高等數(shù)學(xué)矩陣的運(yùn)算

§2.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法

定義:

設(shè)兩個(gè)同型的mn矩陣A

=

(

aij)與B

=

(

bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij),記作A+B,即例如:1編輯ppt說(shuō)明:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律:A+B

=

B+A.(2)結(jié)合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).(3)稱(chēng)為矩陣A的負(fù)矩陣.(4)A+(–A)

=

O,A–B

=

A+(–B).2編輯ppt二、數(shù)與矩陣相乘

定義:

數(shù)與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij),記作A或A,簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)乘.即設(shè)A,B為同型的mn矩陣,,

為數(shù):(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算,統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算.3編輯ppt

定義:

設(shè)A

=

(

aij)是一個(gè)ms矩陣,B

=

(

bij)是一個(gè)sn矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C

=

(

cij)是一個(gè)mn矩陣,其中三、矩陣與矩陣相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.例1:例2:4編輯ppt例3:求AB,其中注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘.例如:不存在.5編輯ppt矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)結(jié)合律:(AB)C

=

A(BC);(2)分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)(AB)

=

(A)B

=

A(B),其中為數(shù);(4)AmnEn=EmAmn=A;并且滿(mǎn)足冪運(yùn)算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m為正整數(shù).注意:矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律,即:

AB

AB,(5)若A是n階方陣,則Ak為A的k次冪,即例如:設(shè)則(AB)k

AkBk,因此,6編輯ppt故,AB

BA.例4:計(jì)算下列矩陣乘積:(1)(2)解(1):解(2):=(）a11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x37編輯ppt當(dāng)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí),結(jié)果為=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解:例5:8編輯ppt由此歸納出用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=2時(shí),顯然成立.假設(shè),當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論成立,對(duì)k=n+1時(shí),9編輯ppt所以對(duì)于任意的k都有:10編輯ppt四、矩陣的其它運(yùn)算

定義:把矩陣A的行列互換,所得到的新矩陣,叫做矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例如:１、轉(zhuǎn)置矩陣(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)11編輯ppt解法1:因?yàn)槔?:已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT12編輯ppt由矩陣轉(zhuǎn)置和對(duì)稱(chēng)矩陣的定義可得:方陣A為對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是:A=AT.方陣A為反對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是:–A=AT.證明:因?yàn)?/p>

例7:設(shè)列矩陣X

=

(x1

x2···xn)T,滿(mǎn)足XTX=1,E為n階單位矩陣,H

=

E

–

2XXT,證明:H為對(duì)稱(chēng)矩陣,且HHT=

E.HT

=

(E

–

2XXT)T=

ET–

2(XXT)T=

E

–

2XXT=

H.所以,H為對(duì)稱(chēng)矩陣.HHT=

H2=(E

–

2XXT)2=E2–

E(2XXT)

–

(2XXT)E

+

(2XXT)(2XXT)=E

–

4XXT

+

4(XXT)(XXT)=E

–

4XXT

+

4X(XTX)XT=E

–

4XXT

+

4XXT=E

13編輯ppt例7:證明任一n階方陣A都可表示成對(duì)稱(chēng)陣與反對(duì)稱(chēng)陣之和.證明:設(shè)C

=

A

+

AT,所以,C為對(duì)稱(chēng)矩陣.從而,命題得證.則CT

=

(

A

+

AT)T=

AT+

A

=

C,設(shè)B

=

A

–

AT,則BT

=

(

A

–

AT)T=

AT–

A

=

–B,所以,B為反對(duì)稱(chēng)矩陣.2、方陣的行列式定義:由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.例如:則14編輯ppt方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì)(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.定義:行列式|

A

|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣3、伴隨矩陣稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣.性質(zhì):AA*

=A*A=|

A

|E.證明:設(shè)A=(aij),AA*=(bij).15編輯ppt則故同理可得AA*=(|

A

|ij)

=|

A

|(ij)

=

|

A

|

E.=(|

A

|

ij)

=

|

A

|(ij)

=

|

A

|

E.A*A

=4、共軛矩陣定義:

當(dāng)A

=

(aij)為復(fù)矩陣時(shí),用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,稱(chēng)為A的共軛矩陣.運(yùn)算性質(zhì)設(shè)A,B為復(fù)矩陣,為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的,則:16編輯ppt矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱(chēng)陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣五、小結(jié)(1)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算.(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿(mǎn)足交換律.(3)矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.注意17編輯ppt思考題思考題解答設(shè)A與B為n階方陣,等式A2