衰變前后的動(dòng)量是守恒的?？紤]到原子核在衰變前是靜止的，所以衰變后電子、中微子和新原子核的動(dòng)量之和亦應(yīng)為零，即由于與垂直，有代入已知數(shù)據(jù)，得圖中的角為或者新原子核的動(dòng)量與中微子動(dòng)量之間的夾角為

或者新原子核的動(dòng)量與中微子動(dòng)量之間的夾角為例質(zhì)量為的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為的物體，此人用與水平面成角的速率向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）

圖4-4

解：取如圖所示坐標(biāo)。把人與物體視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物過程中，滿足動(dòng)量守恒，故有式中v為人拋物后相對(duì)地面的水平速度，v－u為拋出物對(duì)地面的水平速度。得人的水平速度的增量為而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為所以，人跳躍后增加的距離4.1.3火箭飛行原理

theprincipleofrocketfly在火箭(rocket)發(fā)射過程中，燃料不斷燃燒變成熱氣體，并以高速?gòu)幕鸺膊肯蚝髧姵?，因而推?dòng)火箭向前作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)火箭在外層空間飛行，火箭在t0

時(shí)刻的速度為v0，火箭(包括燃料)的總質(zhì)量為M0，熱氣體相對(duì)火箭的噴射速度為u

。隨著燃料消耗，火箭質(zhì)量不斷減少，火箭速度不斷加快，當(dāng)燃料用盡后的火箭質(zhì)量為M，此時(shí)火箭所獲得的速度v是多少呢？下面具體計(jì)算。

第一步：討論在任意時(shí)刻火箭飛行情況，選取某一時(shí)刻t和t＋△t時(shí)刻的火箭原質(zhì)量m，噴出的質(zhì)量dm和噴出氣體后火箭質(zhì)量(m－dm)為研究對(duì)象，分析此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。

設(shè)某一時(shí)刻t，火箭質(zhì)量為m，相對(duì)地面速度為v；在t+△t時(shí)間，火箭噴出的質(zhì)量為dm(dm是質(zhì)量m在dt時(shí)間內(nèi)所噴出的質(zhì)量)的氣體。噴出的氣體相對(duì)火箭的速度為u，方向與v相反；選擇火箭和噴氣所組成的部分為系統(tǒng)：噴氣前：總動(dòng)量為mv；噴氣后：火箭動(dòng)量(m－dm)(v＋dv)噴出的氣的動(dòng)量dm(v＋dv－u)；忽略空氣阻力和重力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。第二步：應(yīng)用動(dòng)量守恒列式：mv＝(m－dm)(v＋dv)＋dm(v＋dv－u)忽略高階無窮小，并整理后得mdv＋udm＝0，即：

對(duì)上式兩邊積分，t0→t時(shí)間，其速度變化為v0→v，其質(zhì)量由M0變化為M，于是有：所以：即：這就是當(dāng)t0→t時(shí)刻，火箭的質(zhì)量從M0→M時(shí)火箭的速度公式。

第三步：要求火箭在全部燃料用完時(shí)的速度。如果設(shè)火箭開始飛行時(shí)速度為零(v0＝0)，燃料用盡時(shí)質(zhì)量為M，那么根據(jù)上式解得火箭能夠達(dá)到的速度為：

(4-16)

式中稱為火箭的質(zhì)量比。要把航天器發(fā)射上天，則火箭獲得的速度至少要大于第一宇宙速度。若要使航天器離開地球到達(dá)其他行星或脫離太陽系到其他星系，則火箭獲得的速度應(yīng)分別大于第二宇宙速度和第三宇宙速度。但是按計(jì)算可得一級(jí)火箭的速度是Vf≈10.8（千米/秒），由于此式導(dǎo)出時(shí)未計(jì)入地球引力和空氣摩擦力產(chǎn)生的影響，加上各種技術(shù)的原因，單級(jí)火箭的末速度Vf將小于第一宇宙速度V1=7.9千米/秒；這就是說，單級(jí)火箭并不能把航天器送上天。運(yùn)載火箭通常為多級(jí)火箭，多級(jí)火箭是用多個(gè)單級(jí)火箭經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)或串并聯(lián)組合而成的一個(gè)飛行整體。圖4-５是串聯(lián)式三級(jí)火箭的示意圖。圖4-６是中國(guó)“長(zhǎng)征”號(hào)運(yùn)載火箭的部位安排。

圖4-5多級(jí)火箭

圖4-64.2能量守恒

energyconservation4.2.1功、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理Meritorious、particlekineticenergytheorem1．功在歷史上，功的概念是在使用簡(jiǎn)單機(jī)械的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上逐步發(fā)展為科學(xué)概念的。人們?cè)趶氖峦栖?、提水等勞?dòng)時(shí)，都用力操作，并完成一定的工作量。那時(shí)把“工作”認(rèn)為“作功”，凡用力的操作都稱為作功。爾后，又逐步認(rèn)識(shí)到，在工作過程中，總在力在作用，而且物體總要發(fā)生一定的位移。作用力和位移越大，完成的工作量就越多。這些感性知識(shí)，通過總結(jié)反映到物理學(xué)中，從而形成了功的科學(xué)概念。如有一質(zhì)點(diǎn)在力的作用下，沿圖４-７所示的路徑運(yùn)動(dòng)。設(shè)在時(shí)刻、質(zhì)點(diǎn)位于，經(jīng)過時(shí)間間隔，質(zhì)點(diǎn)的位移為。力與質(zhì)點(diǎn)位移之間的夾角為。在物理學(xué)中，功的定義是：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分矢量與位移大小的乘積。按此定義，該力所作的元功為（４-７a）從上式可以看出，當(dāng)90o＞θ＞0o時(shí)，功為正值，即力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作正功；當(dāng)90o＜θ≤180o時(shí)，功為負(fù)值，即力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作了負(fù)功。由于力與位移均為矢量，從矢量的標(biāo)積定義知，上式等號(hào)右邊為與標(biāo)積，即

(4-17)

圖（4-17）質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在這過程中作用質(zhì)點(diǎn)上的力的大小和方向都可能在改變。為求得在這過程中變力所作的功。我們把路徑分成很多段的多個(gè)位移元，使得在這些位移元內(nèi)，力可近似地看成是不變的。于是，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移到點(diǎn)時(shí)，變力所作的功應(yīng)等于力在每段位移元上所作元功的代數(shù)和，即

（４-８）

上式是變力作功的表達(dá)式。圖4-8功常用圖示法來計(jì)算。如圖４-８所示，圖中的曲線表示隨路徑變化的函數(shù)關(guān)系。曲線下面的面積等于變力作功的代數(shù)值。在直角坐標(biāo)系中，和都是坐標(biāo)X、Y、Z的函數(shù)，即和

因此式（４-８）亦可寫成2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理（1）．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理力對(duì)物體作功，則要使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。它們之間的關(guān)系如何呢？

