第一章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)

第一章

時域離散信號和時域離散系統(tǒng)1內容提要離散時間信號和離散時間系統(tǒng)的基本概念序列的表示法和基本類型用卷積和表示的線性非移變系統(tǒng)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性問題線性常系數(shù)差分方程介紹描述系統(tǒng)的幾個重要方式模擬信號數(shù)字處理方法討論了模擬信號、取樣信號和離散時間信號(數(shù)字序列)的頻譜之間的關系介紹了離散時間信號的取樣、抽取和內插等基本概念21.1引言本書研究的對象是數(shù)字信號的分析和處理。信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數(shù)，本書中看作時間的函數(shù)；信號通常分為兩大類；連續(xù)時間信號和離散時間信號。如果信號在整個連續(xù)時間集合上都是有定義的，那么這種信號被稱為連續(xù)時間信號。通常把時間連續(xù)、幅度也連續(xù)的信號稱為模擬信號。時間離散、幅度也離散的信號被稱為數(shù)字信號。3系統(tǒng)系統(tǒng)的作用是把信號變換成某種更合乎要求的形式。輸入和輸出都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)被稱為連續(xù)時間系統(tǒng)；輸入和輸出都是離散時間信號的系統(tǒng)被稱為離散時間系統(tǒng)；輸入和輸出都是模擬信號的系統(tǒng)被稱為模擬系統(tǒng)；輸入和輸出都是數(shù)字信號的系統(tǒng)被稱為數(shù)字系統(tǒng)。

4本章的研究內容：學習時域離散信號的表示方法和典型信號；線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性、以及系統(tǒng)的輸入輸出描述法；線性常系數(shù)差分方程的解法；模擬信號的數(shù)字處理方法介紹。5§1.2

時域離散信號在離散時間系統(tǒng)中，信號要用離散時間的數(shù)字序列來表示。模擬信號經(jīng)采樣后得略去T記為61.2.1常用的典型序列1．單位取樣序列(離散沖激)72．單位階躍序列8與之間的關系：任一序列均可表示成的線性組合93．矩形序列矩形序列可用單位階躍表示104．實指數(shù)序列當n<0，x(n)＝0時，上式可表示為圖1.2.4表示0<a<1時，的圖形115．正弦型序列式中，A為幅度，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度?？紤]數(shù)字正弦是由模擬信號采樣得到，即數(shù)字域頻率和模擬信號頻率的對應關系126．復指數(shù)序列這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當σ＝0時，上式可表示成還可寫成13現(xiàn)在討論正弦序列的周期性。設根據(jù)周期序列的定義可知，這時正弦序列為周期序列，其周期為（其中N，k為整數(shù)）7.周期序列:定義：如果存在一個整數(shù)N，使則稱x(n)為周期序列，記為，其最小周期為N14(1)當為整數(shù)時，正弦序列為周期序列，其周期為(2)當為有理數(shù)時P/Q，正弦序列為周期序列，周期為

P(3)當為無理數(shù)時，則任何整數(shù)k都不能使N為整數(shù)，這時正弦序列不是周期序列。15例：已知，求其周期解：依定義，令

即：16注：任意序列可用單位序列表示為17序列乘以常數(shù)兩序列相加、相乘序列移位1.2.2序列運算18序列的翻轉和尺度變換19§1.3時域離散系統(tǒng)系統(tǒng)定義：系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T[·]表示，即y(n)=T[x(n)]。20滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設y1(n)和y2(n)分別是系統(tǒng)對輸入x1(n)和x2(n)的響應，即：1.3.1線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足：則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。其中的a和b為不同時等于零的常數(shù)2122證明所代表的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)23說明：時不變指系統(tǒng)的特性不隨時間改變。離散時間的情況下，“移不變”特性就是“時不變”特性。1.3.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）例：判斷以下系統(tǒng)是否是移不變系統(tǒng)（1）

y(n)=kx(n);(2)y(n)=nx(n)解：（1）y(n)=T[x(n)]=kx(n);

y(n-n0)=kx(n-n0)=T[x(n-n0)],為移不變系統(tǒng)；（2）y(n)=T[x(n)]=nx(n);

y(n-n0)=（n-n0)x(n-n0)≠

T[x(n-n0)]=nx(n-n0)

