大學(xué)物理 動(dòng)量與動(dòng)量守恒定律

合力的沖量等于各分力沖量之和

例2.7

質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)用繩子系住，在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺)，周期為t，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周的過(guò)程中，繩的拉力T的沖量為多少？合力的沖量為多少？

由對(duì)稱性分析可得

動(dòng)量沖量（矢量）

動(dòng)量定理

在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量．二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1.某方向受到?jīng)_量，該方向上動(dòng)量就改變．說(shuō)明：2．動(dòng)量定理是由牛頓第二定律推出的，所以它也僅對(duì)慣性系成立.

3.動(dòng)量定理非常適用于打擊和碰撞問(wèn)題。注意越小，則越大在一定時(shí)在打擊或碰撞過(guò)程中，一般沖力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重力，往往可忽略重力

質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)用繩子系住，在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺)，周期為t，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周的過(guò)程中，合力沖量各為多少？繩的拉力T的沖量為多少？重力的沖量為多少？解：由對(duì)稱性分析可得Tmg由動(dòng)量定理得：重力的沖量:繩的拉力T的沖量:TxTy例2.8：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，從h=2.0m的高度下落，到達(dá)地面后，接觸地面時(shí)間t=0.019s。速率反彈，以同樣沖力的峰值575N=自身重5.75N×100

求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達(dá)地面的速率mgF例2.9質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自高y0

為處沿水平方向以速率v0拋出，與地面相碰后跳起的最大高度為y0/2，水平速率為v0/2，則碰撞過(guò)程中,（1）地面對(duì)m的垂直沖量為？（2）地面對(duì)m的水平?jīng)_量為？

解：三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律Fipi

fji

fij為質(zhì)點(diǎn)i受的合外力，········i

j質(zhì)點(diǎn)系

為質(zhì)點(diǎn)i受質(zhì)點(diǎn)j的內(nèi)力，為質(zhì)點(diǎn)i的動(dòng)量。對(duì)質(zhì)點(diǎn)i

：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：由牛頓第三定律有：所以有：令則有：或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（微分形式）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（積分形式）用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理處理問(wèn)題可避開(kāi)內(nèi)力。系統(tǒng)總動(dòng)量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無(wú)關(guān)。注意例2.10一輛裝煤車以的v=3m/s速率從煤斗下面通過(guò)，每秒鐘落入車廂的煤為△m=500kg，如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車廂？（車廂與軌道的摩擦忽略不計(jì)）解：m：表示t時(shí)刻煤車和已落入煤車的煤的總質(zhì)量；

dm：表示t時(shí)刻后dt時(shí)間內(nèi)又落入煤車的煤的質(zhì)量。t時(shí)刻此系統(tǒng)的水平總量，mv+dm×0=mvt+dt時(shí)刻此系統(tǒng)的水平總量，(m+dm)vFdt=dp=

(m+dm)v—mv=dmv

F=dm/dtv=500×3=1500(N)

這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律。即說(shuō)明：

1.動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不隨時(shí)間改變。2.動(dòng)量守恒定律的條件是，而不是。這是因?yàn)楹笳咧徽f(shuō)明始末兩態(tài)的動(dòng)量相等，不能保證動(dòng)量始終不變。

3.嚴(yán)格不受外力或外力矢量和為零的系統(tǒng)是很少見(jiàn)的，但a.當(dāng)外力<<內(nèi)力

4.動(dòng)量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本且作用時(shí)間極短時(shí)（如碰撞），可認(rèn)為動(dòng)量近似守恒。的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。5.用守恒定律作題，應(yīng)注意分析過(guò)程、系統(tǒng)和條件。

b.若某個(gè)方向上合外力為零，則該方向上動(dòng)盡管總動(dòng)量可能并不守恒。量守恒，解題步驟：1．選好系統(tǒng)和過(guò)程；2．進(jìn)行受力分析，判斷守恒條件；3．確定系統(tǒng)的任意時(shí)刻的動(dòng)量、初動(dòng)量或末動(dòng)量；4．建立坐標(biāo)系，列方程求解；

例2.11一枚返回式火箭以2.5103

m·s-1的速率相對(duì)慣性系S沿水平方向飛行．空氣阻力不計(jì)．現(xiàn)使火箭分離為兩部分,前方的儀器艙質(zhì)量為100kg，后方的火箭容器質(zhì)量為200kg，儀器艙相對(duì)火箭容器的水平速率為1.0103m·s-1．求儀器艙和火箭容器相對(duì)慣性系S的速度．已知求