如圖４-９所示，一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下，自點(diǎn)沿曲線移動(dòng)到點(diǎn)。它在點(diǎn)和點(diǎn)的速率分別為。設(shè)作用在位移元上的合外力與之間的夾角為

由式（４-７）可得，合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的元功為

（４-9）由牛頓第二定律及切向加速度的定義,有

故可得于是，質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)這一過程中，合外力所作的總功為

（４-9a）我們把叫做質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，用表示，即

這樣，和分別表示質(zhì)點(diǎn)在起始和終了位置時(shí)的動(dòng)能。式（４-9a）可寫成（４-9b）上式表明，合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。這個(gè)結(jié)論就叫做質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。稱為初動(dòng)能，而稱為末動(dòng)能。

（2）．關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理幾點(diǎn)說明

a.功與動(dòng)能之間的聯(lián)系和區(qū)別。只有合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功，才能使質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能發(fā)生變化。功是能量變化的量度，功是與在外力作用下質(zhì)點(diǎn)的位置移動(dòng)過程相聯(lián)系的，故功是一個(gè)過程量。而質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一旦確定，即m、v確定，則動(dòng)能就唯一地確定。故動(dòng)能是決定于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的，它是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)。b.功和動(dòng)能與參考系有關(guān)。與牛頓第二定律一樣，動(dòng)能定理也適用于慣性系。此外，在不同的慣性系中，質(zhì)點(diǎn)的位移和速度是不同的，因此，功和動(dòng)能依賴于慣性系的選擇。c.功和動(dòng)能是標(biāo)量。

例一物體在介質(zhì)中按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，為一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由運(yùn)動(dòng)到時(shí)，阻力所作的功。（已知阻力系數(shù)為）解：由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可得物體的速度按題意及上述關(guān)系，物體所受阻力的大小為則阻力的功為例一質(zhì)量為的球，系在長(zhǎng)為的細(xì)繩上，細(xì)繩的另一端系在天花板上。

把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成角的位置，然后由靜止放開。求：（1）在繩索從角到角的過程中，重力和張力所作的功；（2）物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率；（3）在最低位置時(shí)的張力。解：（1）如圖４-１０所示，重力對(duì)小球所作的功只與始末位置有關(guān)，即在小球擺動(dòng)過程中，張力FT的方向總是與運(yùn)方向垂直，所以張力的功

（2）根據(jù)動(dòng)能定理，小球擺動(dòng)過程中，其動(dòng)能的增量是由于重力對(duì)它作功的結(jié)果。初始時(shí)動(dòng)能為零，因而，在最低位置時(shí)的動(dòng)能為小球在最低位置時(shí)的速率為

圖4-10（３）當(dāng)小球在最低位置時(shí)，由牛頓定律可得

4.2.2保守力與非保守力勢(shì)能

Conservativestrengthandnon-conservativestrengthpotentialenergy

1.

萬有引力、重力、彈性力作功的特點(diǎn)（1）.萬有引力作功

圖４-１1如圖４-１１所示，有兩個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，其中質(zhì)點(diǎn)固定不動(dòng)。取的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)對(duì)的距離分別為經(jīng)任一路徑由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，萬有引力作的功為

：設(shè)在某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)距質(zhì)點(diǎn)的距離為，其位矢為，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)受到質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為為沿位矢的單位矢量，當(dāng)沿路徑移動(dòng)位移元時(shí)，萬有引力作的功為從圖可以看出于是，上式為所以，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿任一路徑到達(dá)點(diǎn)的過程中，萬有引力作的功為（４-１０）

上式表明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量均給定時(shí)，萬有引力作的功只取決于質(zhì)點(diǎn)的起始和終了的位置，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。這是萬有引力作功的一個(gè)重要特點(diǎn)。

上式表明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量均給定時(shí)，萬有引力作的功只取決于質(zhì)點(diǎn)的起始和終了的位置，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。這是萬有引力作功的一個(gè)重要特點(diǎn)。

（2）

.重力作功如圖４-１２所示，一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下從A點(diǎn)沿路徑至點(diǎn)B，點(diǎn)A和點(diǎn)B距地面的高度分別為，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一曲線，所以重力和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角是不斷變化的。我們把路徑分成許多位移元，在位移元中，重力所作的功

圖4-12

若質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，按圖所選坐標(biāo)，并取地面上某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，有

且。于是，前式為質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)移至B點(diǎn)的過程中，重力作的總功為即

（４-１１）

上式表明，重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，這是重力作功的一個(gè)重要特點(diǎn)。（3）．彈性力作功圖４-１３所示是一放置在光滑平面上的彈簧，彈簧的一端固定，另一端與一質(zhì)量為m的物體相連接。當(dāng)彈簧在水平方向不受外力作用時(shí)，它將不發(fā)生形變，此時(shí)物體位于點(diǎn)（即位于處x=0），這個(gè)位置叫做平衡位置?，F(xiàn)以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為軸正向。彈簧伸長(zhǎng)量由變到時(shí)，彈性力對(duì)物體的作的功為：

若物體受到沿軸正向的外力作用，彈簧將沿軸正向被拉長(zhǎng)，彈簧的伸長(zhǎng)量即其位移為。根據(jù)胡克定律，在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈性力與彈簧的伸長(zhǎng)量X之間的關(guān)系為式中稱為彈簧的勁度系數(shù)K。在彈簧被拉長(zhǎng)的過程中，彈性力F是變力。但彈簧位移為時(shí)的彈性力可近似看成是不變的。于是，彈簧位移為時(shí)，彈性力作的元功為

有

這樣，彈簧的伸長(zhǎng)量由時(shí)，彈性力所作的功就等于各個(gè)元功之和。由積分計(jì)算可得

計(jì)算彈性力對(duì)物體的作的功為

（４-12）式中為彈簧的勁度系數(shù)。圖4-13從式（４-12）可以看出，對(duì)在彈性限度內(nèi)具有給定勁度系數(shù)的彈簧來說，彈性力作的功只由彈簧起始和終了的位置（X1和X2）決定，而與彈性形變的過程無關(guān)。

2．

保守力與非保守力

從上述對(duì)重力、萬有引力和彈性力作功的討論中可以看出，它們所作的功只與物體（或彈簧）的始、末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。這是它們作功的一個(gè)共同特點(diǎn)。我們把具有這種特點(diǎn)的力叫做保守力。除了上面所講的重力、萬有引力和彈性力是保守力外，電荷間相互作用的庫侖力和原子間相互作用的分子力也是保守力。

保守力作功與路徑無關(guān)的特性還可以用另一種方式來表示：物體沿任意閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，保守力對(duì)它作功為零，即

（４-13）

式（４-13）是反映保守力作功特點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

然而，在物理學(xué)中并非所有的力都具有作功與路徑無關(guān)這一特點(diǎn)，例如常見的摩擦力，它所作的功就與路徑有關(guān)，路徑越長(zhǎng)，摩擦力作的功也越大。顯然，摩擦力就不具有保守力作功的特點(diǎn)。3、勢(shì)能（1）．勢(shì)能的定義從上面關(guān)于萬有引力、重力和彈性力作功的討論中，我們知道這些保守力作功均只與物體的始末位置有關(guān)，為此，可以引入一物理量，它是位置的函數(shù)，并使這個(gè)函數(shù)在始末位置的增量恰好決定于保守力的功，這個(gè)位置函數(shù)就是我們要引人的勢(shì)能。把與物體位置有關(guān)的能量稱作物體的勢(shì)能，用符號(hào)表示。

