第五版 數(shù)字電路 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/20231《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》概念：2.1概述1、邏輯：2、二值邏輯：3、邏輯代數(shù)：4、邏輯變量：5、邏輯運算：描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法工具，又稱為布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)。它是分析和設(shè)計邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量。邏輯變量只能有兩種可能的取值0或1。注意：這里的0、1不是表示數(shù)值大小，而是表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運算。不是數(shù)量之間的運算。事物間的因果關(guān)系.只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯。1/12/20232《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/20233《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

與（AND）或（OR）

非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

B=1表示開關(guān)B合上，B=0表示開關(guān)B斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1/12/20234《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》一、基本邏輯運算：2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算三種基本邏輯運算1、與(AND)“·”開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABY000010100111真值表

電路功能表(一)基本邏輯關(guān)系舉例Y＝Ａ·Ｂ與運算的運算法則：1/12/20235《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》3、非(NOT)變量右上角的“’”或變量上面加“－”2、或(OR)“＋”ABY000011101111AY0110真值表

真值表

Y＝Ａ＋Ｂ或運算的運算法則：或運算的運算法則：1/12/20236《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》1、“與邏輯”符號：（三）基本邏輯運算（二）基本邏輯關(guān)系Ｙ＝Ａ?Ｂ

1、與邏輯關(guān)系當(dāng)決定事物的全部條件都具備，結(jié)果才發(fā)生，這種因果關(guān)系就叫做邏輯與，也叫邏輯相乘。

1/12/20237《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（三）基本邏輯運算（二）基本邏輯關(guān)系2、“或邏輯”符號：

Y=A+B

1、與邏輯關(guān)系當(dāng)決定事物的全部條件都具備，結(jié)果才發(fā)生，這種因果關(guān)系就叫做邏輯與，也叫邏輯相乘。

2、或邏輯關(guān)系

在決定事物結(jié)果的諸條件中只要任何一個滿足，結(jié)果就會發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯或，也叫邏輯相加。1/12/20238《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（三）基本邏輯運算（二）基本邏輯關(guān)系3、“非邏輯”符號：

1、與邏輯關(guān)系當(dāng)決定事物的全部條件都具備，結(jié)果才發(fā)生，這種因果關(guān)系就叫做邏輯與，也叫邏輯相乘。

2、或邏輯關(guān)系

在決定事物結(jié)果的諸條件中只要任何一個滿足，結(jié)果就會發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯或，也叫邏輯相加。

3、非邏輯關(guān)系只要條件具備了，結(jié)果就不會發(fā)生，而條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也叫做求反運算或邏輯否定。

1/12/20239《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》二、常用邏輯運算：1、與非運算：2、或非運算：3、與或非運算：4、異或運算：5、同或運算：Y＝Y(jié)＝Y(jié)＝Y(jié)＝＝Y(jié)＝A⊙B＝表達式：1/12/202310《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》異或運算定義：A⊙B＝

異或運算公式：②多變量異或關(guān)系：在多變量異或運算中，如果變量為1的個數(shù)為奇數(shù)，異或運算結(jié)果為1；如果變量為1的個數(shù)為偶數(shù)，異或運算結(jié)果為0。①常量與變量之間：

＝＝A＝0＝1異或運算：A、B取值相異時其值為1，相同時其值為0.同或運算：是異或運算的反，A⊙B=

1/12/202311《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》幾種常用的復(fù)合邏輯運算圖形符號與非 或非 與或非1/12/202312《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》幾種常用的復(fù)合邏輯運算圖形符號異或 同或1/12/202313《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/202314《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

一.基本公式序號公式序號公式變量與常量的運算規(guī)則0-1律

1A·1＝A2A+0＝A3A·0＝04A+1＝1交換律5A·B＝B·A6A+B＝B+A結(jié)合律7（A·B）·C＝A·（B·C）8（A+B）+C＝A+（B+C）分配律9A·（B+C）＝A·B+A·C10A+B·C＝（A+B）·（A+C）互補律1112重疊律13A·A＝A14A+A＝A德·摩根定理（反演律）1516還原律

