2023年高考山東理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)2

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔山東卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕第一卷〔共50分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．〔1〕【2023年山東，理1，5分】假設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】設(shè)，那么，所以，應(yīng)選B．【點(diǎn)評】此題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力．〔2〕【2023年山東，理2，5分】集合，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】由題意，，所以，應(yīng)選C．【點(diǎn)評】此題考查并集及其運(yùn)算，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查一元二次不等式的解法，是根底題．〔3〕【2023年山東，理3，5分】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間〔單位：小時(shí)〕，制成了如下圖的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是〔〕〔A〕56〔B〕60〔C〕120〔D〕140【答案】D【解析】由圖可知組距為2.5，每周的自習(xí)時(shí)間少于22.5小時(shí)的頻率為，所以，每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是人，應(yīng)選D．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是頻率分布直方圖，難度不大，屬于根底題目．〔4〕【2023年山東，理4，5分】假設(shè)變量，滿足，那么的最大值是〔〕〔A〕4〔B〕9〔C〕10〔D〕12【答案】C【解析】由是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故只需求出三直線的交點(diǎn)，所以是最優(yōu)解，的最大值是10，應(yīng)選C．【點(diǎn)評】此題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．〔5〕【2023年山東，理5，5分】有一個(gè)半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如右圖所示，那么該幾何體的體積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】由三視圖可知，半球的體積為，四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為，應(yīng)選C．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和外表積，根據(jù)的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．〔6〕【2023年山東，理6，5分】直線分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，那么“直線和直線相交〞是“平面和平面相交〞的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充要條件〔D〕既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線和直線相交，可知平面有公共點(diǎn)，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直線和直線不一定相交，應(yīng)選A．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是充要條件，空間直線與平面的位置關(guān)系，難度不大，屬于根底題．〔7〕【2023年山東，理7，5分】函數(shù)的最小正周期是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由，所以，最小正周期是，應(yīng)選B．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是和差角及二倍角公式，三角函數(shù)的周期，難度中檔．〔8〕【2023年山東，理8，5分】非零向量滿足，假設(shè)那么實(shí)數(shù)的值為〔〕〔A〕4〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】因?yàn)椋?，有，即，，?yīng)選B．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于根底題．〔9〕【2023年山東，理9，5分】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕0〔D〕2【答案】D【解析】由，知當(dāng)時(shí)，的周期為1，所以．又當(dāng)時(shí)，，所以．于是，應(yīng)選D．【點(diǎn)評】此題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．〔10〕【2023年山東，理10，5分】假設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，那么稱具有性質(zhì)．以下函數(shù)具有性質(zhì)的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是正數(shù)；函數(shù)的圖象上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是非負(fù)數(shù)．都不可能在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，即不具有性質(zhì)，應(yīng)選A．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．第II卷〔共100分〕二、填空題：本大題共5小題，每題5分〔11〕【2023年山東，理11，5分】執(zhí)行右邊的程序框圖，假設(shè)輸入的的值分別為0和9，那么輸出的值為．【答案】3【解析】時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，成立；所以，故填3.【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答．〔12〕【2023年山東，理12，5分】假設(shè)的展開式中的系數(shù)是，那么實(shí)數(shù)．【答案】【解析】由，得，所以應(yīng)填．【點(diǎn)評】考查了利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)，屬常規(guī)題型．〔13〕【2023年山東，理13，5分】雙曲線，假設(shè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，那么的離心率為．【答案】2【解析】由題意，所以，于是點(diǎn)在雙曲線上，代入方程，得，在由得的離心率為．【點(diǎn)評】此題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用方程的思想，正確設(shè)出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．〔14〕【2023年山東，理14，5分】在上隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，那么事件“直線與圓相交〞發(fā)生的概率為．【答案】【解析】首先的取值空間的長度為2，由直線與圓相交，得事件發(fā)生時(shí)的取值空間為，其長度為，所以所求概率為．【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何概型的概率，以及直線與圓相交的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵弄清概率類型，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于根底題．〔15〕【2023年山東，理15，5分】在函數(shù)，其中，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，那么的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以時(shí)單調(diào)遞增，只要大于的最小值時(shí)，關(guān)于的方程在時(shí)有一根；又在，時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使方程在時(shí)有兩個(gè)根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填．【點(diǎn)評】此題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到是難點(diǎn)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6題，共75分．〔16〕【2023年山東，理16，12分】在中，角的對邊分別為，．QUOTE〔1〕證明：；〔2〕求的最小值．解：〔1〕由得，，由正弦定理，得．〔2〕由．所以的最小值為．【點(diǎn)評】考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內(nèi)角和為，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正余弦定理，不等式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．〔17〕【2023年山東，理17，12分】在如下圖的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺的一條母線．〔1〕分別為的中點(diǎn)，求證：平面；〔2〕，求二面角的余弦值．解：〔1〕連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，在上底面?nèi)，不在上底面內(nèi)，所以上底面，所以平面；又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面；所以平面平面，由平面，所以平面．?〕連結(jié)，，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．，，于是有，，，，可得平面中的向量，，于是得平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，那么．二面角的余弦值為．【點(diǎn)評】此題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．〔18〕【2023年山東，理18，12分】數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且．〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕令．求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：〔1〕因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)，，又對也成立，所以．又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，那么．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．〔2〕由，于是，兩邊同乘以２，得，兩式相減，得．【點(diǎn)評】此題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．〔19〕【2023年山東，理19，12分】甲、乙兩人組成“星隊(duì)〞參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，那么“星隊(duì)〞得3分；如果只有一人猜對，那么“星隊(duì)〞得1分；如果兩人都沒猜對，那么“星隊(duì)〞得0分．甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．假設(shè)“星隊(duì)〞參加兩輪活動(dòng)，求：〔1〕“星隊(duì)〞至少猜對3個(gè)成語的概率；〔2〕“星隊(duì)〞兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：〔1〕“至少猜對3個(gè)成語〞包括“恰好猜對3個(gè)成語〞和“猜對4個(gè)成語〞．設(shè)“至少猜對3個(gè)成語〞為事件；“恰好猜對3個(gè)成語〞和“猜對4個(gè)成語〞分別為事件，那么；．所以．〔2〕“星隊(duì)〞兩輪得分之和的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，于是；；；；；；的分布列為：012346的數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)評】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題．〔20〕【2023年山東，理20，13分】．〔1〕討論的單調(diào)性；〔2〕當(dāng)時(shí)，證明對于任意的成立．解：〔1〕求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，或，，單調(diào)遞增，，，、單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，或，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減．〔2〕當(dāng)時(shí)，，，于是，令，，，于是，，的最小值為；又，設(shè)，，因?yàn)椋?，所以必有，使得，且時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；又，，所以的最小值為．所以．即對于任意的成立．【點(diǎn)評】此題考查利用導(dǎo)數(shù)加以函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．〔21〕【2023年山東，理21，14分】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．〔i〕求證：點(diǎn)在定直線上；〔ii〕直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．解：〔1〕由離心率是，有，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，于是，所以橢圓的方程為．〔2〕〔i〕設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，因此切線的方程為，設(shè)，，將代入，得．于是