(4-14)

即保守力對(duì)物體作的功等于物體勢(shì)能增量的負(fù)值。于是，三種勢(shì)能分別為重力勢(shì)能

引力勢(shì)能

（４-15）彈性勢(shì)能

(2).對(duì)勢(shì)能概念的進(jìn)一步討論（a)勢(shì)能是狀態(tài)的函數(shù)。在保守力作用下，只要物體的起始和終了位置確定了，保守力所作的功也就確定了，而與所經(jīng)過的路徑是無關(guān)的。所以說，勢(shì)能是坐標(biāo)函數(shù)，亦即是狀態(tài)的函數(shù)，即。前面還說過，動(dòng)能亦是狀態(tài)的函數(shù)，。(b)勢(shì)能的相對(duì)性。勢(shì)能的值與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)。一般選地面的重力勢(shì)能為零，引力勢(shì)能的零點(diǎn)取在無限遠(yuǎn)處，而水平放置的彈簧處于平衡位置時(shí)，

其彈性勢(shì)能為零。當(dāng)然，勢(shì)能零點(diǎn)也可以任意選取，選取不同的勢(shì)能零點(diǎn)，物體的勢(shì)能就將具有不同的值。勢(shì)能可正可負(fù)，勢(shì)能為負(fù)只不過表明其勢(shì)能大小比選作零點(diǎn)的勢(shì)能小。所以，通常說勢(shì)能具有相對(duì)意義。但也應(yīng)當(dāng)注意，任意兩點(diǎn)間的勢(shì)能之差卻是具有絕對(duì)性的。(c)勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的。勢(shì)能是由于系統(tǒng)內(nèi)各物體間具有保守力作用而產(chǎn)生的。因而它是屬于系統(tǒng)的。單獨(dú)談單個(gè)物體的勢(shì)能是沒有意義的。例如重力勢(shì)能就是屬于地球和物體所組成的系統(tǒng)的。如果沒有地球?qū)ξ矬w的作用，也就談不上重力作功和重力勢(shì)能問題，離開了地球作用范圍的宇宙飛船，也就無所謂重力勢(shì)能。同樣，彈性勢(shì)能和引力勢(shì)能也是屬于有彈性力和引力作用的系統(tǒng)的。應(yīng)當(dāng)注意，在平常敘述時(shí)，常將地球與物體系統(tǒng)的重力勢(shì)能說成是物體的，這只是為了敘述上的簡(jiǎn)便，其實(shí)它是屬于地球和物體系統(tǒng)的。至于物體的引力勢(shì)能和彈性勢(shì)能，也都是這樣。4.2.3功能原理

Functionprinciple

1．

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理（1）．

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)一系統(tǒng)內(nèi)有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力所作的功分別為：、、、…，使各質(zhì)點(diǎn)由初動(dòng)能、、…改變?yōu)槟﹦?dòng)能、、…，由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理式（４-9），可得

以上各式相加，有

（４-16）式中是系統(tǒng)內(nèi)個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)能之和，是這些質(zhì)點(diǎn)的末動(dòng)能之和，則是作用在n個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力所作的功之和。因此，上式的物理意義是:作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作之功，等于該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量。這也叫做質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理。（2）．外力作的功與內(nèi)力作的功正如前面所說，系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)所受的力，既有來自系統(tǒng)外的力，也有來自系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力，因此，作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功，應(yīng)是一切外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所作的功與質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一切內(nèi)力所作的功之和，即

這樣式(４-16)亦可寫成這是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的另一數(shù)學(xué)表達(dá)式，它表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的一切外力作的功與一切內(nèi)力作的功之和。（3）．質(zhì)點(diǎn)系的功能原理a.質(zhì)點(diǎn)系的功能原理前面已經(jīng)指出，如果按力的特點(diǎn)來區(qū)分，作用于質(zhì)點(diǎn)系的力，有保守力與非保守力之分。無論是外力或者是內(nèi)力都可以是保守力或非保守力。因此，如以表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各保守內(nèi)力作功之和，表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各非保守內(nèi)力作功之和，那么，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一切內(nèi)力所作的功則應(yīng)為此外，從式(4-14)已知，系統(tǒng)內(nèi)保守力作的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，因此，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各內(nèi)力的保守力所作的功應(yīng)為考慮了以上兩點(diǎn)，式(４-17)可寫為

（4-18）在力學(xué)中，動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能。若以和分別代表質(zhì)點(diǎn)系的初機(jī)械能和末機(jī)械能，即那么，式(4-18)可寫成

（4-19）

上式表明，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能的增量等于外力與非保守內(nèi)力作功之和。這就是質(zhì)點(diǎn)系的功能原理。例如圖４-１4所示，有一自動(dòng)卸貨礦車，滿載時(shí)的質(zhì)量為，從與水平成傾角斜面上的A點(diǎn)由靜止下滑。設(shè)斜面對(duì)車的阻力為車重的0.25倍，礦車下滑距離時(shí)，礦車與緩沖彈簧一道沿斜面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時(shí)，礦車自動(dòng)卸貨，然后礦車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置再裝貨。試問要完成這一過程，空載時(shí)與滿載時(shí)車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？當(dāng)?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時(shí)，礦車自動(dòng)卸貨，然后礦車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置再裝貨。試問要完成這一過程，空載時(shí)與滿載時(shí)車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？

圖4-14解：取沿斜面向上為x軸正方向。彈簧被壓縮到最大形變時(shí)彈簧上端為坐標(biāo)原點(diǎn)O。礦車在下滑和上行的全過程中，按題意，摩擦力所作的功為

（1）式中m￠和m分別為礦車滿載和空載時(shí)的質(zhì)量，x為彈簧最大被壓縮量。

根據(jù)功能原理，在礦車運(yùn)動(dòng)的全過程中，摩擦力所作的功應(yīng)等于系統(tǒng)機(jī)械能增量的負(fù)值，故有由于礦車返回原位時(shí)速度為零，故；而，故有

（2）由式（1）、（2）可解得b.質(zhì)點(diǎn)系的功能原理的討論i.功能原理與動(dòng)能定理無本質(zhì)區(qū)別功能原理是從動(dòng)能定理中推得的，無非是用勢(shì)能代替內(nèi)保守力的功，兩者無本質(zhì)區(qū)別。但這在對(duì)能量的認(rèn)識(shí)上進(jìn)了一步，我們又引入了機(jī)械能——?jiǎng)幽芎蛣?shì)能之和，這是力學(xué)中所涉及的能量的一種形式，引入機(jī)械能更能從“能”的角度來討論問題。另外，用功能原理在計(jì)算上更為簡(jiǎn)單，因?yàn)閯?shì)能比內(nèi)保守力的功易于計(jì)算。但這需注意，應(yīng)用功能原理，右邊為