17181/12/202315《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》二、常用公式1

A+A·B＝

公式的含義：在一個與或表達式中，如果一個與項是另一個與項的一個因子，則另一個與項是多余的（吸收律）。

含義：在一個與或表達式中，如果一個與項的非是另一個與項的一個因子，則這個因子是多余的。432AA·BA+BA

含義：在一個表達式中，如果一個或項的非是另一個或項的一個因子，則這個因子是多余的。

含義：在一個表達式中，如果一個變量和包含這個變量的和相乘，其結(jié)果等于這個變量。1/12/202316《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》二、常用公式

含義：在一個與或表達式中，一個與項包含了一個變量的原變量，而另一個與項包含了這個變量的反變量，則這兩項其余因子的乘積構(gòu)成的第三項是多余的（又稱為冗余定理）。756AA

含義：在或與表達式中，若兩個或項中分別包含了一個變量的原變量和反變量，而其余因子又相同，則可合并成一項，保留其相同的因子。8

含義：在一個或與表達式中，一個或項包含了一個變量的原變量，而另一個或項包含了這個變量的反變量，則這兩項其余因子的和構(gòu)成的第三項是多余的。

含義：在與或表達式中，若兩個與項中分別包含了一個變量的原變量和反變量，而其余因子又相同，則可合并成一項，保留其相同的因子。1/12/202317《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》如何驗證公式的正確性真值表化簡公式卡諾圖例：真值表驗證摩根定理100011101110100000011011AB1/12/202318《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/202319《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》2.4邏輯代數(shù)的基本定理一、代入定理：在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方，都代之以一個函數(shù)，則等式仍然成立。反演規(guī)則為求取已知的邏輯式的反邏輯式提供了方便，但需注意兩點：

1、仍需遵守“先括號，然后乘，最后加”的運算優(yōu)先次序;2、不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變。德·摩根定理是反演規(guī)則的一個特例，故又稱為反演律。二、反演定理：對于任意一個函數(shù)表達式Y(jié)，如果將Y中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”；“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量變反變量，反變量變原變量，那么所得表達式就是Y的反函數(shù)。1/12/202320《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》三、對偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這就是對偶定理。對偶式：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”；“1”換成“0”，“0”換成“1”；而變量保持不變，原表達式的運算優(yōu)先順序也不變，那么得到的這個新表達式稱為Y的對偶式Y(jié)D。例：Y(A、B、C)其反函數(shù)為或1/12/202321《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/202322《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)

------若以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。這種輸入/輸出之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。1/12/202323《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》一、邏輯函數(shù)的表示法：邏輯函數(shù)式、邏輯真值表、邏輯圖、波形圖、卡諾圖和硬件描述語言等。（一）邏輯函數(shù)式由邏輯變量、常量和運算符所構(gòu)成的式子。將輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運算的組合式。1/12/202324《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（二）邏輯真值表把變量的各種可能取值與相應(yīng)的函數(shù)值，以表格形式一一列舉出來，這種表格就叫真值表。輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值1/12/202325《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》1、列寫方法：每個變量均有0、1兩種取值。n個變量共有2n種不同取值組合，將它們按順序（一般按二進制遞增順序）排列起來，同時在相應(yīng)位置上寫上函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。2、特點：直觀明了；把實際邏輯問題抽象成數(shù)學(xué)表達形式時，使用真值表最方便。（當(dāng)變量比較多時，在真值表中可只列出使函數(shù)值為1的輸入變量取值）（二）邏輯真值表1/12/202326《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（三）邏輯圖用代表邏輯運算的邏輯門符號所構(gòu)成的邏輯關(guān)系圖形，叫邏輯圖。在工作中，用邏輯圖來了解某個數(shù)字系統(tǒng)或者數(shù)控裝置的邏輯功能；另外，在制作數(shù)字設(shè)備時，首先也要通過邏輯設(shè)計，畫出邏輯圖，然后再把邏輯圖變成實際電路。（五）波形圖反映輸入與輸出變量對應(yīng)取值，隨時間按照一定規(guī)律變化的圖形，就叫波形圖。也稱時間圖。（四）卡諾圖

