第2節(jié)-第二型曲線積分

§2第二型曲線積分首頁×一、第二型曲線積分的定義

變力沿曲線作功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用沿曲線L從點A移動到點B，求力F(x,y)所作的功常力沿直線作功：力·位移1.分割:2.近似代替其中分別是曲線段在x軸與y軸上的投影（此投影不一定是非負的）于是插入分點首頁×4.取極限3.求和其中是第i個小弧段的弧長.首頁×定義1設(shè)函數(shù)P(x,y)與Q(x,y)定義在平面有向可求長度曲線L:對L的任一分割T

它把L分成n個小曲線段：其中M0=A，Mn=B.記各小曲線段的弧長為分割T的細度分點Mi的坐標為(xi,yi

),并記在每個小曲線段上任取一點若極限首頁×存在，則稱此極限為函數(shù)P(x,y),Q(x,y),沿有向曲線L的第二型曲線積分，也稱為對坐標的曲線積分，記為或也記為或簡記為首頁×若L為封閉曲線，則記為若記則記于是，力沿有向曲線L對質(zhì)點所作的功為首頁×類似地,

沿空間有向可求長度曲線L的第二型曲線積分記為其中首頁×第二型曲線積分與曲線L的方向有關(guān)，對同一曲線，當方向由A到B改為由B到A時，每一小曲線段的方向都改變，從而小曲線段的投影也隨之改變符號，故有而第一型曲線積分的被積分表達式是函數(shù)值與弧長的乘積，它與曲線L的方向無關(guān).這是兩類曲線積分的一個重要區(qū)別.首頁×第二型曲線積分的性質(zhì)1.若第二型曲線積分存在，則其中為常數(shù).首頁×2.若L可分成k條有向光滑曲線弧則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!首頁×在有向光滑曲線

上連續(xù),t=α對應(yīng)曲線L的起點t=β對應(yīng)于曲線L的終點，則二、第二型曲線積分的計算首頁×對空間有向光滑曲線L:

參數(shù)t=α對應(yīng)曲線L的起點t=β對應(yīng)于曲線L的終點，則首頁×例1計算其中L分別沿如圖所示路線⑴直線AB解直線AB的參數(shù)方程為所以首頁×例1計算其中L為⑵ACB(拋物線：y=2(x–1)2+1)解拋物線ACB的方程為所以y=2(x–1)2+1首頁×例1計算其中L為⑶ADBA(三角形周界)解直線AD的參數(shù)方程為所以直線DB的參數(shù)方程為所以首頁×沿直線BA的線積分：所以首頁×例2計算這里L：⑴沿拋物線y=2x2,從O到B解⑴⑵沿直線段OB:y=2x;⑶沿封閉曲線OABO

⑵⑶首頁×例3計算第二型曲線積分

L是螺旋線：x=acost,y=asint,z=bt從t=0到t=π上的一段.首頁×例.

設(shè)在力場

作用下,質(zhì)點由沿L移動到解

(1)

(2)L的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中L為首頁×例.

求其中從z軸正向看為順時針方向.解

取的參數(shù)方程

首頁×三、兩類曲線積分的聯(lián)系設(shè)L為從A到B的有向光滑曲線，以弧長s為參數(shù)，的參數(shù)方程為其中l(wèi)為曲線L的長度.設(shè)曲線L上每一點的切線方向則L切向量的方向余弦為指向弧長增加的一方.首頁×于是兩類曲線積分有如下聯(lián)系即其中是曲線L切向量的方向余弦.首頁×在三維空間上，有其中是曲線L切向量的方向余弦.首頁×1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