2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊 7.1.1　任意角 學(xué)案

7.1.1任意角學(xué)習(xí)目標1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負角與零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合．導(dǎo)語同學(xué)們，鐘表是幫助我們掌握時間的好幫手，生活中我們經(jīng)常聽到時鐘慢了5分鐘，或時鐘快了30分鐘，應(yīng)該如何校準？再比如，我們一節(jié)課45分鐘，時針、分針以及秒針分別旋轉(zhuǎn)了多少度？再比如在體操、花樣游泳、跳水等項目中，我們常常聽到“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”等這樣的解說，這些問題都和角度是分不開的，為了研究這些問題，我們開始今天的新課．一、任意角的概念問題1在初中是如何定義角的？角的范圍是多少？提示角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形，角的范圍是0°～360°.知識梳理任意角(1)角的概念：角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．(2)角的表示：如圖所示，角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：OA，終邊：OB，頂點：O.(3)角的分類：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角(4)角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個角，－α為角α的相反角．①α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.②α－β：α－β＝α＋(－β)．例1(1)(多選)下列說法，不正確的是()A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角答案ACD解析A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正確；B中始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C中鈍角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正確；D中零角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D不正確．(2)若手表時針走過4小時，則時針轉(zhuǎn)過的角度為()A．120°B．－120°C．－60°D．60°答案B解析由于時針是順時針旋轉(zhuǎn)，故時針轉(zhuǎn)過的角度為負數(shù)，即為－eq\f(4,12)×360°＝－120°.反思感悟理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可．跟蹤訓(xùn)練1經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是()A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°答案B解析鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負的，而eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.二、終邊相同的角問題2給定一個角，它的終邊是否唯一？若兩角的終邊相同，那么這兩個角相等嗎？提示給定一個角，它的終邊唯一；兩角終邊相同，這兩個角不一定相等，比如30°的終邊和390°的終邊相同，它們正好相差了360°.知識梳理終邊相同的角一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．例2已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負角；(3)－360°～720°之間的角．解因為－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角為315°.(2)最大的負角為－45°.(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.反思感悟終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．跟蹤訓(xùn)練2(1)若角2α與240°角的終邊相同，則α等于()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z答案B解析角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.(2)下列角的終邊與37°角的終邊在同一直線上的是()A．－37° B．143°C．379° D．－143°答案D解析與37°角的終邊在同一直線上的角可表示為k·180°＋37°，k∈Z，當k＝－1時，37°－180°＝－143°.三、象限角知識梳理象限角以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，這樣，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．注意點：(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標軸上，它不屬于任何一個象限；(2)每一個象限都有正角和負角；(3)無法比較象限角的大?。?(1)(多選)下列四個角為第二象限角的是()A．－200° B．100°C．220° D．420°答案AB解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范圍內(nèi)，與－200°終邊相同的角為160°，它是第二象限角，同理100°為第二象限角，220°為第三象限角，420°為第一象限角．(2)如圖所示．①寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．解①終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．②終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．反思感悟(1)象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定．利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．②將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標平面內(nèi)，在0°～360°之間沒有兩個角終邊是相同的．(2)表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的0°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．跟蹤訓(xùn)練3已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．解30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z},180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．