將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量最小項的卡諾圖。卡諾圖變量取值必須按循環(huán)碼的順序排列。特點：用幾何相鄰性形象直觀地表示了函數(shù)各個最小項在邏輯上的相鄰性，便于用來求邏輯函數(shù)的最簡與或式。適用于表示和化簡變量個數(shù)比較少的邏輯函數(shù)。1/12/202327《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》舉例11111110110101000011001000010000YABC1/12/202328《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》二、各種表示方法的轉(zhuǎn)換（一）由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換：

1、一般步驟：(1)根據(jù)真值表寫出函數(shù)的與或表達式或者畫出函數(shù)的卡諾圖。A、找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的那些輸入變量取值的組合；B、每組輸入變量取值的組合對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；C、將這些乘積項相加，即得邏輯函數(shù)式。(2)用公式法或者圖形法進行化簡，求出函數(shù)的最簡與或表達式。(3)根據(jù)表達式畫邏輯圖，有時還要對與或表達式做適當(dāng)變換才能畫出所需要的邏輯圖。用邏輯圖形符號代替邏輯函數(shù)式中的邏輯符號并按運算優(yōu)先順序連接他們，輸出端得到所求邏輯函數(shù)式。1/12/202329《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》≥1A1&B1&C1&Y&解：根據(jù)題意列出真值表：

A

B

C

Y

000×001101010110100110101100111

1寫表達式：化簡得：畫邏輯圖：例：輸出變量Y是輸入變量A、B、C的函數(shù)，A、B、C取值中有奇數(shù)個1時，Y＝1，

否則Y＝0，而且輸入變量取值不會出現(xiàn)全為0的情況，畫出對應(yīng)的邏輯圖。2、例題：≥11111/12/202330《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（二）由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換:

一般步驟：(1)從輸入到輸出或從輸出到輸入，用逐級推導(dǎo)的方法，寫出輸出變量（函數(shù)）的邏輯表達式;(2)進行化簡，求出函數(shù)的最簡與或式；(3)將變量各種可能取值代入與或式中進行運算，列出函數(shù)的真值表1/12/202331《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》邏輯圖邏輯函數(shù)式真值表例：011110101000YAB1/12/202332《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》波形圖真值表邏輯函數(shù)式例：波形如圖所示

ABY111010001100YAB1/12/202333《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》三、邏輯函數(shù)的兩種標準形式：邏輯函數(shù)表達式兩種基本形式:“積之和”表達式“和之積”表達式所謂“積之和”，是指一個函數(shù)表達式中包含著若干個“積”項，每個“積”項中可有一個或多個以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，所有這些“積”項的“和”就表示一函數(shù)。（與或表達式）所謂“和之積”，是指一個函數(shù)表達式中包含著若干個“和”項，每個“和”項中有任意個以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，所有這些“和”項的“積”就表示一個函數(shù)。（或與表達式）1/12/202334《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

――邏輯函數(shù)的最大項之積的形式任何一個邏輯函數(shù)都可化為最大項之積的標準形式。（一）兩種標準形式

1、標準與或表達式

2、標準或與表達式

――邏輯函數(shù)的最小項之和的形式一個函數(shù)完全由最小項所組成的標準形式。1/12/202335《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》最小項的概念：

對應(yīng)取值在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱乘積項m為該組變量的最小項。把與最小項對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進制數(shù)，與之相應(yīng)的十進制數(shù)就是該最小項的編號。（原變量取值1，反變量取值0）最小項：（1）概念：（2）性質(zhì)：

