2022-2023學(xué)年安徽省宣城市姚村中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年安徽省宣城市姚村中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線的右頂點為A，O為坐標(biāo)原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于兩點P，Q，若，且，則雙曲線C的離心率為A． B． C． C．參考答案：B2.我國古代名著《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完，現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取7天后所剩木棍的長度（單位：尺），則①②③處可分別填入的是（

）參考答案：B3.設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C設(shè),由有,解得,所以,選C.4.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D略5.已知函數(shù)，則（

）A.4

B.

C.-4

D.-參考答案：B略6.如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設(shè)向量=m+n（m，n為實數(shù)），則m+n的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】如圖所示，=（4，0），=（0，4）．可得=m+n=（4m，4n）．當(dāng)圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P（4﹣，﹣）．此時m+n取得最小值；當(dāng)圓心為點C時，AP經(jīng)過圓心時，P（，）．此時m+n取得最大值．【解答】解：如圖所示，邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，向量=m+n（m，n為實數(shù)）；=（4，0），=（0，4）．可得=m+n=（4m，4n）．當(dāng)動圓Q的圓心經(jīng)過點C時，如圖：P（，）．此時m+n取得最大值：4m+4n=8+，可得m+n=2+．當(dāng)動圓Q的圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P（4﹣，﹣）．此時，4m+4n=4﹣，m+n取得最小值為：1﹣；∴則m+n的取值范圍為．故選：A．【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算、點與圓的位置關(guān)系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7.已知、為平面向量，若+與的夾角為，+與的夾角為，則=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)題意，畫出平行四邊形表示向量=，=，=，利用正弦定理即可求出．【解答】解：如圖所示：在平行四邊形ABCD中，=，=，=，∠BAC=，∠DAC=，在△ABC中，由正弦定理得，===．故選：D．8.已知全集U=R，設(shè)函數(shù)y=lg(x-1)的定義域為集合A，函數(shù)y=的值域為集合B，則A∩(CB)=（）A．[1,2]

B．[1,2)

C．(1,2]

D．(1,2)參考答案：D9.閱讀右側(cè)程序框圖，輸出的結(jié)果的值為（

）A．5

B．6

C．7

D．9參考答案：C10.已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f一1（x），則函數(shù)Y=f一1（1一x）的圖象是參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且（n∈N*）．若不等式對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是．參考答案：[﹣3，0]【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【分析】利用已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，，得到an=2n﹣1，n∈N*，然后①當(dāng)n為奇數(shù)時，利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解λ≥﹣3，②當(dāng)n為偶數(shù)時，分離變量，通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解λ≤0，然后推出實數(shù)λ的取值范圍．【解答】解：，?an=2n﹣1，n∈N*?①當(dāng)n為奇數(shù)時，，是關(guān)于n（n∈N*）的增函數(shù)．所以n=1時f（n）最小值為f（1）=2﹣2+3=3，這時﹣λ≤3，λ≥﹣3，②當(dāng)n為偶數(shù)時，恒成立，n為偶數(shù)時，是增函數(shù)，當(dāng)n=2時，g（n）最小值為g（2）=4+1﹣5=0，這時λ≤0綜上①、②實數(shù)λ的取值范圍是[﹣3，0]．故答案為：[﹣3，0]．【點評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列的函數(shù)的特征，考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．12.如圖所示，一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形（單位：cm），則該三棱錐的外接球表面積為______________．參考答案：13.若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，則9x+3y的最小值為．參考答案：6略14.函數(shù)的圖象如圖所示，則的值等于

參考答案：由圖知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，又，所以。15.一個四棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積=

．參考答案：

16.如果復(fù)數(shù)（b∈R）的實部和虛部互為相反數(shù)，則b等于

．參考答案：0【考點】A2：復(fù)數(shù)的基本概念；A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】首先進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成復(fù)數(shù)的代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)實部和虛部互為相反數(shù)，得到實部和虛部和為0，得到結(jié)果．【解答】解：∵===，∵實部和虛部互為相反數(shù)，∴，∴，∴b=0，故答案為：017.雙曲線的漸近線方程是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=ax3+x，g（x）=x2+px+q．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，函數(shù)F（x）=f'（x）g（x）（其中f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=﹣1對稱，求函數(shù)F（x）單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對任意的x≥1，都有g(shù)（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出p，q的值，求出F（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為λ（x﹣lnx）≤x2﹣2x在x∈[1，+∞）上恒成立，得到在x∈[1，+∞）上恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出λ的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax3+x有f'（x）=3ax2+1因為f（x）在x=1處取得極值，故f'（1）=3a+1=0∴經(jīng)檢驗：當(dāng)時，符合題意，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（x）=（﹣x2+1）（x2+px+q）∵F（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣1對稱，故函數(shù)F（x﹣1）為偶函數(shù)又F（x﹣1）=[﹣（x﹣1）2+1][（x﹣1）2+p（x﹣1）+q]=﹣x4+（4﹣p）x3+（3p﹣q﹣5）x2+2（1﹣p+q）x∴，解得p=4，q=3∴F（x）=（﹣x2+1）（x2+4x+3）∴F'（x）=﹣2x（x2+4x+3）+（﹣x2+1）（2x+4）=﹣4（x+1）（x2+2x﹣1）令F'（x）＞0有或令F'（x）＜0有或∴函數(shù)F（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的x≥1，都有g(shù)（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，可轉(zhuǎn)化為λ（x﹣lnx）≤x2﹣2x在x∈[1，+∞）上恒成立易知lnx＜x∴在x∈[1，+∞）上恒成立令，∴令h（x）=x+2﹣2lnx（x≥1），∴∴h（x）在（1，2）上遞減，（2，+∞）上遞增∴h（x）min=h（2）=4﹣2ln2＞0∴φ'（x）≥0，即φ（x）在[1，+∞）上遞增∴φ（x）min=φ（1）=﹣1∴λ≤﹣1．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：.參考答案：解：（1）的定義域為（0，+∞），…2分當(dāng)時，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)時，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)遞減；……………4分當(dāng)0＜＜1時，令=0，解得.則當(dāng)時，＞0；時，＜0.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.…………6分（2）因為，所以當(dāng)時，恒成立令，則,

……………8分因為，由得，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]且當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上遞增，在上遞減.所以，故

……10分（3）由（2）知當(dāng)時，有，當(dāng)時，即，令，則，即

…………12分所以，，…，，相加得而所以，.……14分21.（12分）已知求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）.參考答案：解析：（1）因為。所以1—2

……………2分所以因為所以

…