流體力學(xué)第五章201512力學(xué)參考

2023/1/141

第五章流體的渦旋運(yùn)動(dòng)

1.渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念

①問(wèn)題的背景

--------流體的渦旋運(yùn)動(dòng)是一種基本的流動(dòng)現(xiàn)象,它普遍存在于自然界和各種工程應(yīng)用中。在渦旋運(yùn)動(dòng)中利害二者并存。如含有大量渦旋運(yùn)動(dòng)的臺(tái)風(fēng)和龍卷風(fēng)每年都對(duì)人類造成重大損害。百慕大三角區(qū)的深海渦旋迄今仍為待解之迷。

2

在自然界中，流體團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)--渦旋有些能明顯地看到或肉眼分辨，例如大氣中的龍卷風(fēng)，橋墩后的旋渦區(qū)，劃船時(shí)產(chǎn)生的旋渦,云層中的卡門渦街等等。但在更多的情況下，人們不易察覺(jué)到渦旋的存在。例如，當(dāng)物體在真實(shí)流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)在物體表面形成一層很薄的邊界層，此薄剪切層中每一點(diǎn)都是渦旋；又如自然界大量存在著的湍流運(yùn)動(dòng)充滿著不同尺度的渦旋，這些都是肉眼難以辨認(rèn)的。大至旋渦星系,小至DNA分子,都是在一種稱為螺旋線當(dāng)中產(chǎn)生的，也即大自然并不認(rèn)可筆直的形式。自然界所有物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)都是曲線運(yùn)動(dòng)方式的圓環(huán)形狀，從原子、分子到星球、星系等。

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2023/1/144*旋渦液泵工作原理（鍋爐給水的配套，輕紡、化工冶金、機(jī)械制造、固定消防穩(wěn)壓、熱交換機(jī)組、農(nóng)業(yè)遠(yuǎn)程噴灌等）-----當(dāng)葉輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，流道內(nèi)液體圓周速度小于葉輪圓周速度，葉輪內(nèi)的液體在離心力作用下從葉輪凹槽甩到流道中．然后在液體間剪切力作用下減速，將能量傳遞給流道中的液體。葉輪凹槽在甩出原有液體的同時(shí)，內(nèi)部壓力降低，從而將流道內(nèi)的液體吸入凹槽。這樣使得液體產(chǎn)生與葉輪轉(zhuǎn)向相同的“縱向旋渦”。此縱向旋渦使流道中的液體多次返回葉輪內(nèi)，再度受到離心力作用，而每經(jīng)過(guò)一次離心力的作用，揚(yáng)程就增加一次。2023/1/145*旋渦氣泵工作原理（工業(yè)吸塵器配套使用、霧化干燥機(jī)、養(yǎng)魚增氧、電焊設(shè)備、干洗衣服的清潔等）-----在葉輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，葉輪間的氣體會(huì)因旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而沿葉片及逕向方向被加速，氣體進(jìn)入外側(cè)氣環(huán)之后利用壓差作用而回到葉片的基部而形成強(qiáng)力氣流，如此周而復(fù)始使氣體在氣環(huán)內(nèi)以螺旋方向運(yùn)動(dòng)而達(dá)到增壓目的。氣體運(yùn)動(dòng)至排氣口之后，迅速排出。*生活中小例子：沖水時(shí)，水流有時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向下的旋渦以加快排水。②常見(jiàn)的渦旋運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象----渦旋運(yùn)動(dòng)無(wú)處不在，小至原子結(jié)構(gòu)，大至宇宙星云。2023/1/147

*參考件2023/1/14*參考件2023/1/149

*參考件②常見(jiàn)的渦旋運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象----渦旋運(yùn)動(dòng)無(wú)處不在，小至原子結(jié)構(gòu)，大至宇宙星云。②常見(jiàn)的渦旋運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象----渦旋運(yùn)動(dòng)無(wú)處不在，小至原子結(jié)構(gòu)，大至宇宙星云。2023/1/1412熱帶氣旋2023/1/1413