機(jī)械能的增量，左邊是外力和非保守內(nèi)力的功。而用動(dòng)能定理，右邊是動(dòng)能的增量，左邊則是外力、內(nèi)保守力、非保守內(nèi)力的功。不要在應(yīng)用功能原理時(shí)，把勢(shì)能增量和內(nèi)保守力的功重復(fù)計(jì)算進(jìn)去。ii.功是能量變化的量度功能原理指出，機(jī)械能的增量用外力和非保守內(nèi)力的功來量度；動(dòng)能定理指出動(dòng)能的增量用外力和一切內(nèi)力的功來量度；而勢(shì)能的增量用內(nèi)保守力的功來量度。其實(shí)質(zhì)均是用功來量度能量的變化，這使我們更理解了“功”這個(gè)概念——功是能量變化的量度。

4.2.4機(jī)械能守恒定律

ConservationlawofMechanicalenergy1．

機(jī)械能守恒定律從質(zhì)點(diǎn)系的功能原理式(４-19)可以看出，當(dāng)時(shí)，有

（４-20a）即

（４-20b）

它的物理意義是：當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力不作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能是守恒的。這就是機(jī)械能守恒定律。

機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式(４-20)還可以寫成即

（４-21）上式指出，在滿足機(jī)械能守恒的條件()下，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能都不是不變的，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)換，但動(dòng)能和勢(shì)能之和卻是不變的，所以說，在機(jī)械能守恒定律中，機(jī)械能是不變量或守恒量。而質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)換則是通過質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的保守力作功()來實(shí)現(xiàn)的。例如圖4-15所示，和兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為M1和M2。問在板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來時(shí)稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k）分析：選取兩塊板、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后（取作狀態(tài)1），直到B板剛被提起（取作狀態(tài)2），在這一過程中，系統(tǒng)不受外力作用，而內(nèi)力中又只有保守力（重力和彈力）作功，支持力不作功，因此，滿足機(jī)械能守恒的條件。只需取狀態(tài)1和狀態(tài)2，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程，并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡，便可將所需壓力求出。解：選取如圖所示坐標(biāo)，取原點(diǎn)O處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)。作各狀態(tài)下物體的受力圖。對(duì)A板而言，當(dāng)施以外力F時(shí)，根據(jù)受力平衡有

（1）當(dāng)外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得

式中y1、y2為M、N兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的位移。因?yàn)榧?，上式可寫為由式?）、（2）可得

（3）當(dāng)A板跳到N點(diǎn)時(shí)，B板剛被提起，此時(shí)彈性力，且。由式（3）可得

應(yīng)注意勢(shì)能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的。為計(jì)算方便起見，通常取彈簧原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零點(diǎn)，也同時(shí)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)。

2．能量守恒定律

在長(zhǎng)期的生產(chǎn)斗爭(zhēng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，人們總結(jié)出一條重要的結(jié)論:對(duì)于一個(gè)與自然界無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅。這一結(jié)論叫做能量守恒定律，它是自然界的基本定律之一。能量是這一守恒定律的不變量或守恒量，在能量守恒定律中，系統(tǒng)的能量是不變的，但能量的各種形式之間卻可以相互轉(zhuǎn)化。例如機(jī)械能、電能、熱能、光能以及分子、原子、原子核能等等能量之間都可以相互轉(zhuǎn)換。應(yīng)當(dāng)指出，在能量轉(zhuǎn)換的過程中

，能量的變化常用功來量度。在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，功是機(jī)械能變化的唯一量度。但是，不能把功與能量等同起來，功是和能量變換過程聯(lián)系在一起的，而能量則只和系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。

4.3碰撞問題Collisionquestion

4.3.1碰撞分類Thecollisionclassifies所謂碰撞是指兩個(gè)或者兩個(gè)以上的物體，在相遇過程中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個(gè)極為短暫的時(shí)間。例如，兩個(gè)鋼球的碰撞，持續(xù)時(shí)間僅10-4S。

一般地，碰撞所指的現(xiàn)象比較廣泛，除了球的撞擊、打擊、鍛壓，以及分子、原子或原于核等微觀粒子之間的相互作用過程外，像人從車上跳下、子彈打人墻壁等現(xiàn)象，也可以作為碰撞處理。兩個(gè)球形物體的碰撞是一個(gè)典型示例。通常，我們將兩個(gè)球體碰撞前后的速度均在球心連線上的一類碰撞，稱為對(duì)心碰撞(或正碰撞)。下面我們分析兩個(gè)球體的對(duì)心碰撞過程。設(shè)兩個(gè)質(zhì)量是m1和m2的球體，碰撞前的速度分別為v10和V20，且v10＞V20。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)球追上第二個(gè)球后，二者相互擠壓，后球推動(dòng)前球使其加速，前球阻擋后球使其減速，直到兩球速度相等，形變達(dá)到最大，這是碰撞過程的壓縮階段；此后開始恢復(fù)階段，后球以彈性力作用于前球使其進(jìn)一步加速，前球以彈性力作用于后球使其進(jìn)一步減速，直到分開，如圖4-16所示。圖4-16

1．完全彈性碰撞如果碰撞后兩個(gè)球體能夠完全恢復(fù)原來狀態(tài)，即在恢復(fù)階段，系統(tǒng)按相反的次序經(jīng)歷了壓縮階段的所有狀態(tài)，這一類碰撞稱為完全彈性碰撞。

２．非彈性碰撞

如果碰撞后兩個(gè)球體并不能完全恢復(fù)原來狀態(tài)，即在恢復(fù)階段，系統(tǒng)不能按照相反次序經(jīng)歷壓縮階段的所有狀態(tài)，這一類碰撞稱為非彈性碰撞。一般的碰撞均屬于這一類。

２．完全非彈性碰撞

在碰撞過程中，如果只有壓縮階段而不存在恢復(fù)階段，即碰撞后兩球連為一體，這一類碰撞稱為完全非彈性碰撞。4.3.2恢復(fù)系數(shù)Restoresthecoefficient

關(guān)于對(duì)心碰撞，碰撞后兩球的分離速度(V2-V1)與碰撞前兩球的接近速度（V10-V20）的比值由兩球的材質(zhì)決定。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(４-２２）式中，e稱為恢復(fù)系數(shù)，它滿足o≤e≤1。顯然，當(dāng)e＝1時(shí)，碰撞后兩球的分離速度等于碰撞前兩球的接近速度，兩球作完全彈性碰撞；當(dāng)e＝0時(shí)，碰撞后兩球以相同速度運(yùn)動(dòng)，并不分開，兩球作完全非彈性碰撞。一般情況下，o≤e≤1，兩球作非彈性碰撞。

