第7章 時間序列分析

第七章時間序列分析平穩(wěn)性、ARIMA模型與向量自回歸單位根、趨勢平穩(wěn)、差分平穩(wěn)與協(xié)整自回歸條件異方差實證分析近年來，時間序列是計量經(jīng)濟領(lǐng)域研究的熱點，許多經(jīng)濟學院校也將時間序列分析作為必修課程。單一的章節(jié)無法對時間序列分析進行全面論述，所以本章只側(cè)重介紹該領(lǐng)域的一些基本概念，包括時間序列的平穩(wěn)性概念、時間序列分析中的Box-Jenkins和向量自回歸（VAR）法、隨機游走模型和各種單位根檢驗法、偽回歸、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)模型、協(xié)整的基本概念以及自回歸條件異方差模型等。第一節(jié)平穩(wěn)性、ARIMA模型與向量自回歸平穩(wěn)性Box-Jenkins方法向量自回歸7.1.1平穩(wěn)性我們考慮1978－2005年我國的消費和收入曲線圖（如圖7.1）。該圖是用Eviews軟件繪制的。圖7.1中的數(shù)據(jù)為1978－2005年的實際值，兩條曲線都表現(xiàn)為持續(xù)上升，這說明兩數(shù)據(jù)可能存在時間趨勢。實際上對于這兩個時間序列，在時并不會收斂，同時并不依概率收斂于某一有限的正定矩陣，由此估計時必須應(yīng)用非標準的漸近理論。

圖7.1我國的收入和消費數(shù)據(jù)首先，我們定義平穩(wěn)性的概念。對于一個時間序列過程，如果其均值和方差是與時間無關(guān)的常數(shù)，其協(xié)方差由給出，也即協(xié)方差只與時間間隔有關(guān)，而與時間本身無關(guān)，那么稱此時間序列過程為協(xié)方差平穩(wěn)（或弱平穩(wěn)）。為檢驗時間序列的弱平穩(wěn)性，可以計算其自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)定義為＝和的相關(guān)系數(shù)

＝，這些相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1和1之間。Sample:19782005Includedobservations:28AutocorrelationPartialCorrelationAC

PAC

Q-Stat

Prob

.|******|

.|******|10.7230.72316.2490.000

.|****|

.|.|20.5390.03525.6300.000

.|***|

.|.|30.4020.00231.0620.000

.|**.|

.|.|40.3010.00234.2280.000

.|**.|

.|.|50.219-0.01235.9860.000

.|*.|

.|.|60.1700.01937.0880.000

.|*.|

.|.|70.1470.03637.9560.000

.|*.|

.|.|80.1340.02138.7080.000

.|*.|

.|.|90.1210.00939.3530.000

.|*.|

.|.|100.1080.00539.8960.000

.|*.|

.|.|110.091-0.00640.3020.000

.|*.|

.|.|120.067-0.01740.5380.000圖7.2消費的自相關(guān)圖對于一個平穩(wěn)過程，隨著滯后期s增加，會很快下降。而對于一個非平穩(wěn)序列，下降很慢，如圖7.2所示的消費序列。下面我們將介紹一種常見的時序建模方法——Box和Jenkins（1970）方法。該方法應(yīng)用樣本自相關(guān)函數(shù)來確定一個時間序列是否平穩(wěn)。7.1.2Box-Jenkins方法這種方法適用于自回歸積分移動平均模型（AutoregressiveIntegratedMovingAverage,ARIMA）。Box-Jenkins方法是先對非平穩(wěn)的時間取差分，再看差分后的序列的樣本自相關(guān)圖是否平穩(wěn)。簡單的說，如果對一個序列取1次、2次或3次差分后轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)過程，那么我們說這一序列的積分階數(shù)為1、2或3。這樣可以用生成的平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，來識別所需要的最適AR和MA過程階數(shù)。和間的偏相關(guān)函數(shù)是消除中間變量 影響后的相關(guān)系數(shù)，具體參見Box和Jenkins