熱帶氣旋(TropicalCyclone)是一種低氣壓天氣系統(tǒng)，于熱帶地區(qū)離赤道平均3-5緯度外的海面(如南北太平洋，北大西洋，印度洋)上形成，其它移動(dòng)主要受到科氏力及其它大尺度天氣系統(tǒng)所影響，最終在海上消散、轉(zhuǎn)化為溫帶氣旋或在登陸陸地后消散。登陸陸地的熱帶氣旋可以造成嚴(yán)重的財(cái)產(chǎn)或人命傷亡，是由天氣引發(fā)天災(zāi)的一種。熱帶氣旋的最大特點(diǎn)是它的能量來(lái)自水蒸氣冷卻凝固時(shí)放出的潛熱。熱帶氣旋的氣流受科氏力的影響而圍繞著中心旋轉(zhuǎn)。在北半球，熱帶氣旋沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在南半球則以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

西太平洋沿岸的中國(guó)、臺(tái)灣、日本、越南、菲律賓等地，習(xí)慣上稱當(dāng)?shù)氐臒釒庑秊榕_(tái)風(fēng)。而大西洋則習(xí)慣稱當(dāng)?shù)氐臒釒庑秊轱Z風(fēng)。

2023/1/1414宇宙中銀盤結(jié)構(gòu)2023/1/1415宇宙中銀盤結(jié)構(gòu)2023/1/1416宇宙中銀盤結(jié)構(gòu)2023/1/1417*銀盤---地球位于太陽(yáng)系中，太陽(yáng)系存在于銀河系里。銀河系中大約有2000億顆恒星，太陽(yáng)只是銀河系里一顆最普通而又很有代表性的恒星罷了。太陽(yáng)系不在銀河系中心，而是在銀河系的邊緣。銀河系的整體不是靜態(tài)不動(dòng)的，越靠近中心，自轉(zhuǎn)越快；而銀河系邊緣自轉(zhuǎn)緩慢。

銀盤的直徑約8萬(wàn)光年，中央厚約1萬(wàn)光年，邊緣厚約3000～6000光年。太陽(yáng)位于銀盤的邊緣，距銀心約3．3萬(wàn)光年，在銀道面以北約26光年。

銀盤外面由稀疏的恒星和星際物質(zhì)組成一個(gè)球狀體，包圍著銀盤，這個(gè)球狀體叫銀暈，銀暈直徑約10萬(wàn)光年。銀河系的總質(zhì)量約1400億個(gè)太陽(yáng)質(zhì)量，其中恒星的質(zhì)量占總質(zhì)量的約90％，星際物質(zhì)占約10％。射電天文觀測(cè)進(jìn)一步探明銀河系結(jié)構(gòu)，現(xiàn)己發(fā)現(xiàn)銀河系在自身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中有四條旋臂，旋臂是由氣體和塵埃物質(zhì)混雜的區(qū)域。銀河系物質(zhì)以每秒250千米的速度，繞銀心一周約2．5億年。2023/1/1418“M101”旋渦星系2023/1/1419

*M101---這個(gè)巨大的旋渦星系是由哈勃太空望遠(yuǎn)鏡在執(zhí)行一次例行的觀測(cè)任務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn)的，現(xiàn)結(jié)果經(jīng)51次的拍攝合成，這一發(fā)現(xiàn)將使我們對(duì)宇宙形成的速度有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，特別是對(duì)一些巨星形成初期其周圍眾多星團(tuán)的形成速度有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。旋渦星系的形狀象一個(gè)圓盤，它是由許許多多的星體和太空灰塵以及氣體組成的，直徑約17萬(wàn)光年，這一距離相當(dāng)于銀河系直徑的兩倍?？茖W(xué)家們把這一新的旋渦星系命名為“M101”。天文學(xué)家們稱，“M101”旋渦星系至少擁有1萬(wàn)億顆星球，其中至少有1000億顆星球在溫度和壽命方面都可以與太陽(yáng)相媲美。2023/1/1420③渦旋運(yùn)動(dòng)的定義