如在完全彈性碰撞過程中可得碰撞后兩球的速度為在碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能的增量為此式說明，在完全彈性碰撞前后，系統(tǒng)的動(dòng)能守恒。事實(shí)上，完全彈性碰撞過程符合機(jī)械能守恒定律：在壓縮階段，物體相互作功，使其動(dòng)能的一部分轉(zhuǎn)換為勢(shì)能；在恢復(fù)階段，勢(shì)能再轉(zhuǎn)換成動(dòng)能。例如圖４-１７所示，質(zhì)量為、速度為的鋼球，射向質(zhì)量為的靶，靶中心有一小

孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動(dòng)，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：以小球與靶組成系統(tǒng)，設(shè)彈簧的最大壓縮量為x0，小球與靶共同運(yùn)動(dòng)的速率為v1。由動(dòng)量守恒定律，有

圖4-17

（1）又由機(jī)械能守恒定律，有

（2）由式（1）、（2）可得例以質(zhì)量為的彈丸，穿過如圖４-１８所示的擺錘后，速率由減少到。已知擺錘的質(zhì)量為，擺線長(zhǎng)度為，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？解：取彈丸與擺錘所成系統(tǒng)。由水平方向的動(dòng)量守恒定律，有

（1）為使擺錘恰好能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高時(shí)，擺線中的張力，則

（2）式中為擺錘在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率。又?jǐn)[錘在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，滿足機(jī)械能守恒定律，故有

（3）解上述三個(gè)方程，可得彈丸所需速率的最小值為

圖4-18例一個(gè)電子和一個(gè)原來靜止的氫原子發(fā)生對(duì)心彈性碰撞。試問電子的動(dòng)能中傳遞給氫原子的能量的百分?jǐn)?shù)。（已知?dú)湓淤|(zhì)量約為電子質(zhì)量的1840倍）解：以EH-表示氫原子被碰撞后的動(dòng)能，Ee表示電子的初動(dòng)能，則

（1）由于粒子作對(duì)心彈性碰撞，在碰撞過程中系統(tǒng)同時(shí)滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律，故有

（2）

(3)由題意知，解上述三式可得

4.4角動(dòng)量守恒conservation4.4.1力矩質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量及角動(dòng)量守恒定律Momentofforceparticleandanglelawofconservationofmomentum1．力矩圖4-19

力矩又稱為轉(zhuǎn)矩，是描述作用力對(duì)物體所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)效果的物理量，其定義式為

M=r×F

（４-２３）

這里，r是由轉(zhuǎn)軸指向力作用點(diǎn)的位矢。圖4-20

力矩是一個(gè)矢量，的方向垂直于與所構(gòu)成的平面，也可由上圖所示的右手法則確定：把右手拇指伸直，其余四指彎曲，彎曲的方向是由徑矢通過小于180o的角

轉(zhuǎn)向力的方向，這時(shí)拇指所指的方向就是力矩的方向。力矩矢量的方向垂直于和矢量所組成的平面。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，由于平行于轉(zhuǎn)軸方向的外力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，因此必須將作用在剛體上的外力分解：平行于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的力Fl和垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的力F2。設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作用力的分力與位矢的夾角為θ，則該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的大小為

M＝F1rsinθ；

式中d=rsinθ是力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，稱為力臂。由圖4-20可知，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體所受力矩的方向總是與轉(zhuǎn)軸平行，因此有關(guān)力矩的計(jì)算可以按標(biāo)量處理。在國(guó)際單位制中，力矩的單位是N.m。

2．質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

（1）.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量圖4-21如圖４-２１所示，設(shè)有一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A，該點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的位矢為，并具有速度（即動(dòng)量為）。我們定義，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為

（4-２４）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是一個(gè)矢量，它的方向垂直于和的平面，并遵守右手法則：右手拇指伸直，當(dāng)四指由經(jīng)小于180o的角轉(zhuǎn)向（或）時(shí)，拇指的指向就是的方向。至于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的值，由矢量的矢積法則知

式中為與（或）之間的夾角。

應(yīng)當(dāng)指出，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與位矢和動(dòng)量有關(guān)的，也就是與參考點(diǎn)的選擇在關(guān)。因此在講述質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪一點(diǎn)的角動(dòng)量。若質(zhì)點(diǎn)在半徑為的圓周上運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)A，速度為。如以圓心為參考點(diǎn)（圖４-２２），那么與（或）總是相互垂直的。于是質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量的大小為

（4-２5a）因?yàn)?，上式亦可寫?/p>

（4-２5b）

至于的方向應(yīng)平行于過圓心且垂直于運(yùn)動(dòng)平面Z軸，與的方向相同。

圖4-22（2）．質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理設(shè)質(zhì)量為的M質(zhì)點(diǎn)，在合力F作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為由于質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的位矢為，故以叉乘上式兩邊，有

（4-２6）考慮到而且故式（4-26）可寫成式中稱為合力F對(duì)參考點(diǎn)的合力矩。于是上式為

（4-２7）

上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。這與牛頓第二定律形式上是相似的，只是用M代替F了，用L代替P了。上式還可寫成為力矩與作用時(shí)間的乘積，叫做沖量矩。上式取積分有

（4-28）式中和分別為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻和對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量，為質(zhì)點(diǎn)在-時(shí)間間隔-內(nèi)對(duì)參考點(diǎn)所受的沖量矩。因此，上式的物理意義是：對(duì)同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理。

（3）．質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律由式（4-２７）可以看出，若質(zhì)點(diǎn)所受合力矩為零，即，則有恒矢量

（4-２９）上式表明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量為一恒矢量。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。

應(yīng)當(dāng)注意，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的條件是合力矩。這可能有兩種情況：一種是合力；另一種是合力雖不為零，但合力通過參考點(diǎn)，致使合力矩為零。質(zhì)點(diǎn)作勻速有心力，故其力矩為零，所以質(zhì)點(diǎn)作勻速率

圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它對(duì)圓心的角動(dòng)量是守恒的。不僅如此，只要作用于質(zhì)點(diǎn)的力是有心力，有心力對(duì)力心的力矩總是零，所以，在有心力作用下質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量都是守恒的。太陽系中行星的軌道為橢圓，太陽位于兩焦點(diǎn)之一，太陽作用于行星的引力是指向太陽的有心力，因此如以太陽為參考點(diǎn)O，則行星的角動(dòng)量是守恒的。在國(guó)際單位制中，角動(dòng)量的單位為。

*4.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

1．剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體的運(yùn)動(dòng)可分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種，而轉(zhuǎn)動(dòng)又可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線，則剛體的這種運(yùn)動(dòng)叫做平動(dòng)。因此，對(duì)剛體平動(dòng)的研究，可歸結(jié)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)的研究，通常都是用剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來代表平動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，這種運(yùn)動(dòng)叫轉(zhuǎn)動(dòng)，(圖4-23所示)這條直線叫轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸的位置或方向是隨時(shí)間改變的，這個(gè)轉(zhuǎn)軸為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸的位置或方向是固定不動(dòng)，這種轉(zhuǎn)軸為固定轉(zhuǎn)軸，此時(shí)剛體的運(yùn)動(dòng)叫做剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一般剛體的運(yùn)動(dòng)可看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。