（1970）。

圖7.3描繪了由

生成的的AR（1）過程，其中～i.i.d.N(0,4)，T=250。圖7.4顯示這個AR（1）過程的自相關(guān)函數(shù)值隨s的增加而呈幾何遞減。類似地，圖7.5描繪了由

生成的MR（1）過程，其中～i.i.d.N(0,4)，T=250。圖7.6說明了在第一個滯后期后這個MR（1）過程的自相關(guān)函數(shù)值立刻降為0。應(yīng)該指出的是，ARIMA方法并不是十分精確的，但它提供了一個可行的估計方法。ARIMA模型采用最大似然法進行估計，而且必須進行一些診斷檢驗，一個常用的檢驗是看其殘差是否為白噪音，如果無法通過檢驗，則應(yīng)采用其他估計方法。圖7.3AR（1）過程，Sample:1250Includedobservations:250AutocorrelationPartialCorrelationAC

PAC

Q-Stat

Prob

.|*****|

.|*****|10.6050.60592.6570.000

.|***|

.|*|20.4350.108140.620.000

.|**|

.|.|30.3020.004163.930.000

.|**|

.|*|40.2940.132186.130.000

.|**|

.|.|50.235-0.004200.300.000

.|*|

*|.|60.129-0.099204.560.000

.|*|

.|.|70.0820.007206.300.000

.|.|

*|.|80.019-0.063206.390.000

.|.|

.|.|90.0100.002206.420.000

.|.|

.|.|10-0.018-0.011206.500.000

.|.|

.|.|11-0.057-0.054207.360.000

*|.|

*|.|12-0.124-0.093211.430.000圖7.4AR（1）過程的自相關(guān)圖圖7.5MA（1）過程，Sample:1250Includedobservations:250AutocorrelationPartialCorrelationAC

PAC

Q-Stat

Prob

.|**|

.|**|10.2140.21411.6410.001

*|.|

*|.|2-0.072-0.12312.9500.002

*|.|

.|.|3-0.059-0.01613.8420.003

.|*|

.|*|40.1050.12216.6850.002

.|*|

.|.|50.1160.06020.1680.001

.|.|

.|.|6-0.012-0.03920.2040.003

.|.|

.|.|7-0.0190.02120.2940.005

.|.|

.|.|8-0.043-0.05320.7690.008

.|.|

.|.|90.0120.01220.8060.014

.|.|

.|.|100.0330.02121.0930.020

.|.|

.|.|110.009-0.00121.1160.032

*|.|

*|.|12-0.084-0.08022.9810.028圖7.6MA（1）過程的自相關(guān)圖如果一時間序列是白噪音，則其各項有相同的均值和方差，且自相關(guān)系數(shù)為0，即對于有

。實際上，對于一白噪聲序列，當 時， 近似服從N(0,1)分布。為檢驗

的聯(lián)合假設(shè)，可采用Box和Pierce（1970）的Q統(tǒng)計量

（7.1）

這個統(tǒng)計量在零假設(shè)下近似地服從分布。在小樣本中更具有說服力的是Ljung和Box（1978）的QLB統(tǒng)計量

（7.2）QLB統(tǒng)計量在零假設(shè)下也近似地服從 分布。Maddala（1992）認為Q和QLB統(tǒng)計量不適用于自回歸模型。這兩個統(tǒng)計量不適用的原因與Durbin-Watson統(tǒng)計量不適用于自回歸模型類似。Maddala（1992）認為應(yīng)該使用Godfey（1979）提出的LM統(tǒng)計量來檢驗ARMA模型的適用性。對前面T=28的消費序列，的95％置信區(qū)間為

