概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式集錦

公式名稱德摩根公式古典概型

概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式集錦一、隨機事件與概率公式表達式ABAB，ABAB幾何概型P(A)(A)，此中μ為幾何胸懷（長度、面積、體積）()求逆公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公式當P(AB)＝0時，P(A∪B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，BA時P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式與乘法公式全概率公式貝葉斯公式（逆概率公式）兩個事件P(B)；P(BA)P(BA)；P(AB)P(A)P(B)；P(BA)互相獨立二、隨機變量及其分布、分布函數(shù)、失散型隨機變量及其分布分布名稱分布律0–1分布二項分布泊松分布、續(xù)型隨機變量及其分布分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)平均分布分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布正態(tài)分布XN(,2)標準正態(tài)分布4、隨機變量函數(shù)Y=g(X)的分布失散型：P(Yyi)pj,i1,2,，g(xj)yi連續(xù)型：①分布函數(shù)法，②公式法fY(y)fX(h(y))h(y)(xh(y)單調(diào))三、多維隨機變量及其分布、失散型二維隨機變量及其分布分布律：P(Xxi,Yyj)pij,i,j1,2,分布函數(shù)F(X,Y)pijxixyiy邊沿分布律：piP(Xxi)pijpjP(Yyj)pijji條件分布律：P(XxiYyj)pij1,2,，P(Ypij1,2,,iyjXxi),jpjpi、連續(xù)型二維隨機變量及其分布①聯(lián)合分布函數(shù)及性質(zhì)xy分布函數(shù)：F(x,y)f(u,v)dudv=P（X<=x,Y<=y）2F(x,y)f(x,y)dxdy性質(zhì)：F(,)1,f(x,y),P((x,y)G)xyG②邊沿分布函數(shù)與邊沿密度函數(shù)x分布函數(shù)：FX(x)f(u,v)dvdu密度函數(shù)：fX(x)f(x,v)dv③條件概率密度fYX(yx)f(x,y),y，fXY(xy)f(x,y),xfX(x)fY(y)、隨機變量的獨立性隨機變量X、Y互相獨立F(x,y)FX(x)FY(y)，失散型：pijpi.p.j，連續(xù)型：f(x,y)fX(x)fY(y)、二維隨機變量和函數(shù)的分布失散型：P(Zzk)P(Xxi,Yyj)xiyjzk連續(xù)型：fZ(z)f(x,zx)dxf(zy,y)dy四、隨機變量的數(shù)字特色1、數(shù)學希望①定義：失散型E(X)xkpk，連續(xù)型E(X)xf(x)dxk1②性質(zhì)：E(C)C,E[E(X)]E(X)，E(CX)CE(X)，E(XY)E(X)E(Y)E(aXb)aE(X)b，當X、Y互相獨即刻：E(XY)E(X)E(Y)2、方差①定義：D(X)E[(XE(X))2]E(X2)E2(X)②性質(zhì)：D(C)0，D(aXb)a2D(X)，D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)當X、Y互相獨即刻：D(XY)D(X)D(Y)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)①協(xié)方差：Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)，當X、Y互相獨即刻：Cov(X,Y)0②相關(guān)系數(shù)：XY

Cov(X,Y)，當X、Y互相獨即刻：XY0(X,Y不相關(guān))D(X)D(Y)③協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：Cov(X,X)D(X)，Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)，Cov(aXc,bYd)abCov(X,Y)、常有隨機變量分布的數(shù)學希望和方差分布數(shù)學希望方差0-1分布b(1,p)pp(1-p)二項分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布P()平均分布U(a,b)正態(tài)分布N(,2)指數(shù)分布e()五、大數(shù)定律與中心極限制理、切比雪夫不等式若E(X),D(X)2,對于任意0有P{XE(X)}D(X)22、大數(shù)定律：①切比雪夫大數(shù)定律：若X1Xn互相獨立，E(Xi)i,D(Xi)22C，則：1nP1nE(Xi),(n)i且iXini1ni1②伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則0，有：limPnAp1nn③辛欽大數(shù)定律：若X1,,Xn獨立同分布，且E(Xi)，則1XiPni1n3、中心極限制理①列維—林德伯格中心極限制理：獨立同分布的隨機變量Xi(i1,2,)，均值為，方差為20，當n充分n~N(0,1)大時有：Yn(Xkn)nk1②棣莫弗—拉普拉斯中心極限制理：隨機變量X~B(n,p)，則對任意x有：n(bn)(an③近似計算：P(aXkb))k1nn概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理1、整體和樣本的分布函數(shù)設(shè)整體XF(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2xn)2、統(tǒng)計量1nn樣本均值：212XXi，樣本方差：S(XiX)ni1n1i11n樣本標準差：S(XiX)2，樣本k階原點距：n1i1樣本k階中心距：Bk1n(XiX)k,k1,2,3ni13、三大抽樣分布