圖4-23

2.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度

如圖４-２４所示，有一剛體繞固定軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體上各點(diǎn)都繞固定軸軸作圓周運(yùn)動(dòng)。為描述剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，我們?cè)趧傮w內(nèi)選取一個(gè)垂直于軸的平面作為參考平面，并在此平面上取一參考線，且把這參考線作為坐標(biāo)軸，把轉(zhuǎn)軸與平面的交點(diǎn)作為原點(diǎn)，如圖所示，這樣，剛體的方位可由原點(diǎn)到參考平面上的任一點(diǎn)的徑矢與軸的夾角確定，角也叫角坐標(biāo)。當(dāng)剛體繞固定軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角坐標(biāo)要隨時(shí)間t改變。也就是說，角坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù)，即。圖4-24剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有兩種情形，從上向下看，不是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)就是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，為區(qū)別這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)，我們規(guī)定：當(dāng)徑矢從軸開始沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角坐標(biāo)為正；當(dāng)徑矢從軸開始沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角坐標(biāo)為負(fù)。按照這個(gè)規(guī)定，轉(zhuǎn)動(dòng)正方向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向。于是對(duì)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，可由角坐標(biāo)的正負(fù)來表示其方位。假設(shè)經(jīng)過時(shí)間間隔，剛體上點(diǎn)的角坐標(biāo)為。為剛體在時(shí)間內(nèi)的角位移。于是，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角速度為

(4-３０)

按照上面關(guān)于角坐標(biāo)正、負(fù)的規(guī)定，如，，這時(shí)剛體繞定軸作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如這時(shí)剛體繞定軸作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。下面圖4-25是兩個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的相同的圓盤，它們的角速度大小相等，但轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，輪A逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，輪B順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

這表明，角速度是一個(gè)有方向的量，應(yīng)當(dāng)指出，只有剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，其轉(zhuǎn)動(dòng)方向才可用角速度的正負(fù)來表示，在一般情況下，需用角速度矢量來表示。圖4-25

關(guān)于角速度的方向可由右手法則確定；如上面右圖所示，把右手的拇指伸直，其余四指彎曲，使彎曲的方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致，這時(shí)拇指所指的方向就是角速度的方向。角速度的單位為。

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果其角速度發(fā)生了變化，剛體就具有了角加速度，設(shè)在時(shí)刻，角速度為，在時(shí)刻，角速度為，則在時(shí)間間隔內(nèi)，此剛體角速度的增量為。當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于某一極限值，它叫做瞬時(shí)角加速度，簡(jiǎn)稱角加速度，即

（4-３１）

對(duì)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，角加速度的方向也可由其正負(fù)來表示。在如圖４-２６所示的情況下，角速度的方向與的方向相同，且，那么，為正值，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；在右面下兩圖所示的情況下，的方向雖與的方向相同，但，那么，為負(fù)值，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。角加速度單位為。圖4-26）

３．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量如４-２７圖所示，有一剛體以角速度繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都以相同的角速度繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)。其中質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量為，于是剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，即剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量為

圖4-27式中，為剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于是剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量為

（4-３２）

．

4.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理從式（4-２７）可以知道，作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力矩應(yīng)等于質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率，即

而合力矩中含有外力作用在質(zhì)點(diǎn)的力矩，即外力矩，以及剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間作用力的力矩，即內(nèi)力矩。對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體來說，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力矩之和應(yīng)為零，即。故由上式，可得作用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的合外力矩為亦可寫成

（4-３３）

上式表明，剛體繞某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體的合外力矩等于繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。當(dāng)J等于常數(shù)時(shí)，M=Jdω/dt=Jα；

對(duì)照此式可見，式（4-３３）是轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一表達(dá)方式，但其意義更加普遍。即使在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因內(nèi)力作用而發(fā)生變化時(shí)，式（4-３３）仍然成立。這與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，牛頓第二定律的表達(dá)式較之更普遍是一樣的。設(shè)有一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在合外力矩M的作用下，在時(shí)間內(nèi)，其角速度由變?yōu)?，由式?-３３）積分得

（4-３４a）式中是外力矩與作用時(shí)間的乘積，叫做力矩對(duì)給定軸的沖量矩，又叫角沖量。如果物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置發(fā)生了變化，那么物體的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量J也必然隨時(shí)間變化，若在時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由變?yōu)?，則式（4-３４a）中的應(yīng)改為應(yīng)改為。于是下面的關(guān)系式是成立的，即

（4-３４b）式（4-３４）表明，當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時(shí)，作用在物體上的沖量矩等于角動(dòng)量的增量，這一結(jié)論叫做角動(dòng)量定理。它與質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理在形式上很相似。

５．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)作用在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的合外力矩等于零時(shí)，由角動(dòng)量定理也可導(dǎo)出角動(dòng)量守恒定律。由式（4-３４）可以看出，當(dāng)合外力矩為零時(shí)，可得

（4-３５）這就是說，如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物體的角動(dòng)量保持不變。這個(gè)結(jié)論叫做角動(dòng)量守恒定律。必須指出，上面在得出角動(dòng)量守恒定律的過程中受到剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范圍卻遠(yuǎn)超出這些限制。

有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明。

有一人坐在能繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的凳子上（摩擦忽略不計(jì)）。開始時(shí)人平舉兩臂，兩手各握一啞鈴，并使人與凳一道以一定的角速度旋轉(zhuǎn)。由于在水平面內(nèi)沒有外力矩作用，人與凳的角動(dòng)量之和應(yīng)當(dāng)保持不變，因此，當(dāng)人放下兩臂，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小時(shí)，人與凳的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度就要加快。又如冰上芭蕾演員表演時(shí)，先把兩臂張開，并繞通過足尖的垂直轉(zhuǎn)軸以角速度旋轉(zhuǎn)，然后迅速把兩臂和腿朝身邊靠攏，這時(shí)由于轉(zhuǎn)動(dòng)量慣變小，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，角速度必增大，因而旋轉(zhuǎn)更快。跳水運(yùn)動(dòng)員常在空中先把手臂和腿蜷縮起來，以減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而增大轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，在快到水面時(shí)，則又把手、腿伸直、以增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而減小轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，并以一定的方向落入水中。

最后還應(yīng)再次指出，前面關(guān)于角動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，都是在不同的理想化條件（如質(zhì)點(diǎn)、剛體……）下，用經(jīng)典的牛頓力學(xué)原理“推證”出來的。但它們的使用范圍，卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出原有條件的限制。它們不僅適用于牛頓力學(xué)所研究的宏觀、低速（遠(yuǎn)小于光速）領(lǐng)域，而且通過相應(yīng)的擴(kuò)展和修正后也適用于牛頓力學(xué)失效的微觀、高速（接近光速）的領(lǐng)域，即量子力學(xué)和相對(duì)論之中。這就充分說明,上述三條守恒定律不但比牛頓力學(xué)理論更基本、更普遍，而且也是近代物理理論的基礎(chǔ)，是更為普適的物理定律。例為使運(yùn)行中的飛船停止繞其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，可在飛船的側(cè)面對(duì)稱地安裝兩個(gè)切向控

