2023年高數(shù)(二)試題與解答2

2004年高數(shù)〔二〕試題與解答一.填空題此題共6小題，每題4分，總分值24分.〔1〕設(shè),那么的間斷點(diǎn)為0.〔2〕設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定,那么曲線向上凸的取值范圍為.〔3〕.〔4〕設(shè)函數(shù)由方程確定,那么.〔5〕微分方程滿足的特解為.〔6〕設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,那么.二.選擇題此題共8小題，每題4分，總分值32分.〔7〕把時(shí)的無(wú)?小量,,排列起來(lái),使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小,那么正確的排列次序是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕設(shè),那么〔A〕是的極值點(diǎn),但不是曲線的拐點(diǎn).〔B〕不是的極值點(diǎn),但是曲線的拐點(diǎn).〔C〕是的極值點(diǎn),且是曲線的拐點(diǎn).〔D〕不是的極值點(diǎn),也不是曲線的拐點(diǎn).〔9〕等于〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕〔10〕設(shè)函數(shù)連續(xù),且,那么存在,使得〔A〕在內(nèi)單調(diào)增加.〔B〕在內(nèi)單調(diào)減小.〔C〕對(duì)任意的有.〔D〕對(duì)任意的有.〔11〕微分方程的特解形式可設(shè)為〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕〔12〕設(shè)函數(shù)連續(xù),區(qū)域,那么等于〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕〔13〕設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,那么滿足的可逆矩陣為〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.〔14〕設(shè),為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣,那么必有〔A〕的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).〔B〕的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).〔C〕的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).〔D〕的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).三.解答題此題共9小題，總分值94分.〔15〕〔此題總分值10分〕求極限.【答案】原式〔16〕〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)在〔〕上有定義,在區(qū)間上,,假設(shè)對(duì)任意的都滿足,其中為常數(shù).(1)寫(xiě)出在上的表達(dá)式;(2)問(wèn)為何值時(shí),在處可導(dǎo).【答案】(1)當(dāng),即時(shí),.〔2〕由題設(shè)知..令,得.即當(dāng)時(shí),在處可導(dǎo).〔17〕〔此題總分值11分〕設(shè),(1)證明是以為周期的周期函數(shù);(2)求的值域.【答案】〔1〕,設(shè),那么有,故是以為周期的周期函數(shù).〔2〕因?yàn)樵谏线B續(xù)且周期為,故只需在上討論其值域.因?yàn)?令,得,,且,,又,,所以的最小值是,最大值是,故的值域是.〔18〕〔此題總分值12分〕曲線與直線及圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其體積為,側(cè)面積為,在處的底面積為.(1)求的值;(2)計(jì)算極限.【答案】(1),,所以.(2),〔19〕〔此題總分值12分〕設(shè),證明.【答案】設(shè),那么,所以當(dāng)時(shí),,故單調(diào)減小,從而當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),單調(diào)增加.因此,當(dāng)時(shí),,即故.〔20〕〔此題總分值11分〕某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下來(lái).現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為.經(jīng)測(cè)試,減速傘翻開(kāi)后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?注表示千克,表示千米/小時(shí).【答案】由題設(shè),飛機(jī)的質(zhì)量,著陸時(shí)的水平速度.從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)始記時(shí),設(shè)時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為,速度為.根據(jù)牛頓第二定律,得.又,所以,積分得,由于,,故得,從而.當(dāng)時(shí),.所以,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為.〔21〕〔此題總分值10分〕設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.【答案】,,.〔22〕〔此題總分值9分〕設(shè)有齊次線性方程組試問(wèn)取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解.【答案】對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換,有當(dāng)時(shí),,故方程組有非零解,其同解方程組為.由此得根底解系為,,,于是所求方程組的通解為,其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,故方程組也有非零解,其同解方程組為由此得根底解系為,所以所求方程組的通解為,其中為任意常數(shù).〔23〕〔此題總分值9分〕設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化.【答案】的特征多項(xiàng)式為.假設(shè)是特征方程的二重根,那么有,解得.當(dāng)時(shí),的特征值為2,2,6,矩陣的秩為1,故對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