1）渦旋運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單識(shí)別2023/1/1421

*參考件2023/1/14222023/1/1423

*參考件24

*參考件2023/1/14252）渦旋運(yùn)動(dòng)的定義

---定義流體速度的旋度為流場(chǎng)的渦量，記為若，稱流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)，反之若為無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。

----（渦線）某一時(shí)刻在一曲線上任一點(diǎn)切線方向與該點(diǎn)流體渦量一致，則稱該曲線為渦線，其方程為，即----（渦面與渦管）在渦量場(chǎng)中任取一條非渦線的曲線，對(duì)過(guò)該曲線的每一點(diǎn)作同一時(shí)刻的渦線所構(gòu)成的曲面稱為渦面；進(jìn)一步若曲線封閉（即渦面封閉），則對(duì)應(yīng)的渦面構(gòu)成渦管。2023/1/14262）渦旋運(yùn)動(dòng)的定義（續(xù)）------（渦通量）其中A為流場(chǎng)中的某一曲面。------（渦管強(qiáng)度）對(duì)于流場(chǎng)某一時(shí)刻的渦管，取渦管的一個(gè)橫截面A，稱過(guò)A的渦通量為該瞬時(shí)的渦管強(qiáng)度（與A取法無(wú)關(guān)）。------（速度環(huán)量），由斯托克斯公式，有其中A為由L所包圍的任意曲面。微分形式：2023/1/1427

*參考件----渦量與渦線

----在流體力學(xué)中直接將速度旋度定義為渦量，即渦量為：----線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的渦量方向一致的假想曲線稱為渦線，其方程的微分形式為：28

例

已知流體質(zhì)點(diǎn)的位置表示為，求其渦線方程。*參考件分析：2023/1/1429環(huán)量與渦量的微分關(guān)系源自：----（渦管強(qiáng)度守恒定理）

2）渦旋運(yùn)動(dòng)的定義（續(xù)）分析：2023/1/1431

*關(guān)于“”的說(shuō)明*參考件2023/1/1432

2.渦量輸運(yùn)方程①粘性流體的渦量輸運(yùn)方程

從何而來(lái)？2023/1/1433

另有變換式為即有渦量方程(5.1.11)修正式渦量方程(5.1.12)修正式2023/1/1434*相關(guān)分析1）引入基本形式的蘭姆—葛羅米方程---引入算符公式代入得

如何而得？2）引入納維—斯托克斯方程(N-S方程),

即有:（引入廣義牛頓應(yīng)力公式:可得:再代入

）

可得:其中

3）將寫為兩邊求旋度得:再利用得

另有(5.1.11)修正式即有：(5.1.12)修正式39

2.渦量輸運(yùn)方程

②粘性流體運(yùn)動(dòng)中環(huán)量的變化

待證2023/1/1440

為零41③無(wú)粘性流體問(wèn)題

----當(dāng),有渦量輸運(yùn)方程

----若體力有勢(shì),即,且流體正壓,則上式化為亥姆霍茲方程

進(jìn)一步2023/1/1443-----拉格朗日渦保持性定理2023/1/14442023/1/1445解2023/1/1446

----初始位移:流體質(zhì)點(diǎn)在重力作用下產(chǎn)生波動(dòng);在有勢(shì)力作用下,流場(chǎng)保持無(wú)旋。

----初始速度:如瞬時(shí)附加壓強(qiáng)（一陣風(fēng)等），其停止時(shí)刻即為初始時(shí)刻，由此產(chǎn)生初始速度分布，由其產(chǎn)生的波動(dòng)仍保持無(wú)旋。*關(guān)于3）中所提無(wú)旋性分析：47