制噴管，利用噴管高速噴射氣體來制止旋轉(zhuǎn)。若飛船繞其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，旋轉(zhuǎn)的角速度，噴口與軸線之間的距離；噴氣以恒定的流量和速率從噴口噴出，問為使該飛船停止旋轉(zhuǎn)，噴氣應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間？

圖4-28分析：將飛船與噴出的氣體作為研究系統(tǒng)，在噴氣過程中，系統(tǒng)不受外力矩作用，其角動(dòng)量守恒。在列出方程時(shí)應(yīng)注意：（1）由于噴氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，噴氣前、后系統(tǒng)的角動(dòng)量近似為飛船的角動(dòng)量Jw；（2）噴氣過程中氣流速率u遠(yuǎn)大于飛船側(cè)面的線速度wr，因此，整個(gè)噴氣過程中，氣流相對(duì)于空間的速率仍可近似看作是u，這樣，排出氣體的總角動(dòng)量。經(jīng)上述處理后，可使問題大大簡(jiǎn)化。解：取飛船和噴出的氣體為系統(tǒng)，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有（１）因噴氣的流量恒定，故有（２）由式（1）、（2）可得噴氣的噴射時(shí)間為例一質(zhì)量為的小孩，站在一半徑為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的靜止水平轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣上，此轉(zhuǎn)臺(tái)可繞通過轉(zhuǎn)臺(tái)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與軸間的摩擦不計(jì)。如果此小孩相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以的速率沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺(tái)的角速率有多大？解：設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地的角速度為，人相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為。由相對(duì)角速度的關(guān)系，人相對(duì)地面的角速度為（1）由于系統(tǒng)初始是靜止的，根據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律，有（2）式中J0、J1=mR2分別為轉(zhuǎn)臺(tái)、人對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由式（1）、（2）可得轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為

式中負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)地方向與人對(duì)地面的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。

*4.5對(duì)稱性與守恒定律

Symmetryandconservation

law

對(duì)稱性普遍存在于自然界中，對(duì)稱現(xiàn)象是物質(zhì)世界某種本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律的體現(xiàn)。諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者斯蒂芬．溫伯格在他的“終極理論之夢(mèng)”一文中寫到：“物理學(xué)在20世紀(jì)取得了令人驚訝的成功，它改變了我們對(duì)空間和時(shí)間、存在和認(rèn)識(shí)的看法，也改變了我們描述自然界的基本語言。在新世紀(jì)到來之際，我們已擁有一個(gè)對(duì)宇宙的嶄新看法，在這個(gè)新的宇宙觀中，物質(zhì)已失去它原來的中心地位，取而代之的是自然界的對(duì)稱性。引起這場(chǎng)思想革命的原動(dòng)力，是探索自然界的終極規(guī)律，即對(duì)我們的問題——為什么世界是這個(gè)樣子——的最終回答”。在現(xiàn)代物理學(xué)中，對(duì)稱性是一個(gè)很深刻的問題。物理學(xué)以研究物質(zhì)世界規(guī)律為對(duì)象，研究物理學(xué)中的對(duì)稱性對(duì)于探索物質(zhì)世界有著十分重要的意義。*4.5.1宏觀物理世界中的對(duì)稱性

Inmacroscopicphysicalworldsymmetry

1．空間對(duì)稱性

空間對(duì)稱操作包括空間反射操作，空間轉(zhuǎn)動(dòng)操作和空間平移操作,它們都是通過使事物的空間位置（坐標(biāo)）發(fā)生數(shù)量上或符號(hào)上的變化而完成對(duì)稱操作的。下面分別給予介紹：

a：左右對(duì)稱

首先我們給出左右對(duì)稱操作的定義：“設(shè)x軸垂直于鏡面，原點(diǎn)就在鏡面上，將一半圖形的坐標(biāo)值x變成-x，就得到了另一半圖形。這x坐標(biāo)的變號(hào)就叫做左右對(duì)稱操作?！庇捎谒c人們照鏡子這一反射后成虛像的現(xiàn)象相同，所以又叫鏡像對(duì)稱操作，或空間反射操作。最直觀的例子就是人體對(duì)稱結(jié)構(gòu)中的所有左右部分，都可以經(jīng)過平面鏡成像左右對(duì)稱操作而互換。再如物理中的一個(gè)無阻尼的單擺的擺動(dòng)過程也是左右對(duì)稱的。不必求解就可以知道，向右擺動(dòng)的高度與向左擺動(dòng)的高度一定相等，等等?？梢宰C明，對(duì)應(yīng)于左右對(duì)稱性的是量子力學(xué)中的宇稱守恒定律。

b:轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱

轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作的定義為：“如果使一個(gè)物體繞某個(gè)固定軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度后，它又和原來完全一樣，我們就稱這個(gè)為轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作，這種對(duì)稱叫轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱?！庇捎谶@種對(duì)稱常與固定軸的空間位置有關(guān)，故又稱為軸對(duì)稱。例如，對(duì)一個(gè)球體而言，它對(duì)通過其球心的任意方向的固定軸都具有對(duì)稱性，這是一種最高級(jí)別和程度的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱，即球?qū)ΨQ，也叫做各向同性。可以證明，對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性的是角動(dòng)量守恒定律。

c:空間平移對(duì)稱

空間平移對(duì)稱操作的定義為“如果使一個(gè)形體發(fā)生平移后它仍保持原形狀，我們就說該形體具有空間平移對(duì)稱性?！蔽锢韺W(xué)中的空間平移對(duì)稱性是指：“一個(gè)物理事件，如果該物理事件所涉及到的全部?jī)x器、設(shè)備、操作方式及與該事件有關(guān)的一切內(nèi)外部因素都不予改變，僅僅將其平移到另一空間位置處，那么這個(gè)事件可以以完全相同的方式再現(xiàn)。”如任意物理實(shí)驗(yàn)，我們可以在不同的地點(diǎn)以完全相同的方式進(jìn)行（內(nèi)外部因素全不改變），而得到完全相同的結(jié)果，可以證明平移對(duì)稱性對(duì)應(yīng)于動(dòng)量守恒定律。

2．時(shí)間對(duì)稱性時(shí)間對(duì)稱性操作包括時(shí)間反演操作和時(shí)間平移對(duì)稱操作。它們是通過使與事件相關(guān)聯(lián)的時(shí)間量值和符號(hào)的改變而完成對(duì)稱操作的。

a:

時(shí)間平移對(duì)稱性

至今為止，人們所做過的物理實(shí)驗(yàn)的結(jié)果均未發(fā)現(xiàn)與物理實(shí)驗(yàn)的開始時(shí)刻有任何關(guān)系。同一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，在其他因素都不變的情況下，今天做或明天做并不會(huì)引起實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不同。這一客觀事實(shí)充分證明時(shí)間對(duì)稱性的存在?？梢宰C明，對(duì)應(yīng)于時(shí)間對(duì)稱性的是能量守恒定律。

b:

時(shí)間反演對(duì)稱性

時(shí)間反演操作就是把物理過程中的時(shí)間參數(shù)變號(hào)，即把t換為-t，變號(hào)后對(duì)物理規(guī)律的結(jié)果有不同的影響。

如以上談的是屬于空間，時(shí)間坐標(biāo)變換下的時(shí)空對(duì)稱性，時(shí)空坐標(biāo)變換之外的另一類重要的對(duì)稱性是所謂的內(nèi)部對(duì)稱性，如電磁學(xué)中的規(guī)范對(duì)稱性就屬這一類，內(nèi)部對(duì)稱性在研究微觀物理世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中起特別重要的作用。

*4.5.2微觀物理世界中的對(duì)稱性

Inmicroscopicphysicalworldsymmetry

微觀物理世界中也存在著各種各樣的對(duì)稱性，它們不象宏觀世界中的一些對(duì)稱性那么直觀。微觀世界中的對(duì)稱性內(nèi)容更豐富，在微觀世界中關(guān)于對(duì)稱性的研究也更為重要。對(duì)于量子力學(xué)描述的微觀系統(tǒng)所具有的對(duì)稱性的分析，也可以從系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出若干推論。

在微觀粒子物理學(xué)中也有空間平移不變性，時(shí)間平移不變性等。除了這些對(duì)稱性外，還有其它對(duì)稱性。

*4.5.3對(duì)稱性與守恒律

SymmetryandConservation對(duì)稱性與守恒律密切相關(guān)，1916年諾特提出一個(gè)著名定理，作用量的每一種對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒定律,即有一個(gè)守恒量，也就是說一個(gè)對(duì)稱原理必產(chǎn)生一個(gè)守恒定律，它將對(duì)稱和守恒這兩個(gè)重要概念是緊密地聯(lián)系在一起的。諾特定理引導(dǎo)物理學(xué)家去尋找研究新領(lǐng)域中的守恒定律和守恒量，由此確定其中的對(duì)稱性，從而獲得作用量的形式和基本定律；反過來，如果知道了使一個(gè)給定的作用量保持的對(duì)稱變換，從而也就可以知道相應(yīng)的守恒定律和守恒量，這樣使得物理學(xué)的基礎(chǔ)研究有法可循而變得富有成效。

*4.6綜合訓(xùn)練

test例一質(zhì)量為1.12kg，長(zhǎng)為1.0m的均勻細(xì)棒，支點(diǎn)在棒的上端點(diǎn)，開始時(shí)棒自由懸掛。以100N的力打擊它的下端點(diǎn)，打擊時(shí)間為0.02S。（1）若打擊前棒是靜止的，求打擊時(shí)其角動(dòng)量的變化；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。

解：（1）在瞬間打擊過程中，由剛體的角動(dòng)量定理得（1）（2）在棒的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，取棒和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，并選O處為重力勢(shì)能零點(diǎn)。在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即（2）

圖2-29由式（1）、（2）可得棒的偏轉(zhuǎn)角度為例我國(guó)1970年4月24日發(fā)射的第一顆人造衛(wèi)星，其近地點(diǎn)為、遠(yuǎn)地點(diǎn)為。試計(jì)算衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率。（設(shè)地球半徑為）解：由于衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速度方向與橢圓徑矢垂直，因此，由角動(dòng)量守恒定律有

（1）又因衛(wèi)星與地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故有

（2）

式中G為引力常量，mE和m分別為地球和衛(wèi)星質(zhì)量，r1和r2是衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)離地球中心的距離。由式（1）、（2）可解得衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率分別為例

圖示一質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒，可以在水平面內(nèi)繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒靜止，今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與棒的一端垂直相碰，設(shè)碰撞是完全彈性碰撞。求碰撞后小球彈回的速率和棒的角速度。解：對(duì)由球和棒所組成的系統(tǒng)，在小球與棒碰撞的過程中，對(duì)軸的角動(dòng)量守恒。設(shè)碰撞后小球以速率彈回，棒以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，由系統(tǒng)碰撞前后的角動(dòng)量守恒。又因?yàn)橄到y(tǒng)作完全彈性碰撞，機(jī)械能守恒，則

圖4-30

因?yàn)?/p>

解得

例

勁度系數(shù)為的輕彈簧豎直固定在地面上，在彈簧上放一質(zhì)量為的平板，處于靜平衡狀態(tài)。如圖所示，有一質(zhì)量也為的油泥從平板上高處自由下落，與平板作完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧又被壓縮的最大距離為多少？解

現(xiàn)將這整個(gè)過程分為：油泥自由下落、油泥與平板碰撞和油泥平板壓縮彈簧三個(gè)過程進(jìn)行討論，并且對(duì)每一過程劃分合適的系統(tǒng)，審定有關(guān)條件，運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律逐一求解。油泥自由下落過程：油泥和地球組成的系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則下落到平板時(shí)油泥速率為，有

(1)

圖4-31油泥與平板相碰撞過程：油泥和平板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則有所以，油泥和平板相碰后共同具有速率

(2)油泥和平板壓縮彈簧過程：在這個(gè)過程中，油泥、平板、彈簧和地球組成的系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即若以彈簧自然長(zhǎng)度處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，以平板與彈簧處于靜平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有（如圖所示）所以

(3)式中為彈簧再次壓縮的最大距離，式中，將值，式（2）代入式（3）得小結(jié)：

我們將上述的解題過程可歸納為：“明過程，選系統(tǒng)，審條件，用規(guī)律”。

本章小結(jié)：

本章重點(diǎn)是掌握動(dòng)量、功和能、角動(dòng)量等概念及其物理規(guī)律，并掌握這些規(guī)律的應(yīng)用條件和方法。本章難點(diǎn)是所研究的系統(tǒng)的劃分和選取、守恒定律條件和審核、綜合性力學(xué)問題的分析求解。1

動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)系

或

2

動(dòng)量守恒定律

當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，即時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，即

恒矢量3

動(dòng)能定理

功

直角坐標(biāo)系中

動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)系

4

保守力、勢(shì)能保守力：作功只與始末位置有關(guān)，與經(jīng)歷的路徑無關(guān)的力

勢(shì)能

重力勢(shì)能

地面為勢(shì)能零點(diǎn)

彈簧的彈性勢(shì)能

彈簧原長(zhǎng)處為勢(shì)能零點(diǎn)萬有引力勢(shì)能

與相距無限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)5

質(zhì)點(diǎn)系功能原理，機(jī)械能守恒定律

機(jī)械能守恒定律

當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力不作功時(shí)，即時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能是守恒的?；?．力矩、

角動(dòng)量

，

力對(duì)軸的力矩大小

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量

角動(dòng)量定理

角動(dòng)量守恒

M=0

7．對(duì)稱性與守恒定律對(duì)稱性與守恒定律密切相關(guān)，平移對(duì)稱性對(duì)應(yīng)于