為移變系統(tǒng)若一系統(tǒng)滿足：y(n)=T[x(n)]且y(n-n0)=T[x(n-n0)],則該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。24證明所代表的系統(tǒng)為時變系統(tǒng)25既滿足疊加原理，又滿足非移變條件的系統(tǒng)，被稱為線性非移變系統(tǒng)。線性非移變系統(tǒng)的一個重要特性，是它的輸出等于輸入序列與系統(tǒng)單位序列響應的線性卷積關系。1.3.3線性時不變系統(tǒng)及輸入與輸出的關系1.單位取樣響應或單位沖激響應當系統(tǒng)的輸入為單位脈沖序列δ(n)時，其輸出h(n)為系統(tǒng)的單位取樣響應，即：T[?]δ(n)h(n)h(n)代表了系統(tǒng)的特征，系統(tǒng)可以用其單位取樣響應表征h(n)h(n)=T[δ(n)](1.3.6)26通常把式(1.3.7)稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示，即：2.LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的關系當任意序列x(n)可表述為273.離散卷積滿足以下運算規(guī)律：(1)交換律h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)線性時不變系統(tǒng)示意圖28(2)結合律29(3)分配律30(4)與單位序列的卷積31離散卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：(1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-k)。(2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移(-n)。(3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應取樣值相乘,產(chǎn)生一新的序列。(4)相加：把新序列各離散點的值累加起來，即得y(n)。323334351.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性1.系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的輸出僅與現(xiàn)在和過去的輸入有關，與系統(tǒng)將來的輸入無關，則該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領先于輸入的變化的系統(tǒng)。線性非移變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是：36（1）充分性證明：（2）必要性372.系統(tǒng)的穩(wěn)定性當輸入x(n)有界時，輸出y(n)有界的系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。即，如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù))，有|y(n)|<+∞，該系統(tǒng)穩(wěn)定。線性非移變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件38證明（1）充分性（2）必要性39例1.3.6

已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應為解：

(1)因果性(2)穩(wěn)定性因為在n<0時，u(n)=0,所以h(n)=0，故該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)40§1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法－線性常系數(shù)差分方程一個離散LTI系統(tǒng)的特性除了可用單位序列響應來描述外，還可以用差分方程來描述。對于線性時不變系統(tǒng)，經(jīng)常用線性常系數(shù)差分方程來描述。41線性常系數(shù)差分方程的一般形式為：N為差分方程的階數(shù)。將方程(1.4.1)稍加變換后得：該式說明，系統(tǒng)在某時刻n的輸出值y(n)不僅與該時刻的輸入x(n)、過去時刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關，還與該時刻以前的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關。1.4.1線性常系數(shù)差分方程42二.用差分方程描述系統(tǒng)舉例差分方程的最大用途是它直接描述了系統(tǒng)結構。無反饋型(有限沖積響應)：43有反饋型(無限沖積響應)：44差分方程的特點

采用差分方程描述系統(tǒng)簡便、直觀、易于計算機實現(xiàn)。但差分方程不能直接反應系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。實際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)。451.4.2線性常系數(shù)差分方程的求解（1）經(jīng)典解法；（詳見《信號與系統(tǒng)》第三章）（2）迭推（代）解法；（舉例）（3）變換域方法（本書第二章再詳細介紹）461.5模擬信號數(shù)字處理方法研究內容：（1）信號被抽樣后其頻譜將會有什么變化？（2）在什么條件下，可從抽樣數(shù)據(jù)信號中不失真地恢復出原來信號xa(t)?圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理方框圖471.5.1采樣定理及A/D變換器一、采樣就是利用周期性抽樣脈沖序列p(t),從連續(xù)信號xa(t)中抽取一系列的離散值，得到抽樣信號（或稱抽樣數(shù)據(jù)信號）即離散時間信號，以表示。抽樣是模擬信號數(shù)字化的第一環(huán)節(jié)，再經(jīng)幅度量化編碼（ADC）后即得到數(shù)字信號x(n)1.抽樣器可以看成是一個電子開關。開關每隔T秒閉合一次（對理想抽樣，閉合時間應無窮短，對實際抽樣，閉合時間是秒，但<<T）使輸入信號得以抽樣，得到連續(xù)信號的抽樣輸出信號。SP(t)48ttt10T理想抽樣00ttt10T非理想采樣00T2.實際抽樣與理想抽樣49二、采樣信號單位沖激函數(shù)串采樣是模擬信號與沖激函數(shù)相乘的結果，即：T為采樣周期，即50三、采樣信號的頻譜對式兩邊進行傅立葉變換51結論：采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期，進行周期延拓形成的。52結論：采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期，進行周期延拓形成的。53四、采樣恢復54五、采樣定理(1)采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期，進行周期延拓形成的。

(2)要想在信號恢復過程中不產(chǎn)生混疊失真，必須使模擬信號的頻帶是有限的，且取樣頻率滿足，式中為模擬信號的最高頻率成分。否則會造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真恢復原連續(xù)信號。稱為奈奎斯特頻率。

稱為折疊頻率為奈奎斯特頻率55六、A/D轉換器采樣A/D轉換器的原理框圖量化編碼說明：A/D轉換器的量化誤差與量化效應例：設：當：時得到序列(周期N=4）按照M=6進行量化編碼得到數(shù)字序列：561.5.2將數(shù)字信號轉換成模擬信號（信號重建）先決條件取樣過程中不存在混疊失真設計一個低通濾波器，其頻率特性為就可得到原信號的頻譜：在作傅立葉反變換可得到原信號理論上通過理想LPF恢復57信號的內插恢復——從時域進行分析

理想低通濾波器的沖激響應為：58討論1.在本取樣點，即t=nT時，內插函數(shù)值為1，其余取