（3）編號：

A、每一個最小項都有一組也只有一組使其值為1的對應(yīng)變量取值；B、全體最小項之和為1；C、任意兩個最小項的乘積為0；D、具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。(兩個最小項只有一個因子不同)析：011對應(yīng)十進制數(shù)m33編號

n個變量有2n個最小項例：用符號“∑”表示累計的邏輯“加”運算1/12/202336《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》三變量最小項的編號表

最小項最小項為1的變量取值A(chǔ)BC對應(yīng)的十進制數(shù)編號00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m71/12/202337《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（原變量取值0，反變量取值1）

如M0＝A＋B＋C最大項：（1）概念：

（2）性質(zhì)：

（3）編號：最大項的概念：

在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。A、在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且只有一個最大項的值為0；B、全體最大項之積為0；C、任意兩個最大項的之和為1；D、只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。用符號“∏”表示累計的邏輯“乘”運算1/12/202338《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》三變量最大項的編號表最大項最大項為0的變量取值A(chǔ)BC對應(yīng)的十進制數(shù)編號00000101001110010111011101234567M0M1M2M3M4M5M6M71/12/202339《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》任意邏輯函數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)換成標準形式，方法：邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成最小項之和形式：轉(zhuǎn)換成最大項之積形式：利用可以把任何一個邏輯函數(shù)化為最小項之和的標準形式――標準與或表達式（唯一）。如果已知邏輯函數(shù)為Y＝∑mi

時，則將Y化為最大項之積的形式為：1、代數(shù)轉(zhuǎn)換法利用化最大項之積的形式(標準或與表達式)。1/12/202340《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》解：

例

將下列邏輯函數(shù)表達式變換成“最小項之和”的形式：=m3+m5+m7+m6=∑m（3,5,6,7）第一步，將函數(shù)表達式變換成“與或”表達式第二步，利用將“與或”表達式中與項擴展成最小項1/12/202341《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

2、真值表轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換成最小項之和(標準與或表達式)：轉(zhuǎn)換成最大項之積(標準或與表達式)：只要在真值表中，挑出那些使函數(shù)值為1的變量取值，變量為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，這樣對應(yīng)于函數(shù)值為1的每一種取值，都可以寫出一個乘積項，只要把這些乘積項相加所得即為~。在函數(shù)F的真值表中有n組變量，其取值使函數(shù)F的值為0，那么函數(shù)F的“最大項之積”形式由這n組變量取值對應(yīng)的n個最大項組成。1/12/202342《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/202343《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

邏輯電路所用門的數(shù)量少

2.6邏輯函數(shù)的化簡方法函數(shù)的簡化依據(jù)每個門的輸入端個數(shù)少邏輯電路構(gòu)成級數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性邏輯函數(shù)的公式化簡法1/12/202344《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》最簡表達式1、最簡與或式：2、最簡與非――與非式：3、最簡或與式：4、最簡或非――或非式：5、最簡與或非式：乘積項的個數(shù)最少，每個乘積項中相乘的變量個數(shù)也最少的與或表達式。非號最少，每個非號下面相乘的變量個數(shù)也最少的與非—與非式。括號個數(shù)最少，每個括號中相加的變量個數(shù)也最少的或與式。非號最少，非號下相加的變量個數(shù)也最少或非—或非式。在非號下面相加的乘積項個數(shù)最少，每個乘積項中相乘變量個數(shù)也最少的與或非式。1/12/202345《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》求出函數(shù)的最簡與或式，用摩根定理進行適當(dāng)變換，可獲得其它幾種最簡式：兩次取反摩根定理去反

反函數(shù)最簡與或式取反摩根定理去反反函數(shù)最簡與或式取反

摩根定理兩次取反摩根定理去反最簡或非－或非式最簡或與式最簡與或非式最簡與非－與非式最簡與或式在各種邏輯函數(shù)表達式中，最常用的是與或表達式。判別與或表達式是否最簡條件是：(1)乘積項(與項)最少；

