隨機過程第一章(下)

第一章隨機過程的概念與基本類型隨機過程的定義和統(tǒng)計描述隨機過程分布律和數(shù)字特征復(fù)隨機過程隨機過程基本類型自然界事物的變化過程分為兩大類：（1）具有確定形式的過程，可以用一個時間t的確定函數(shù)來描述。（2）另外一種過程沒有確定的變化形式，不能用一個時間t的確定函數(shù)來描述。

例如：液面上的質(zhì)點的運動。用{x(t),y(t)}表示t時刻該質(zhì)點在液面上的坐標。

隨機變量在每次隨機試驗的結(jié)果中，以一定的概率取某個事先未知，但為確定的數(shù)值。在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常要涉及到在隨機試驗過程中隨時間t而改變的隨機變量。此時，這種隨機現(xiàn)象是個“過程”。隨機過程也是有規(guī)律的，如何描述一個隨機過程？電話交換臺接入呼叫次數(shù)問題某電話交換臺在一定時間段內(nèi)[0，t]內(nèi)接到的呼叫次數(shù)是與t有關(guān)的隨機變量，記為Z(t)；對于固定的時刻t，Z(t)是一個取非負整數(shù)的隨機變量，故{Z(t),t∈[0,∞)}是一個隨機過程。對于一個固定的時刻t,Z(t)是一個隨機變量。隨機過程天氣預(yù)報問題每天的天氣（晴，雨，陰）是隨機的，對于確定的一天（假設(shè)t=1，代表第一天），天氣狀況是一個離散型的隨機變量，記為Zt，所以，每天的天氣狀況{Zt，t=1,2,3…}是一個隨機過程。對于一個固定的時刻t,Zt是一個隨機變量對于一個固定的時刻t,電阻的噪聲電壓X(t)是一個隨機變量，X(t)是隨時間變化的，所以噪聲電壓{X(t)，t∈[0,∞)}是一個隨機過程。電阻的噪聲電壓對于一個固定的時刻t,Xt是一個隨機變量

我們必須對一些隨機現(xiàn)象的變化過程進行研究，必須考慮無窮多個隨機變量。針對這個問題，我們必須用一族隨機變量才能刻畫這種隨機現(xiàn)象的全部統(tǒng)計規(guī)律。我們通常將這族隨機變量稱為隨機過程。定義1設(shè)E是隨機實驗，Ω={e}是樣本空間，T是給定的參數(shù)集，若對每個固定的時刻t∈T，X(t,e)或者X(t)都是一個隨機變量，則稱隨機變量族{X(t,e),t∈T}是一個隨機過程。簡記為X(t)。在第Wi次試驗中測量獲得的噪聲電壓X(t)是一個樣本函數(shù)設(shè)E是隨機實驗，Ω={e}是樣本空間，對于每一個樣本e，總可以以某種規(guī)則確定一個時間函數(shù)X(t,e)(稱為樣本函數(shù)或者軌道），t∈T，則對于所有的e∈Ω，就得到一個函數(shù)的集合，稱此集合為隨機過程，簡記為X(t)定義2隨機過程{X(t,e),t∈T}可以認為是定義在T×Ω上的一個二元函數(shù)。對固定的t，X(t,e)是一個隨機變量;對固定的e，X(t,e)是隨機過程{X(t,e),t∈T}的一個樣本函數(shù)（軌道）。即定義在T上的普通函數(shù);對于固定的e和t，X(t,e)是一個標量，它表示時刻t所處的狀態(tài)。X(t)所有可能的狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間;當t和e都是變量時，X(t,e)是一個隨機變量族或者時間函數(shù)族(稱為隨機過程）。判斷以下現(xiàn)象是否是一個隨機過程？（1）示波器產(chǎn)生的余弦波X(t)=acos(wt+B),其中，a,w為常量，B為初始相位，并為（0，2π）上均勻分布的隨機變量。(2)正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V為在(0,1)分布的隨機變量.并畫出X(t)的一個樣本函數(shù).通常我們可以根據(jù)隨機變量X(t)在時間和狀態(tài)上的類型區(qū)分隨機過程的類型。在時間和狀態(tài)上都連續(xù)連續(xù)型隨機過程在時間上連續(xù)，狀態(tài)上離散離散型隨機過程在時間上離散，狀態(tài)上連續(xù)連續(xù)型隨機序列在時間上離散，狀態(tài)上離散離散型隨機序列有限個隨機變量統(tǒng)計規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機過程統(tǒng)計規(guī)律有限維分布函數(shù)族隨機過程的一維分布函數(shù)：提示:

隨機過程的二維分布函數(shù)：有限個隨機變量統(tǒng)計規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機過程統(tǒng)計規(guī)律有限維分布函數(shù)族設(shè)XT={X(t),t∈T}是隨機過程，對任意n≥1和t1,t2,…,tn∈T，隨機向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的n維聯(lián)合分布函數(shù)為:稱為隨機過程X(t)的n維分布函數(shù).n維概率密度函數(shù)為:這些分布函數(shù)的全體稱為XT={Xt,t∈T}的有限維分布函數(shù)族。有限維分布函數(shù)的性質(zhì)對于{t1,t2,…,tn}的任意排列當m<n時，對稱性相容性有限維分布函數(shù)族對稱性相容性Kolmogorov存在定理（柯爾莫哥洛夫）設(shè)已給參數(shù)集T及滿足對稱性和相容性條件的分布函數(shù)族F，則必存在概率空間（Ω,F,P）及定義在其上的隨機過程{X(t),t∈T}，它的有限維分布函數(shù)族是F。隨機過程設(shè)XT={X(t),t∈T}是隨機過程，如果對任意t∈T，E[X(t)]存在，則稱函數(shù)為XT的數(shù)學期望，反映隨機過程在時刻t的平均值。數(shù)字特征均方值和方差反映隨機過程t時刻平均功率反映隨機過程在時刻t對均值的偏離程度自相關(guān)函數(shù)若對任意t∈T，E(X(t))2存在，則稱XT為二階矩過程，而稱為XT的協(xié)方差函數(shù)(混合中心矩)，反映隨機過程在時刻t和s時的狀態(tài)起伏值的線性相關(guān)程度。協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)有如下關(guān)系：例題2.5:設(shè)隨機過程其中，Y和Z是相互獨立的隨機變量，且EY=EZ＝0，DY=DZ=σ2，求X(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

課堂練習：設(shè)隨機過程X(t)=Vcos4t，其中V是隨機變量，其數(shù)學期望是5，方差為6，求隨機過程X(t)的均值Mx(t)、方差Dx(t)、相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)和協(xié)方差函數(shù)Bx