----亥姆霍茲渦線、渦面及渦管保持性定理分析：2023/1/14482023/1/1449

-----亥姆霍茲渦管強(qiáng)度保持性定理比較：渦管強(qiáng)度守恒定理證明：（1）質(zhì)量守恒定理證明：（2）在orz平面上運(yùn)動(dòng)垂直orz平面有誤2023/1/1452關(guān)于“”的說(shuō)明2023/1/14532023/1/14543.渦旋在無(wú)粘性不可壓流體中所引起的速度場(chǎng)

①渦旋場(chǎng)感生的速度場(chǎng)

待證55奧高公式格林函數(shù)法2023/1/1456②渦線感生的速度場(chǎng)(比奧—薩瓦爾公式)分析：58？59③直渦線感生的速度場(chǎng)非柱坐標(biāo)2023/1/14602023/1/146162④渦對(duì)632023/1/1464652023/1/14662023/1/14676869平面復(fù)勢(shì)理論2023/1/1470*關(guān)于“”的說(shuō)明將，得2023/1/1471⑤卡門渦街2023/1/1472

*1911年在哥丁根，博士生希門茨研究水流中的圓柱表面的壓力，但測(cè)出的壓力總是波動(dòng)不已。后來(lái)，希門茨以日耳曼人那股‘傻勁’，將圓柱磨得滾圓，將水槽精磨固定，但圓柱總是晃動(dòng)。而卡門在周末到實(shí)驗(yàn)室探索晃動(dòng)的原因。他考慮了兩種可能性，假設(shè)渦流從圓柱體頂部和底部交替出現(xiàn)，卡門回憶說(shuō)，‘我清晰地想象到，若兩股渦流按一定幾何圖案排列，其外形就會(huì)穩(wěn)定?！俳?jīng)過(guò)仔細(xì)地‘做’——力學(xué)和數(shù)學(xué)分析，求解，再實(shí)驗(yàn)，馮·卡門終于發(fā)現(xiàn)了卡門渦街。2023/1/1473實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的卡門渦街2023/1/1474用LIF(激光誘導(dǎo)熒光)法拍攝的卡門渦街2023/1/14752023/1/1476*現(xiàn)在進(jìn)行高層建筑物設(shè)計(jì)時(shí)都要進(jìn)行計(jì)算和風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)，以保證不會(huì)因卡門渦街造成建筑物的破壞。2023/1/14771940年，美國(guó)華盛頓州的塔科瑪峽谷上花費(fèi)640萬(wàn)美元，建造了一座主跨度853.4米的懸索橋。建成4個(gè)月后，于同年11月7日碰到了一場(chǎng)風(fēng)速為19米/秒的風(fēng)。雖風(fēng)不算大，但橋卻發(fā)生了劇烈的扭曲振動(dòng)，且振幅越來(lái)越大，直到橋面傾斜到45度左右，使吊桿逐根拉斷導(dǎo)致橋面鋼梁折斷而塌毀，墜落到峽谷之中。

2023/1/1478塔科馬海峽吊橋倒塌后第二天，華盛頓州州長(zhǎng)宣布該座吊橋的設(shè)計(jì)牢靠，計(jì)劃按同樣設(shè)計(jì)重建。馮·卡門覺(jué)得此事不妥，便覓來(lái)一個(gè)塔科馬海峽吊橋模型帶回家中，放在書桌上，開(kāi)動(dòng)電扇吹風(fēng)，模型開(kāi)始振動(dòng)起來(lái)，當(dāng)振動(dòng)頻率達(dá)到模型的固有頻時(shí)，發(fā)生共振，模型振動(dòng)劇烈。果然不出所料，塔科馬海峽吊橋倒塌事件的元兇，正是卡門渦街引起橋梁共振。