1．知識清單：(1)任意角的概念．(2)終邊相同的角．(3)象限角、區(qū)域角的表示．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論．3．常見誤區(qū)：銳角與小于90°角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉k∈Z.1．2022°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案C解析2022°＝5×360°＋222°，所以2022°角的終邊與222°角的終邊相同，為第三象限角．2．與－460°角終邊相同的角可以表示成()A．k·360°＋460°，k∈ZB．k·360°＋100°，k∈ZC．k·360°＋260°，k∈ZD．k·360°－260°，k∈Z答案C解析因為－460°＝(－2)×360°＋260°，故與－460°角終邊相同的角可以表示成k·360°＋260°，k∈Z.3．(多選)下列命題中，為假命題的是()A．終邊在x軸的非正半軸上的角是零角B．第二象限角一定是鈍角C．第四象限角一定是負角D．若β＝k·360°＋α(k∈Ζ)，則α與β終邊相同答案ABC解析終邊在x軸負半軸上的角是α＝k·360°＋180°，k∈Z，零角是沒有旋轉(zhuǎn)的角，所以A為假命題；第二象限角應(yīng)表示為{β|k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，k∈Ζ}，是由無數(shù)多個區(qū)間的并集構(gòu)成，所以B為假命題；第四象限角表示為{β|k·360°＋270°<β<k·360°＋360°，k∈Ζ}，當k≥0時，就是正角，所以C為假命題；若β＝k·360°＋α(k∈Z)，則α與β終邊相同，所以D為真命題．4.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________________．答案{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．1．與－30°終邊相同的角是()A．－330°B．150°C．30°D．330°答案D解析因為所有與－30°終邊相同的角都可以表示為α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.2．如果角α的終邊上有一點P(0，－3)，那么α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．是第三或第四象限角D．不是象限角答案D解析點P(0，－3)在y軸負半軸上，故α的終邊為y軸的負半軸．3．(多選)下列四個角中，屬于第二象限角的是()A．160°B．480°C．－960°D．1530°答案ABC解析160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．4．“α是銳角”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案A解析因為α是銳角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”是“α是第一象限角”的充分不必要條件．5．(多選)下列命題，為真命題的是()A．－75°是第四象限角B．225°是第三象限角C．475°是第二象限角D．－225°是第一象限角答案ABC解析A，B顯然為真命題.475°＝360°＋115°為第二象限角，－225°＝－360°＋135°為第二象限角，故C為真命題，D為假命題．6.如圖，終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}答案C解析如題圖，終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．7．與－2022°角終邊相同的最小正角是________；最大負角是________．答案138°－222°解析因為－2022°＝－6×360°＋138°，138°－360°＝－222°，所以最小正角為138°，最大負角為－222°.8．在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為________．答案120°，300°解析與角－60°的終邊在同一條直線上的角可表示為β＝k·180°－60°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范圍內(nèi)，∴0°≤k·180°－60°<360°，解得eq\f(1,3)≤k<eq\f(7,3)，k∈Z，∴k＝1或2，當k＝1時，β＝120°，當k＝2時，β＝300°.9．已知α＝－1910°.(1)把α寫成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°.解(1)α＝－1910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．(2)令θ＝n·360°＋250°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.10．寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合．解先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，則得(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．11．(多選)角α＝k·180°＋45°(k∈Z)的終邊落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案AC解析當k＝2m＋1(m∈Z)時，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角；當k＝2m(m∈Z)時，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角．故α的終邊在第一或第三象限．12．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α答案C解析方法一特例法，取α＝30°，可知C正確．方法二因為α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以270°－k·360°<360°－α<360°－k·360°(k∈Z)，故360°－α是第四象限角．13．終邊與坐標軸重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}答案D解析終邊在坐標軸上的角大小為90°的整數(shù)倍，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}．14．如圖1是某小區(qū)的圓形公園，它外圍有一圓形跑道，并有4個出口A，B，C，D(視為點)，并四等分圓弧(如圖2)．小明從A點出發(fā)，在圓形跑道上按逆時針方向作勻速圓周運動，假設(shè)他每分鐘轉(zhuǎn)過的圓心角為θ(0°<θ<180°)，3分鐘第一次到達劣弧CD之間(不包括C，D點)，15分鐘時回到出發(fā)點A，則θ的值為________．答案72°解析依題意知，小明3分鐘轉(zhuǎn)過3θ的圓心角，且180°<3θ<270°，所以60°<θ<90°，又15分鐘時回到出發(fā)點A，所以15θ＝k·360°，k∈N，所以θ＝72°.15．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x