(2)每個乘積項中變量最少。1/12/202346《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》與或表達式的化簡

原理：反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，以求得函數(shù)式的最簡形式。最簡式的標準利用公式或1、并項法：2、吸收法：3、消因子法：4、消項法：5、配項法：利用公式利用公式A+AB＝A利用公式公式化簡法卡諾圖化簡法公式化簡法首先是式中乘積項最少乘積項中含的變量少與門的輸入端個數(shù)少實現(xiàn)電路的與門少下級或門輸入端個數(shù)少利用公式1/12/202347《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例、將函數(shù)化簡為最簡與或式:解:利用德·摩根定理利用吸收法利用消因子法利用吸收法利用消項法1/12/202348《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例、將函數(shù)化簡為最簡與或式:解:利用德·摩根定理利用德·摩根定理利用常用公式利用分配律利用分配律1/12/202349《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法：

1、卡諾圖概念：

將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰的排列起來，所得到的圖形叫做n變量最小項的卡諾圖。

(1)幾何相鄰：包括幾種情況：相接、相對

(2)邏輯相鄰：兩個最小項，除了一個變量形式不同外，其余都相同,這兩個最小項就叫邏輯相鄰.(在邏輯上相鄰的最小項是可以合并的)卡諾圖化簡法

2.6邏輯函數(shù)的化簡方法1/12/202350《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》2、變量卡諾圖的畫法：

(2)卡諾圖行列兩側(cè)標注的0和1表示使對應(yīng)方格內(nèi)最小項為1的變量值。同時這些0和1組成的二進制數(shù)大小就是對應(yīng)最小項的編號，且?guī)缀蜗噜彽淖钚№椌哂羞壿嬒噜徯?。因此，變量的取值按循環(huán)碼排列，而不是二進制數(shù)的順序排列。一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法：(1)變量卡諾圖一般都畫成正方形或矩形。n個變量，小方格數(shù)為2n個(最小項總數(shù))

如二變量卡諾圖，由4個方格組成，每個方格代表一個最小項。圖中每一列和每一行上的1和0分別代表變量A和B的值：寫著0的一行代表，而寫著1的一行表示A；同樣，0代表，而1表示B。1/12/202351《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》m3m2m1m0AB0101m6m7m5m2m3m1m0m4ABC0001111001二變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖五變量卡諾圖1/12/202352《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例：畫出函數(shù)Y＝的卡諾圖。解：Y的變量是A、B、C、D，先畫出四變量卡諾圖：按（2）法，“與項”對應(yīng)圖中所示卡諾圖中AB＝10這一行四個方格，“與項”ACD對應(yīng)CD＝11這一列與A＝1第三、四兩行交蓋的面積的兩個方格,類推其它兩個與項，在這些方格中分別填入1，便得到函數(shù)Y的卡諾圖。

(2)對于函數(shù)的一般的與或表達式，也可直接將其填在卡諾圖中。方法：找出表達式中“與項”同卡諾圖面積的對應(yīng)關(guān)系，在“與項”所覆蓋面積里的方格上填1，便得到函數(shù)的卡諾圖。

(3)已知邏輯函數(shù)的真值表，則只要將真值表中每組變量取值所對應(yīng)的函數(shù)值填入相應(yīng)的最小項方格中，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

(1)已知邏輯函數(shù)表達式，把函數(shù)化為最小項之和的形式，然后在卡諾圖中與這些最小項對應(yīng)的位置填1，在其余位置上填上0或不填。3、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示11110100100100100001111000011110CDAB1/12/202353《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、化簡步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；（2）合并邏輯函數(shù)的最小項(對卡諾圖中的1方格畫卡諾圈)；（3）選擇乘積項寫出最簡與或式：利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡法或圖形化簡法。1/12/202354《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

