第三章矩陣的初等變換

第三章矩陣的初等變換

本章通過引進矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，然后再利用矩陣的初等變換求矩陣的逆矩陣和解線性方程組.§3.1

矩陣的初等變換§3.2

矩陣的秩§3.3

初等矩陣§3.4線性方程組的解

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬椒浅Ｖ匾淖饔谩Ｒ河孟ń庀旅娴木€性方程組在上述過程中，對線性方程組的消元操作實際上就是對整個線性方程組進行了三種操作:(1)對某一方程兩邊同時乘以不為零的常數(shù)；(2)交換方程組中兩個方程的位置；(3)給某一方程乘以常數(shù)k加到另一個方程上去。上述的三種操作又都是可逆的，因而變換前的方程組與變換后的方程組是同解方程組。同時還看到，上述變換過程中實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，這就相當(dāng)于是對該方程組所對應(yīng)的增廣矩陣進行了：(1)給某一行所有元素都乘以一個非零常數(shù)；(2)交換兩行元素的位置；(3)給某一行所有元素乘常數(shù)k加到另一行的對應(yīng)元素上去。定義：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：1)交換兩行(記為ri?rj);2)以數(shù)k0乘某一行所有元素（記作rj×k）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去（記作ri+krj）把定義中和“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號是把“r”換成“c”）。矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。顯然，三種初等變換都是可逆的，且其變換是同一類型的初等變換。變換ri?rj的逆變換就是本身；變換rj×k的逆變換為rj÷k；變換ri+krj的逆變換為rikrj。如果A經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊，稱矩陣A與B是等價的，記為A～B。矩陣的等價關(guān)系有如下性質(zhì)：反身性：A～A

對稱性：A～B，則B～A傳遞性：A～B，B～C，則A～C

在數(shù)學(xué)上，我們把滿足上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價。由前面的引例可以看出，同時也不難證明對矩陣進行行的初等變換，可以把矩陣化為行階梯矩陣，進而可以化為行最簡矩陣。對行最簡矩陣再施以列的初等變換，行最簡矩陣可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱它為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的特點是：其左上角是一單位矩陣，其余元素全是零?？梢宰C明，任何一個m×n階矩陣A，都可以經(jīng)過初等此標(biāo)準(zhǔn)形由m、n、r三個數(shù)完全確定，其中r就是行階梯矩陣中非零行的行數(shù)，所有與A等價的矩陣組成了一個集合，這個集合稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中形狀最簡單的矩陣。變化化為標(biāo)準(zhǔn)形F。在m×n階矩陣A中，任取k行與k列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉點處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。m×n階矩陣A中的k階子式共有個。設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r＋1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時規(guī)定，零矩陣的秩等于0。

由行列式性質(zhì)可知，在A中當(dāng)所有r＋1階子式全等于零時，所有高于r＋1階的子式也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高階數(shù)。由矩陣秩的定義可知，矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣的秩是相等的。定理：若A～B，則R(A)=R(B)證：先證明：若A經(jīng)過一次行的初等變換變?yōu)锽，則R(A)≤

R(B)設(shè)R(A)=r，且A的某個r階子式Dr0.，在B中總能找到與Dr相對應(yīng)的子式Br，由于Dr=Br或Dr=－Br或Br=kDr，因此Br≠0，從而R(B)≥r。

以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(A)≤R(B).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(A)≥R(B).所以有R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。

設(shè)A經(jīng)過列的初等變換變這B，那么，AT經(jīng)過行的初等變換變?yōu)锽T，由上面的討論可知，R(AT)=R(BT)又因為，R(A)=R(AT)=R(BT)=R(B)所以，矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。上面的命題給出了求矩陣的秩的一種常用辦法。即就是對待求秩的矩陣進行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換所對應(yīng)的三個初等矩陣為設(shè)矩陣Am×n，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k))，En(i(k))，Em(ij(k))，En(ij(k))，則可以驗證：定理1.設(shè)A是一個m×n階矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對A左乘以相應(yīng)的m階初等陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于對A右乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣?yán)贸醯茸儞Q求逆矩陣的方法，還可用于求A1B.由A1(A|B)=(E|A1B)可知，若對矩陣(A|B)施行初等行變換，當(dāng)把A變?yōu)镋時