,解例2.12在光滑的水平面上，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M的小車，車上站一質(zhì)量為m的人，人和車原來(lái)保持靜止。當(dāng)人從車的一端走到另一端時(shí)，問(wèn)人和車相對(duì)于地面各走了多遠(yuǎn)？

解：取車和人作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)人和車相對(duì)于地面的速度分別為v和V，則例2.13如圖所示，在一個(gè)水平面上，炮車發(fā)射炮彈。炮身質(zhì)量為M，仰角為，炮彈質(zhì)量為m。炮彈剛出口時(shí)，相對(duì)于炮身的速度為u。不計(jì)地面摩擦，求炮彈剛出口時(shí)炮車的速度。

u解：取炮車和炮彈為系統(tǒng)。系統(tǒng)所受的外力是重力和支持力，都沿豎直方向，所以水平方向動(dòng)量守恒。

炮彈速度的水平分量為

例2.14一繩跨過(guò)一定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量分別為M和m的兩物體M>m，且M靜止于地面上，當(dāng)m自由下落的距離h后，繩子才被拉緊，求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度及M能上升的最大高度。Mmm解：繩子拉緊前瞬間，m的速度

取m、M為系統(tǒng)，拉緊過(guò)程中合外力不為0；

取m、M、繩為系統(tǒng)，拉緊過(guò)程中

合外力不為0。所以此過(guò)程動(dòng)量不守恒，可以用動(dòng)量定理來(lái)求解。

設(shè)張緊過(guò)程需時(shí)

之后過(guò)程中：

說(shuō)明M減速上升

例2.15

一彈性球，質(zhì)量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，與墻碰撞后彈回.設(shè)彈回時(shí)速度大小不變，碰撞前后的運(yùn)動(dòng)方向和墻的法線所夾的角都是α，設(shè)球和墻碰撞的時(shí)間Δt＝0.05s,α＝60，求在碰撞時(shí)間內(nèi)，球和墻的平均相互作用力.解

以球?yàn)檠芯繉?duì)象.設(shè)墻對(duì)球的平均作用力為f,球在碰撞前后的速度為v1和v2,由動(dòng)量定理可得將沖量和動(dòng)量分別沿圖中N和x兩方向分解得：解方程得按牛頓第三定律，球?qū)Φ钠骄饔昧偷姆较蛳喾炊戎?，即垂直于墻面向?22例2.16

一質(zhì)量為m的球在質(zhì)量為M的1/4圓弧形滑槽中從靜止滑下.設(shè)圓弧形槽的半徑為R，如所有摩擦都可忽略，求當(dāng)小球m滑到槽底時(shí)，M滑槽在水平上移動(dòng)的距離.解：以m和M為研究系統(tǒng)，其在水平方向不受外力,故水平方向動(dòng)量守恒.設(shè)在下滑過(guò)程中,m相對(duì)于M的滑動(dòng)速度為v,M對(duì)地速度為V,并以水平向右為x軸正向,則在水平方向上有解得設(shè)m在弧形槽上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，而m相對(duì)于M在水平方向移動(dòng)距離為R，故有于是滑槽在水平面上移動(dòng)的距離mx小結(jié)沖量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律微分形式積分形式慣性系§2-3

功動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律一、功變力的功？空間積累：功workMMabsxyzOab

一段上的功：m在說(shuō)明(1)功是標(biāo)量，且有正、負(fù)。(2)合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。(3)功依賴于參考系。

m例2.17:

質(zhì)量m=2Kg的物體，從靜止開(kāi)始沿固定的四分之一圓弧軌道下滑。已知圓弧軌道半徑為R=4m，物體滑至軌道末端時(shí)速率為vb=6m/s，求摩擦力的功。解：xyzO幾種常見(jiàn)力的功1.重力的功重力mg在曲線路徑a、b上的功為重力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所行經(jīng)的路徑無(wú)關(guān)。重力是保守力。mG結(jié)論②①2.彈性力的功彈性力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所行經(jīng)的路徑無(wú)關(guān)。彈性力是保守力。彈簧彈性力由x1到x2

路程上彈性力的功為結(jié)論xO3.萬(wàn)有引力的功

上的元功為萬(wàn)有引力的功，也是只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所行經(jīng)的路徑無(wú)關(guān)。萬(wàn)有引力是保守力。Mabm結(jié)論在位移元4.摩擦力的功在這個(gè)過(guò)程中所作的功為

摩擦力的功，不僅與始、末位置有關(guān)，而且與質(zhì)點(diǎn)所行經(jīng)的路徑有關(guān)。摩擦力方向始終與質(zhì)點(diǎn)速度方向相反結(jié)論摩擦力二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在某一路程中對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)在同一路程的始、末兩個(gè)狀態(tài)動(dòng)能的增量。