(t1,t2)兩個隨機過程之間的關(guān)系互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)定義：設(shè){X(t),t∈T}，{Y(t),t∈T}是兩個二階矩過程，則稱為{X(t),t∈T}與{Y(t),t∈T}的互協(xié)方差函數(shù)，稱為{X(t),t∈T}與{Y(t),t∈T}的互相關(guān)函數(shù)。兩個隨機過程{X(t),t∈T}與{Y(t),t∈T}的互不相關(guān)定義互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系例題2.8：設(shè)X(t)為信號過程，Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。當兩個隨機過程互不相關(guān)且均值函數(shù)為零時:例題:設(shè)X(t)為信號過程，Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。復(fù)隨機過程定義：設(shè){Xt,t∈T}，{Yt,t∈T}是取實數(shù)值的兩個隨機過程，若對任意t∈T其中，則稱{Zt,t∈T}為復(fù)隨機過程。復(fù)隨機過程的數(shù)字特征函數(shù)均值函數(shù)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)相互之間的關(guān)系兩個復(fù)隨機過程{Xt}，{Yt}的互相關(guān)函數(shù)定義為復(fù)隨機過程互協(xié)方差函數(shù)定義為隨機過程的幾種基本類型正交增量過程獨立增量過程馬爾可夫過程正態(tài)過程維納過程平穩(wěn)過程定義：設(shè){X(t),t∈T}是零均值的二階矩過程，若對任意的t1<t2≤t3<t4∈T，有則稱X(t)是正交增量過程。正交增量過程例題設(shè){X(t),t∈T}是正交增量過程，T=[a,b]為有限區(qū)間，且規(guī)定X(a)=0，當a<s<t<b時，求其協(xié)方差函數(shù)BX(s,t)。結(jié)論:正交增量過程的協(xié)方差可以由它的方差確定.定義：設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，若對任意的正整數(shù)n和t1<t2<…<tn∈T，隨機變量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)是互相獨立的，則稱{X(t),t∈T}是獨立增量過程。獨立增量過程特點：獨立增量過程在任一個時間間隔上過程狀態(tài)的改變，不影響任一個與它不相重疊的時間間隔上狀態(tài)的改變。例如：電話交換臺[0，t]時間內(nèi)接受到的電話呼叫數(shù)量。服務(wù)系統(tǒng)（例如商場）在[0，t]時間內(nèi)的顧客數(shù)?；ゲ幌嚓P(guān)相互獨立×二階矩存在，均值函數(shù)恒為零獨立增量過程正交增量過程正交增量過程獨立增量過程正交增量過程獨立增量過程定義：設(shè){X(t),t∈T}是獨立增量過程，若對任意s<t，隨機變量X(t)-X(s)的分布僅依賴于t-s，則稱{X(t),t∈T}是平穩(wěn)獨立增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程例題2.10考慮一種設(shè)備一直使用到損壞為止，然后換上同類型的設(shè)備。假設(shè)設(shè)備的使用壽命是隨機變量，令N(t)為在時間段[0,t]內(nèi)更換設(shè)備的件數(shù)，通?？梢哉J為{N(t)，t≥0}是平穩(wěn)獨立增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程定義：設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，若對任意正整數(shù)n及t1<t2,…<tn，P(X(t1)=x1,…,X(tn-1)=xn-1)>0，且其條件分布則稱{X(t),t∈T}是馬爾可夫過程。馬爾可夫過程馬爾可夫性系統(tǒng)在已知現(xiàn)在所處狀態(tài)的條件下，它將來所處的狀態(tài)與過去所處的狀態(tài)無關(guān)。例如:天氣預(yù)報

隨機游動馬爾可夫過程定義：設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，若對任意正整數(shù)n及t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機變量，則稱{X(t),t∈T}是正態(tài)過程或高斯過程。正態(tài)過程特點：在通信中應(yīng)用廣泛；（中心極限定理）

只要n充分大，x1,x2,…xn之和近似正態(tài)分布.

例如：高斯白噪聲;一個城市某個時刻的總耗電量；實驗的測量誤差。2.正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，即可確定其有限維分布。正態(tài)過程一維正態(tài)隨機變量的概念：一維正態(tài)隨機變量X的概率密度函數(shù)可以表示為記為特征函數(shù)為:二維正態(tài)隨機變量的概念：若隨機變量X1,X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為則稱X1,X2為二維正態(tài)隨機變量。其中ρ為X1和X2的相關(guān)系數(shù)。對于上述二維隨機變量，其邊際概率密度函數(shù)可表示為因此其邊際分布為一維正態(tài)分布，二維正態(tài)隨機變量的聯(lián)合密度也可表示為其中n維正態(tài)隨機變量的定義：若n維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱為n維正態(tài)隨機變量，其中C為n維實對稱正定陣。記為定義：設(shè){W(t),-∞<t<∞}為隨機過程，如果W(0)=0;它是獨立、平穩(wěn)增量過程；對任意s,t，增量W(t)-W(s)~N(0,σ2|t-s|)，σ2>0則稱{W(t),-∞<t<∞}為維納過程，也稱布朗運動過程。維納過程是正態(tài)過程的一種特殊形式維納過程定義：設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，如果對任意常數(shù)τ和正整數(shù)n，t1,t2,…,tn∈T，t1+τ,t2+τ,…,tn+τ

∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+τ),X(t2+τ),…,X(tn+τ))有相同的聯(lián)合分布，則稱{X(t),t∈T}為嚴平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程定義：設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，如果{X(t),t∈T}是二階矩過程；對任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常數(shù)；對任意s,t∈T