也即

。圖7.2將95%置信區(qū)間描繪成圍繞0的兩條直線。很明顯，到顯著不為0，而且其樣本自相關(guān)系數(shù)隨滯后期數(shù)s的增加而緩慢下降。此外，QLB統(tǒng)計量在滯后期為1、2一直到12時都是統(tǒng)計顯著的?；跇颖咀韵嚓P(guān)圖和Ljung－Box統(tǒng)計量，該消費序列不是完全的隨機白噪聲。圖7.7繪出了 的樣本自相關(guān)圖，注意到QLB統(tǒng)計量在滯后期為1、2一直到12時都是統(tǒng)計顯著的，說明消費序列的一階差分不是完全的隨機白噪聲。圖7.8繪出了

的樣本自相關(guān)圖，其自相關(guān)系數(shù)和QLB統(tǒng)計量在各滯后期均不顯著，說明消費序列需要差分一次或二次后才會變?yōu)槠椒€(wěn)。Sample:19782005Includedobservations:27AutocorrelationPartialCorrelationAC

PAC

Q-Stat

Prob

.|*****|

.|*****|10.6300.63011.9640.001

.|***|

.|*.|20.4450.08018.1790.000

.|**.|

.|.|30.305-0.00621.2160.000

.|**.|

.|.|40.2390.04823.1660.000

.|*.|

.|.|50.170-0.01324.2000.000

.|*.|

.*|.|60.085-0.06624.4690.000

.|.|

.|.|70.0530.01724.5800.001

.|.|

.|.|80.014-0.02924.5880.002

.|.|

.|.|9-0.029-0.04924.6250.003

.|.|

.|.|10-0.0130.05624.6330.006

.|.|

.|.|11-0.0070.00724.6350.010

.|.|

.|.|120.0090.01624.6400.017圖7.7消費序列一階差分后的自相關(guān)圖Sample:19782005Includedobservations:26AutocorrelationPartialCorrelationAC

