東北師范大學(xué)奧鵬《高觀點(diǎn)下中學(xué)數(shù)學(xué)-幾何學(xué)》離線作業(yè)線下作業(yè)答案

離線考核《高觀點(diǎn)下中學(xué)數(shù)學(xué)－幾何學(xué)》滿分100分一、簡答題（每小題5分，共10分。）1．試敘述歐幾里得的第五公設(shè)。公理是作為幾何基礎(chǔ)而本身不加證明的命題，是建立一種理論體系的少數(shù)思想規(guī)定。在幾何演繹體系里，每條定理都要根據(jù)已知定理加以證明，而這些作為依據(jù)的定理又要根據(jù)另外的已知定理加以證明，如此步步追尋起來，過程是無止境的，必須適時(shí)而止。因此，需要選取一些不加證明的原始命題作為證明一切定理的基礎(chǔ)，這就是公理。2．簡述公理系統(tǒng)的完備性。如果公理系統(tǒng)的所有模型都是同構(gòu)的，則稱這個(gè)公理系統(tǒng)是完備的，或稱其具有完備性。二、計(jì)算與證明（每小題15分，共90分。）1．求出將點(diǎn)(3,1)變成點(diǎn)(1,3)的繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，再將所得的變換用于拋物線28180yxy上。解：設(shè)所求的旋轉(zhuǎn)變換為'cossin'sincosxxyyxy則2于是所求的旋轉(zhuǎn)變換為''xyyx即''xyyx將此變換用于所給的拋物線得2'8''180xxy2．（1）求線坐標(biāo)為2,0,2直線方程。（2）若存在，求下列各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)(0,5,6)，(1,8,0)（1）解：2,0,2表示直線031xx或01x（2）解：).1(存在，設(shè)123(,,)(0,5,6)xxx，則這個(gè)點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為12335(,)(,)(0,)6xxxyxx。(2).不存在，因?yàn)闊o窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有非齊次坐標(biāo)。3.將二次曲線224642310xxyyxy化簡成標(biāo)準(zhǔn)型。解：34,3,C4,1,,12ABDEF1）計(jì)算不變量2120,25ABIACIACBBC34313341123112ABDIBCEDEF2）判別類型20I，30I，說明曲線為雙曲線3）化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程：特征方程為2250特征根為125,5又23/11/25II方程化為225511/25xy4．在四邊形中ABCD中，ABD，BCD與ABC的面積比3：4：1，點(diǎn),MN分別在,ACCD上，滿足::AMACCNCD，并且,,BMN三點(diǎn)共線，求證：,MN分別為,ACCD上的中點(diǎn)。因?yàn)锽,M,N三點(diǎn)共線應(yīng)用梅內(nèi)勞斯定理又因?yàn)锳BD，BCD與ABC的面積比3：4：1由共邊三角形的面積比定理證明可得AM:CM=CN:ND=1，所以M，N分別是AC，CD的中點(diǎn)5.已知向量1,2,3,3,4,0abrr，分別計(jì)算ar與br的模長與夾角。解：1,2,3ar故14auur3,4,0br故5buur5abrrg而cosababrrrrggg故1arccos146．求證：相交于影消線的二直線必射影成兩平行線。證明：設(shè)二直線1l和2l交于P點(diǎn)，P點(diǎn)在影消線上，1l和2l經(jīng)射影對應(yīng)，對應(yīng)直線為1l和2