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設(shè)計(jì)的人想建造一個(gè)較便宜的結(jié)構(gòu)，采用了平鈑來(lái)代替桁架作為邊墻。不幸，這些平鈑引起了渦旋的發(fā)放，使橋身開(kāi)始扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。這一大橋的破壞現(xiàn)象，是振動(dòng)與渦旋發(fā)放發(fā)生共振而引起的。塔科瑪橋的風(fēng)毀事故，是一定流速的流體流經(jīng)邊墻時(shí)，產(chǎn)生了卡門渦街；渦旋的交替發(fā)放，會(huì)在物體上產(chǎn)生垂直于流動(dòng)方向的交變側(cè)向力，迫使橋梁產(chǎn)生振動(dòng)，當(dāng)發(fā)放頻率與橋梁結(jié)構(gòu)的固有頻率相耦合時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振，造成破壞。

2023/1/1480新塔科馬海峽大橋2023/1/1481新塔科馬海峽大橋2023/1/1482*工業(yè)上的預(yù)熱器、鍋爐等多由圓管組成，流體繞流圓管時(shí)，卡門渦街的交替脫落會(huì)引起管箱中氣柱的振動(dòng)，如果渦街的交替脫落頻率與物體的聲學(xué)駐波頻率相重合，就會(huì)引發(fā)聲學(xué)共振，使管箱激烈振動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)可致破裂。如果改變管箱和氣體的固有頻率，使之與卡門渦街的脫落頻率錯(cuò)開(kāi)，避免發(fā)生共振，則可防止設(shè)備的破壞。*渦街流量計(jì)----卡門渦街也有其為人所用的一面。如利用卡門渦街現(xiàn)象制造的一種流量計(jì)。它將渦旋發(fā)生體垂直插入到流體中時(shí)，流體繞過(guò)發(fā)生體時(shí)會(huì)形成卡門渦街，在滿足一定的條件下，非對(duì)稱渦列就能保持穩(wěn)定，此時(shí)，渦旋的頻率f與流體的流速U及渦旋發(fā)生體的寬度d有如下關(guān)系：

f=St(U/d)=f*U/d其中St為斯特勞哈爾數(shù)。研究表明，在Re=200~15000的范圍內(nèi)，圓柱體后面的漩渦不斷周期性均勻脫落，漩渦的脫落頻率f與來(lái)流速度U成正比，與圓柱體直徑d成反比。而當(dāng)Re>1000時(shí)，斯特勞哈爾數(shù)近似等于常數(shù)0.21。此時(shí)脫落頻率f與來(lái)流速度成正比，渦街流量計(jì)就是根據(jù)這一原理，通過(guò)測(cè)出流場(chǎng)中繞流圓柱體的漩渦的脫落頻率，從而測(cè)量出流速和流量。卡門渦街流量計(jì)可測(cè)量液體、氣體和蒸汽的流量；精度可達(dá)±1%；結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可靠、耐用。

2023/1/1484斯特勞哈爾數(shù)*斯特勞哈爾數(shù)變化圖2023/1/1485圖中形狀怪異的云團(tuán)，是在太空里可以看到的最古怪的云團(tuán)構(gòu)造之一。這種云被稱作馮-卡門渦街云團(tuán)。在上面這張圖片里，智利近海的亞歷山大塞爾扣克島（比海平面高出大約1.61公里）就像一個(gè)圓柱體，其頂峰擾亂了風(fēng)吹的云層。該圖是“陸地7”號(hào)衛(wèi)星在1999年9月拍到的：層積云中呈現(xiàn)出一道美麗的漩渦街。大自然中的卡門渦街2023/1/14862000年“陸地7”號(hào)衛(wèi)星拍到的瓜德羅普島上空的渦街，它位于美國(guó)加州近海大約21英里(33.80公里)的地方。2023/1/14872008年8月美國(guó)宇航局的“阿卡”號(hào)衛(wèi)星拍到的弗蘭格爾島，在北極圈東北的西伯利亞上空，是較小的杰拉德島影響下形成的一個(gè)渦街。2023/1/1488