(1)合并最小項規(guī)則：在n變量卡諾圖中，若有2k個“1”格相鄰，它們可以圈在一起加以合并，合并時可消去k個不同的變量，合并后結(jié)果僅包含這些1項(最小項)的公共變量。若k=n則合并時可消去全部變量，結(jié)果為1。2、卡諾圖上最小項的合并卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理是根據(jù)邏輯代數(shù)定理：

(2)在用卡諾圖化簡過程中，最關(guān)健的是畫卡諾圈這一步，畫圈應(yīng)注意：

A、卡諾圈越大越好，但必為2k個方格；B、每個圈至少包含一個新的最小項(新的“1”格)，否則這個圈是多余的；C、卡諾圈的個數(shù)應(yīng)盡可能少；(一個圈與一個與項對應(yīng))D、必需把組成函數(shù)的全部最小項圈完。（“1”要圈完）

(3)選取的原則：A、每個乘積項所含的因子應(yīng)該最少；B、選用的乘積項的總數(shù)應(yīng)該最少；C、包含函數(shù)的全部最小項。1/12/202355《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》卡諾圖中相鄰小方格畫圈

2k個“1”格相鄰，它們可以圈在一起加以合并，合并時可消去k個不同的變量：①任何一個標“1”的小方格畫一個圈，不消除變量。②任何兩個標“1”的小方格畫一個圈，消除一個變量。③任何四個標“1”的小方格畫一個圈，消除兩個變量。④任何八個標“1”的小方格畫一個圈，消除三個變量。⑤任何十六個標“1”的小方格畫一個圈，消除四個變量。每一個圈寫一個最簡與項，規(guī)則是，取值為1的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與—或表達式。1/12/202356《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（1）任何兩個（21個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。1/12/202357《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（2）任何4個（22個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。1/12/202358《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》1/12/202359《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》（3）任何8個（23個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。Ｄ1/12/202360《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》注意：在畫卡諾圈時

A、

卡諾圈越大越好，但必為2k個方格；

B、

每個圈至少包含一個新的最小項(新的“1”格)，否則這個圈是多余的；

C、

必需把組成函數(shù)的全部最小項圈完；(“1”要圈完)D、卡諾圈的個數(shù)應(yīng)盡可能少。(一個圈與一個與項對應(yīng))說明：通過比較，檢查得出最簡與或表達式；在卡諾圖化簡得到的最簡與或式不一定是唯一的。1/12/202361《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例1：比較下列卡諾圖畫法，判斷正誤。111111110001111000011110CDAB111111110001111000011110CDAB11111111110001111000011110CDAB不正確(多畫一個圈)正確正確11111111110001111000011110CDAB不正確(圈面積不夠大)1/12/202362《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例2、利用圖形法化簡函數(shù)F＝

2)合并最小項

3)寫出最簡與或表達式解：1)畫Y的卡諾圖BADC00110110001101100

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

001

1

1/12/202363《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

1

1CDAB0001111000011110例3、利用圖形法化簡函數(shù)3)合并最小項4)寫出最簡與或表達式解：1)將Y轉(zhuǎn)換成與或表達式

000000

1111

11112)畫卡諾圖1/12/202364《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例4：求最簡與或函數(shù)式

0001111001ABC

000111100011111101ABC

000111100011111101ABC1/12/202365《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》例4：化簡結(jié)果不唯一1/12/202366《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

解：1）畫出F的卡諾圖

BCA000111100001010111

(1)在函數(shù)F的卡諾圖中，合并那些使函數(shù)值為0的最小項，則可得反函數(shù)的最簡與或式。

2）合并使函數(shù)值為0的最小項，寫出的最簡與或表達式:例：函數(shù)F＝AB＋BC＋CA，求最簡“或—與”表達式。3、用卡諾圖求最簡“或與”表達式(2)對反函數(shù)表達式兩邊取反，得最簡或與表達式。

3）對反函數(shù)運用摩根定理求反，可得到函數(shù)F的最簡或與表達式:1/12/202367《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1/12/202368《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計》

2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