nF(xk)k1n122(XinX)Ak1nXik,k1,2ni1(1)2分布：設(shè)隨機變量XiN(0,1)(i1,2,,n)且互相獨立，則稱統(tǒng)計量2X12X22Xn2遵從自由度為n的2分布，記為2~2(n)性質(zhì)：①E[2(n)]n,D[2(n)]2n②設(shè)X~2(m),Y~2(n)且互相獨立，則XY~2(mn)(2)t分布：設(shè)隨機變量X~N(0,1),Y~2(n)，且X與Y獨立，則稱統(tǒng)計量：TX遵從自由度為n的t分布，Yn記為T~t(n)性質(zhì)：①E(T)0(n1),D(T)n(nn2(3)F分布：設(shè)隨機變量X~2(m),Y~

1x22)②limfn(x)(x)e2n22(n)，且X與Y獨立，則稱統(tǒng)計量F(m,n)Xm遵從第一自由度為m，Yn第二自由度為n的F分布，記為F~F(m,n)，性質(zhì)：設(shè)F~F(m,n)，則1~F(n,m)F七、參數(shù)預(yù)計1.參數(shù)預(yù)計①定義：用(X1,X2,,Xn)預(yù)計整體參數(shù)，稱(X1,X2,,Xn)為的預(yù)計量，相應(yīng)的(x1,x2,,xn)為整體的預(yù)計值。②當整體是正態(tài)分布時，未知參數(shù)的矩預(yù)計值=未知參數(shù)的極大似然預(yù)計值2.點預(yù)計中的矩預(yù)計法：基本思想：用樣本矩來預(yù)計相應(yīng)的整體矩求法步驟：設(shè)整體X的分布中包括有未知參數(shù)1,2,,k，它的前k階原點矩iE(Xi)(i1,2,,k)中包括了未知參數(shù)1,2,,k，即igi(1,2,,k)(i1,2,,k)；又設(shè)x1,x2,,xn為整體X的n個樣本值，用樣本矩取代i，在所建立的方程組中解出的k個未知參數(shù)即為參數(shù)1,2,,k的矩預(yù)計量1,2,,k。注意：分布中有幾個未知參數(shù)，就求到幾階矩。3.點預(yù)計中的極大似然預(yù)計設(shè)X1,X2,Xn取自X的樣本，設(shè)X~f(x,)或X~P(x,)，求法步驟：nn①似然函數(shù)：L()f(xi,)(連續(xù)型)或L()Pi(xi,)(失散型)i1i1nn②取對數(shù)：③解方程：

lnL()lnf(xi,)或lnL()lnpi(xi,)i1i111(x1,x2,,xn)lnL0,,lnL0，解得：1kkk(x1,x2,,xn)4.預(yù)計量的議論標準估設(shè)(x1,x2,,xn)為未知參數(shù)的預(yù)計量。若E(）=，無偏性計則稱為的無偏預(yù)計量。量設(shè)11(x1,x2,,xn)和22(x1,x2,,xn)是未知參數(shù)有效性的的兩個無偏預(yù)計量。若D(1)D(2)，則稱1比2有效。評設(shè)n是的一串預(yù)計量，如，有P0lim(|n|)0n價則稱n為的一致預(yù)計量（或相合預(yù)計量）。一致性標準單正態(tài)整體參數(shù)的置信區(qū)間預(yù)計

樞軸量

八、假設(shè)檢驗條件

樞軸量

置信水平為

1

的置信區(qū)間參數(shù)

分布

1.假設(shè)檢驗的基本看法已知2未知2已知未知基本假設(shè)檢驗的統(tǒng)計思想是小概率原理。思想小概率事件的概率就是明顯性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。①提出原假設(shè)H0；②選擇檢驗統(tǒng)計量g(X1,,Xn)；③對于α查表找基安分位數(shù)λ，使P(g(X1,,Xn)W)，從而定出拒絕域W；步驟④由樣本觀察值計算統(tǒng)計量實測值g(x1,,xn)；并作出判斷：當實測值落入W時拒絕H0，不然以為接受H0。當H0為真時，而樣本值卻落入了拒絕域，應(yīng)該否定H0。這第一類時，我們把客觀上H0建立判為H0為不行立（即否定了真實錯誤的假設(shè)），稱這類錯誤為“棄真錯誤”或第一類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即：P{拒絕H0|H0為真}=；當H1為真時，而樣本值卻落入了接受域，應(yīng)接受H0。這時，兩類第二類我們把客觀上H0不行立判為H0建立（即接受了不真實的假錯誤錯誤設(shè)），稱這類錯誤為“取偽錯誤”或第二類錯誤，記為犯