在低雷諾數(shù)(例如Re＜1時(shí))的條件下，流動(dòng)的主要特點(diǎn)是上下游速度分布對(duì)稱。

*圓柱繞流中的渦形成過(guò)程2023/1/1489在中等雷諾數(shù)的條件下，上下游流速分布的對(duì)稱性消失,繞圓柱附近流動(dòng)的流體，在達(dá)到邊緣中心點(diǎn)A之前離開(kāi)圓柱,在圓柱體后面出現(xiàn)兩個(gè)附著渦。

2023/1/1490渦內(nèi)流體不斷循環(huán)，在一定條件下(如100＞Re＞40),圓柱兩側(cè)交替地發(fā)生旋渦發(fā)射，即在圓柱后的每一側(cè)出現(xiàn)一排旋渦。2023/1/1491在高雷諾數(shù)(Re＞100)的條件下,柱體對(duì)繞流的影響限于表面附近的邊界層中。此處速度梯度很大，粘性摩擦很顯著。邊界層之外，流體流速大體上即為來(lái)流速度，無(wú)速度梯度，粘性摩擦可以忽略。柱面上形成邊界層后，在下游某處可能與柱面分離。當(dāng)Re

＜3×103

時(shí)，邊界層內(nèi)流體作層流流動(dòng)，此為層流邊界層；當(dāng)Re＞3×103

時(shí)，邊界層內(nèi)的流動(dòng)狀態(tài)為湍流（渦破裂成湍尾流），湍流邊界層的分離點(diǎn)向后移動(dòng)。

2023/1/1493寬高比2023/1/1494(i)h/w=1.75,(ii)h/w=2.02023/1/1495iii)h/w=3.0,(iv)h/w=4.0.2023/1/14⑥蘭金組合渦2023/1/1497關(guān)于“”的說(shuō)明受迫渦渦量2023/1/14982023/1/1499*參考件100

*參考件2023/1/14101應(yīng)改為“拉格朗日積分”常數(shù)外區(qū)無(wú)旋2023/1/141022023/1/14103？2023/1/14104

均質(zhì)流體整體勻角速旋轉(zhuǎn)如圖示,隨容器一起整體旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)流體中單位質(zhì)量的慣性力為離心力，則有

故自由面形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面，即，另有*參考件考慮重力影響的自由面形狀核內(nèi)：核外應(yīng)用：4.無(wú)粘性流體中的渦旋產(chǎn)生

①伯耶克內(nèi)斯定理

及信風(fēng)形成原理

---信風(fēng)（tradewind）在赤道兩邊的低層大氣中，北半球吹東北風(fēng)，南半球吹東南風(fēng)，這種風(fēng)的方向很少改變，它們年年如此，穩(wěn)定出現(xiàn)，很講信用，故在中文中被翻譯成“信風(fēng)”。

Trade這個(gè)詞來(lái)自中古英語(yǔ)，相當(dāng)于path、track的意思。所以，tradewind原意是“在常軌上的風(fēng)”的意思。1072023/1/14108109討論分析：實(shí)際的信風(fēng)在赤道兩邊的低層大氣中，北半球吹東北風(fēng)，南半球吹東南風(fēng)，這源自于科氏力對(duì)速度環(huán)量乃至對(duì)信風(fēng)的影響，又將其稱為無(wú)勢(shì)體力對(duì)速度環(huán)量（即渦旋）的影響。2023/1/14113

*參考件---相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程---在非慣性系中,設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)、相對(duì)和牽連速度分別為、和，其中(運(yùn)動(dòng)系為平動(dòng)速度,為角速度)再設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)、相對(duì)、牽連和科氏加速度分別為、、和，其中，相應(yīng)有,代入到得。----若流體無(wú)粘,則。

2023/1/14114不考慮地球自轉(zhuǎn),則取Ω=02023/1/14115？應(yīng)為零可重新表述2023/1/14116②地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2023/1/14117分析：2023/1/141182023/1/14119w≈01205.粘性流體中渦旋的產(chǎn)生與變化

①直渦線在粘性流體中的擴(kuò)散和衰減（奧森渦）自由渦