PAC

Q-Stat

Prob

.|**.|

.|**.|10.2750.2752.20170.138

.*|.|

.**|.|2-0.103-0.1932.52400.283

.**|.|

.**|.|3-0.274-0.2104.89700.179

.*|.|

.*|.|4-0.186-0.0736.04140.196

.*|.|

.*|.|5-0.152-0.1636.84640.232

.|.|

.|.|6-0.021-0.0346.86320.334

.|.|

.|.|70.037-0.0486.91510.438

.|.|

.|.|80.046-0.0517.00070.537

.|.|

.|.|90.014-0.0417.00920.636

.|.|

.|.|10-0.019-0.0567.02600.723

.|.|

.|.|11-0.043-0.0557.11460.790

.|.|

.|.|12-0.019-0.0257.13330.849圖7.8消費序列二階差分后的自相關(guān)圖建立經(jīng)濟模型的難點在于如何確定ARIMA模型或動態(tài)回歸模型中的滯后期數(shù)。Granger等（1995）認為利用假設(shè)檢驗來設(shè)定基于數(shù)據(jù)的模型是有缺陷的。他們提議使用模型選擇準則來設(shè)定模型。Box-Jenkins方法很受以預(yù)測為目的的研究者歡迎，他們認為這方法比以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)的聯(lián)立方程模型要實用得多。Box-Jenkins模型允許序列非平穩(wěn)，并且能處理時間序列的季節(jié)性。然而，Box-Jenkins模型的不足之處在于缺乏經(jīng)濟理論基礎(chǔ)，同時，不能用于檢驗經(jīng)濟假說或提供關(guān)鍵彈性參數(shù)的估計。因此，這種方法不能用來模擬稅收政策或政府其他政策改變的影響。經(jīng)濟學家們從Box-Jenkins方法中學習到，在選擇時間序列動態(tài)模型中的參數(shù)時要非常小心。經(jīng)濟學中另一個常用的預(yù)測方法是由Sims（1980）提出的向量自回歸（VAR）方法。本章做一簡要介紹。7.1.3向量自回歸Sims（1980）認為，既然聯(lián)立方程組模型研究的變量間有復(fù)雜的交互作用，那么人為假設(shè)哪些變量內(nèi)生、哪些變量外生就缺乏充分根據(jù)，而且會產(chǎn)生錯誤。因此，他建議用向量自回歸模型（VAR）來預(yù)測宏觀時間序列。VAR模型假設(shè)所有的變量都是內(nèi)生的。例如，考慮下面的三組宏觀序列：貨幣供給、利率、產(chǎn)出。VAR對這三個內(nèi)生變量所構(gòu)成的向量做關(guān)于其滯后向量的自回歸方程。VAR模型可以包括一些外生變量，如趨勢、季節(jié)性等。如果我們對每個內(nèi)生變量取滯后5期，那么每個方程有16個參數(shù)需要估計（假設(shè)有常數(shù)項）。如貨幣供給方程的解釋變量包含5個滯后的貨幣變量、5個滯后的利率變量和5個滯后的產(chǎn)出變量。又由于每個方程的參數(shù)都不一樣，所以在無約束的VAR中，需要估計的總參數(shù)個數(shù)將達16×3＝48個。隨著滯后期數(shù)m和方程個數(shù)g的上升，自由度問題變得很嚴重，實際上需要估計的參數(shù)個數(shù)為mg+mg2。在小樣本模型中，參數(shù)可能無法得到準確估計，因此只能考慮簡單的VAR模型。由于模型中各方程的解釋變量都相同，因此對其進行似無相關(guān)估計（SUR）等同于對各個方程進行OLS估計。若假設(shè)正態(tài)分布，還可以進行似然比檢驗。似然比檢驗的一個重要的應(yīng)用是確定滯后長度。以滯后階數(shù)m的模型為約束模型，以滯后階數(shù)q（q>m）的模型為無約束模型，分別得到似然值。在零假設(shè)下似然比（LR）統(tǒng)計量服從 分布。在估計無約束模型時參數(shù)個數(shù)為（qg2+g），因此樣本數(shù)T應(yīng)該足夠大。當然，我們還可以增加約束條件以減少所需要估計的參數(shù)，但這又重新引入了一些特定約束，而與VAR的主旨相悖。貝葉斯VAR方法被認為在預(yù)測方面有優(yōu)勢，（參見Litterman,1986），但同時也由于缺乏經(jīng)濟理論基礎(chǔ)而受到批評。VAR模型也可用于Grange因果關(guān)系檢驗。如對一兩個方程的VAR，只要該VAR模型設(shè)定正確且沒有遺漏變量，我們就可以檢驗“y1不是y2的Granger原因”。把y2對y2的m期滯后以及y1的m期滯后做回歸，再將y2只對y2

的m期滯后做回歸，之后就用一個簡單的F檢驗來檢驗y1的滯后是否聯(lián)合顯著。統(tǒng)計量漸近服從 分布。存在的問題是Grange因果關(guān)系檢驗可能對滯后期數(shù)m敏感，詳見Gujarati（1995）。對無約束條件下的VAR模型參數(shù)估計和檢驗的更多分析可參考Hamilton（1994）和Lvtkepohl（2002）。第二節(jié)單位根、趨勢平穩(wěn)、差分平穩(wěn)與協(xié)整單位根趨勢穩(wěn)定和差分穩(wěn)定協(xié)整7.2.1單位根如果一時間序列由隨機過程 生成，其中～ ，則該時間序列被稱為隨機游走。一些股票市場分析師認為股票的價格就是一個隨機游走序列，也就是說今天的股票價格等于昨天的價格加上一個隨機沖擊。這是一個非穩(wěn)定的時間序列，任何對股票價格的沖擊是永久存在的，而不會像AR（1）過程那樣消失掉。實際上，如果股票初始價格為 ，則有

且有

，～

。

因此xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，是一個非平穩(wěn)序列。實際上，當

時，

。然而，我們對xt

取一階差分得到的卻是一個平穩(wěn)序列。圖7.9繪出了當T=250時由

，～i.i.d.N(0,4)生成的隨機游走序列。圖7.10表明這個隨機游走過程的自相關(guān)函數(shù)隨著s的增加而保持不變。注意到一個隨機游走序列就是一個當

