2014屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第22講《相似三角形及其應(yīng)用》

相似三角形及其應(yīng)用1第22講┃相似三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)1相似圖形的有關(guān)概念考點(diǎn)聚焦相似圖形形狀相同的圖形稱為相似圖形相似多邊形定義如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似相似比相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比k相似三角形兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似．當(dāng)相似比k＝1時(shí)，兩個(gè)三角形全等2第22講┃相似三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)2比例線段定義防錯(cuò)提醒比例線段對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即____________，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一長(zhǎng)度單位黃金分割在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比，黃金比為________一條線段的黃金分割點(diǎn)有______個(gè)a∶b＝c∶d

0.618

兩

3第22講┃相似三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)3相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形________判定定理2如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的________相等，那么這兩個(gè)三角形相似判定定理3如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且____________相等，那么這兩個(gè)三角形相似判定定理4如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的____________，那么這兩個(gè)三角形相似拓展直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似相似

比

相應(yīng)的夾角

兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等4第22講┃相似三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)4

相似三角形的性質(zhì)相似三角形(1)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比相似多邊形(1)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比(2)相似多邊形面積的比等于相似比的平方5第22講┃相似三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)5

位似位似圖形定義兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)間連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位形中心位似與相似關(guān)系位似是一種特殊的相似，構(gòu)成位似的兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行位似圖形的性質(zhì)(1)位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比等于________；(2)位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線或延長(zhǎng)線相交于________點(diǎn)；(3)位似圖形對(duì)應(yīng)邊______(或在一條直線上)；(4)位似圖形對(duì)應(yīng)角相等相似比一平行6第22講┃相似三角形及其應(yīng)用以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于________位似作圖(1)確定位似中心O；(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心O的線段(或延長(zhǎng)線)；(3)按照相似比取點(diǎn)；(4)順次連接各點(diǎn)，所得圖形就是所求的圖形7第22講┃相似三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)6

相似三角形的應(yīng)用幾何圖形的證明與計(jì)算常見問題證明線段的數(shù)量關(guān)系，求線段的長(zhǎng)度，圖形的面積大小等相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用建模思想建立相似三角形模型常見題目類型(1)利用投影，平行線，標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解；(2)測(cè)量底部可以達(dá)到的物體的高度；(3)測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度；(4)測(cè)量不可以達(dá)到的河的寬度8第22講┃相似三角形及其應(yīng)用探究一比例線段命題角度：1．直角三角形兩銳角互余；2．直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．歸類探究例1[2013·上海]如圖22－1，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5圖22－1A

9第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解析

先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB的長(zhǎng)，再由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE∶AC＝BD∶AB，然后由EF∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CF∶CB＝CE∶AC，則可求得答案．具體解題過程如下：10第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解析

∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.故選A.11第22講┃相似三角形及其應(yīng)用探究二相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用命題角度：1.利用相似三角形性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長(zhǎng)度；2.利用相似三角形性質(zhì)探求比值關(guān)系．

例2如圖22－2，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.(1)求證：；(2)求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng)．圖22－212第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解

13第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解析

(1)證明△AHG∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，證明結(jié)論．(2)設(shè)HE＝x，則HG＝2x，利用第一問中的結(jié)論求解．14第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解

15第22講┃相似三角形及其應(yīng)用

變式題如圖22－3，一個(gè)人拿著一把刻有厘米刻度的小尺，站在離電線桿約20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個(gè)刻度恰好遮住電線桿，已知臂長(zhǎng)約40cm，你能根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出電線桿的高度嗎？圖22－3解析

運(yùn)用的是相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，來求出電線桿的高度，注意單位的轉(zhuǎn)化．16第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解

根據(jù)題意，得△AOB∽△DOC，所以CD∶AB＝20∶0.4，即CD∶0.12＝20∶0.4，解得CD＝6m.故電線桿的高度為6m.

17第22講┃相似三角形及其應(yīng)用探究三三角形相似的判定方法及其應(yīng)用命題角度：1．利用兩個(gè)角判定三角形相似；2．利用兩邊及夾角判定三角形相似；3．利用三邊判定三角形相似.例3[2013·巴中]如圖22－4，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長(zhǎng)．圖22－418第22講┃相似三角形及其應(yīng)用19第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解

20第22講┃相似三角形及其應(yīng)用

判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路：①先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；②若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；③若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”．21第22講┃相似三角形及其應(yīng)用探究四位似命題角度：1.位似圖形及位似中心定義；2.位似圖形的性質(zhì)應(yīng)用；3.利用位似變換在網(wǎng)格紙里作圖．D

解析

根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，找出點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)即可．22第22講┃相似三角形及其應(yīng)用

利用位似將圖形放大或縮小的作圖步驟：第一步：在原圖上選取關(guān)鍵點(diǎn)若干個(gè)，并在原圖外任取一點(diǎn)P；第二步：以點(diǎn)P為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線；第三步：分別在射線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點(diǎn)．即可得到符合要求的新圖形．23第22講┃相似三角形及其應(yīng)用探究五相似三角形與圓命題角度：1.圓中的相似計(jì)算；2.圓中的相似證明．例5[2013·黃岡]如圖22－5，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB.(1)求證：DC為⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為3，AD＝4，求AC的長(zhǎng)．圖22－524第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解

(1)證明：連接OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.又∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴OC⊥CD.即DC為⊙O的切線．25第22講┃相似三角形及其應(yīng)用解

26第22講┃相似三角形及其應(yīng)用三角形中的內(nèi)接四邊形問題回歸教材如圖22－6，AD是△ABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC＝60cm，AD＝40cm，四邊形PQRS是正方形．(1)△ASR與△ABC相似嗎？為