微積分第8章課件經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第八章多元函數(shù)本章主要研究以下幾個(gè)問題：1.空間解析幾何簡介；2.多元函數(shù)的微分學(xué)；3.多元函數(shù)積分學(xué).1/12/20233

§8.1空間解析幾何簡介主要內(nèi)容1.空間直角坐標(biāo)系；2.空間兩點(diǎn)之間的距離公式；3.曲面與方程；4.空間曲線與方程；5.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影.正方向符合右手系.空間的點(diǎn)有序數(shù)組相同的長度單位;相同的原點(diǎn);特殊點(diǎn)的坐標(biāo)表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩垂直;一、空間直角坐標(biāo)系Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地,若兩點(diǎn)分別為二、空間兩點(diǎn)間的距離解:故結(jié)論成立.解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為三、空間曲面與方程曲面方程的定義：兩個(gè)基本問題:(1)已知曲面求方程;(2)已知方程求曲面.步驟：立標(biāo),立式,代入,化簡,驗(yàn)證.根據(jù)題意有化簡得所求方程解：例3例4解：平面的一般方程幾種常見曲面1.平面

平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.例5解：平面重合于坐標(biāo)面；解：根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2.球面

例6

求球心為點(diǎn),半徑為R的球面方程.球面的標(biāo)準(zhǔn)方程球面的一般方程空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫球面.3.柱面

觀察柱面的形成過程:空間中，由平行于定直線且與一條定曲線相交的一族直線所生成的曲面稱為柱面.定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，一族直線中的每一條都叫柱面的母線.母線準(zhǔn)線母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程可以證明：在空間直角坐標(biāo)系下

橢圓柱面xyzO雙曲柱面拋物柱面４.旋轉(zhuǎn)曲面

空間中，一條曲線繞著一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面或稱回旋曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸．這條曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線．例如：yoz面上的一條曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面S（如圖）求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程Cy

zoxf(y1,z1)=0M(x,y,z)SNzP

SM(x,y,z)(在坐標(biāo)面內(nèi)的方程)對于其它坐標(biāo)面的曲線，繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可以類似的求出。于是有以下規(guī)律：

當(dāng)坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線繞此坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，為了求得這樣的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,只要將曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo),而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一個(gè)坐標(biāo).例7

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)拋物面xyzoxyzo旋轉(zhuǎn)橢球面xyzxyz雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面yzoxyzox

xyozxyoz單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面5.二次曲面

截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo（1）橢球面（2）橢圓拋物面xzy0.截痕法xzy0（３）雙曲拋物面（馬鞍面）截痕法.xzy0（３）雙曲拋物面（馬鞍面）截痕法.xzy0（３）雙曲拋物面（馬鞍面）截痕法xyzo（４）單葉雙曲面截痕法xyoz（５）雙葉雙曲面截痕法xyoz四、空間曲線與方程空間曲線的一般方程

曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：1.空間曲線的一般方程例８

方程組表示怎樣的曲線？解：表示圓柱面，表示平面，表示圓柱面和平面的交線--橢圓.解:上半球面,圓柱面,交線如圖.例9

方程組表示怎樣的曲線？2.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程

動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解：螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為消去變量z后得：曲線關(guān)于面的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：求其在xOy面上的投影曲線方程.五、空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影

類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線:面上