(1)Ek是一個(gè)狀態(tài)量,W

是過(guò)程量。(2)動(dòng)能定律只用于慣性系。

說(shuō)明abmm例2.18:

質(zhì)量m=2Kg的物體，從靜止開(kāi)始沿固定的四分之一圓弧軌道下滑。已知圓弧軌道半徑為R=4m，物體滑至軌道末端時(shí)速率為vb=6m/s，求摩擦力的功。解：由動(dòng)能定理知

例2.19．如圖所示，小車M以速度v0

在光滑的水平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在小車前放一小物體m，初時(shí)m相對(duì)地面的速度為0。若小車與物體之間的摩擦系數(shù)為μ，要使物體不致于從小車上滑下，小車至少有多長(zhǎng)？

選為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒

由動(dòng)能定理

解：三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理把質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)并把所得方程相加有:（各質(zhì)點(diǎn)位移不一定相同）。注意：內(nèi)力雖成對(duì)出現(xiàn)，但內(nèi)力功的和不一定為零.即：作用在所有質(zhì)點(diǎn)上的內(nèi)力所做的功與外力所做的功之和等于系統(tǒng)總動(dòng)能的增量。1.它僅適用于慣性系。2.雖然系統(tǒng)的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量和總角動(dòng)量，但可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。如手榴彈爆炸，系統(tǒng)的總動(dòng)能明顯增加。例2.20如圖所示，在光滑水平面上，質(zhì)量為m的子彈射擊質(zhì)量為m′的木塊，阻力與進(jìn)入深度成正比f(wàn)=-kx，k為常量，求木塊最小厚度l。解：取子彈和木塊為系統(tǒng)動(dòng)量守恒動(dòng)能定理f四、勢(shì)能機(jī)械能守恒定律potentialenergy

lawofconservationofmechanicalenergy保守力如果力所做的功與路徑無(wú)關(guān)，而只決定于物體的始末相對(duì)位置，這樣的力稱為保守力。保守力沿閉合路徑一周所做的功為零。

即例如重力、萬(wàn)有引力、彈性力都是保守力。

作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力。

例如:摩擦力勢(shì)能函數(shù)叫做勢(shì)能函數(shù)

保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值

質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中某點(diǎn)a的勢(shì)能，在量值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)a移動(dòng)至零勢(shì)能點(diǎn)b

的過(guò)程中保守力所作的功。要確定某一狀態(tài)的勢(shì)能，還必須選一參考狀態(tài)，并假定此狀態(tài)的勢(shì)能為零，這個(gè)狀態(tài)叫勢(shì)能零點(diǎn)

常數(shù)取決于勢(shì)能零點(diǎn)的選取

1.重力勢(shì)能xyzO對(duì)重力勢(shì)能，常選地面處為勢(shì)能零點(diǎn)

即取

若選

則時(shí)則時(shí)2.彈性勢(shì)能Ox對(duì)彈性勢(shì)能，常選彈簧原長(zhǎng)處勢(shì)能為零

即取

若選

則時(shí)則時(shí)3.萬(wàn)有引力勢(shì)能rMm等勢(shì)面對(duì)引力勢(shì)能，常選兩物體相距無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)勢(shì)能為零

即取

若選

則時(shí)則時(shí)(1)由于勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選取，所以某一點(diǎn)的勢(shì)能值是相對(duì)的。(2)保守力場(chǎng)中任意兩點(diǎn)間的勢(shì)能差與勢(shì)能零點(diǎn)選取無(wú)關(guān)。說(shuō)明（3）在學(xué)習(xí)中，常談到能量的“所有者”。對(duì)動(dòng)能，它顯然是屬于運(yùn)動(dòng)物體的。對(duì)勢(shì)能，由于它是由一對(duì)保守力引起的，所以它應(yīng)屬于由保守力相互作用著的質(zhì)點(diǎn)系所共有，是系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用能。如物體與地球之間的引力勢(shì)能，是雙方共有的，不能說(shuō)它屬于那個(gè)物體，更不能按比例分給雙方(4)只有保守力才能引入勢(shì)能的概念。非保守力一般不能引入勢(shì)能概念，如不存在“摩擦勢(shì)能”(5)自然界的系統(tǒng)滿足能量最低原理

功能原理、機(jī)械能守恒定律對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，動(dòng)能定理:當(dāng)機(jī)械能守恒定律功能原理是系統(tǒng)對(duì)整個(gè)過(guò)程而言，質(zhì)點(diǎn)系的變化過(guò)