時的AR（1）過程 ，因此，平穩(wěn)性檢驗實際就是檢驗

或檢驗單位根是否存在。圖7.9隨機游走過程Sample:1250Includedobservations:250AutocorrelationPartialCorrelationAC

PAC

Q-Stat

Prob

.|*******|

.|*******|10.9670.967236.790.000

.|*******|

.|.|20.935-0.014458.850.000

.|*******|

.|.|30.9040.007667.300.000

.|*******|

.|.|40.8760.030863.870.000

.|*******|

.|.|50.847-0.0381048.20.000

.|******|

.|.|60.8190.0161221.50.000

.|******|

*|.|70.787-0.0831382.10.000

.|******|

.|.|80.755-0.0251530.50.000

.|******|

.|.|90.720-0.0551666.20.000

.|*****|

.|.|100.6900.0341791.00.000

.|*****|

.|*|110.6650.0741907.40.000

.|*****|

*|.|120.637-0.0592014.90.000圖7.9隨機游走過程的自相關(guān)圖引入滯后算子L，我們可以將隨機游走序列寫成

；一般來說，任何的自回歸模型都可以寫成 的形式（A（L）是關(guān)于L的多項式）。如果A（L）有個根的值為（1-L），則說明有一個單位根。AR（1）模型兩邊同時減xt-1可以得到

（7.3）

其中

， 是xt的一階差分。通過以?xt為因變量，xt-1為自變量的回歸可以檢驗假設(shè)H0:ρ=1（即檢驗假設(shè)H0:δ=0）。由于εt

是平穩(wěn)的，因此如果δ=0，?xt=εt則xt是差分平穩(wěn)的，也即一階差分后變?yōu)槠椒€(wěn)。這種情況下稱隨機變量xt為一階單整，記為I（1）。如果需要二階差分才能使其變?yōu)槠椒€(wěn)，則隨機變量xt為二階單整，記為I（2）。平穩(wěn)序列記為I（0）。Dickey和Fuller（1979）證明在H0：

δ=0假設(shè)條件下（7.3）式回歸得到的t統(tǒng)計量不服從t分布。實際上這個t統(tǒng)計量服從一非標準分布，參見Bierens（2001）。為此，Dickey和Fuller通過MonteCarlo模擬得到t統(tǒng)計量＝ 的臨界值，并由MacKinnon（1991）進一步擴展。如果|t|超過臨界值，可以拒絕H0：ρ=1的零假設(shè)，也就意味著我們無法拒絕原時間序列平穩(wěn)的零假設(shè)。若無法拒絕H0：ρ=1的假設(shè)，則無法拒絕單位根存在的假設(shè)，也無法拒絕原時間序列非平穩(wěn)。注意到若無法拒絕H0，可能同時也無法拒絕ρ=0.99，或者更正式地說，單位根檢驗的弱點在于，無法區(qū)分單位根過程和接近單位根的平穩(wěn)過程。實際上Dickey－Fuller檢驗經(jīng)常采用以下三種形式：

（7.4）

（7.5）

（7.6）

其中，t代表時間變量。（7.4）式、（7.5）式和（7.6）式單位根存在的零假設(shè)都是H0：δ=0，但三種模式下相應(yīng)t統(tǒng)計量所對應(yīng)的臨界值不同。TSP、SHAZAM、Eviews和LIMDEP均給出了Dickey－Fuller統(tǒng)計量的適當臨界值。其他單位根檢驗方法參見Phillips和Perron（1998）以及Bierens和Guo（1993）。如果一個序列有趨勢項和漂移項，那么應(yīng)該選擇方程（7.6）式；若有趨勢項而無漂移項，則選擇方程（7.5）式；在實際經(jīng)濟數(shù)據(jù)中，如（7.4）式那樣不包含常數(shù)項或趨勢項的較少見。Box-Jenkins方法是對時間序列差分，然后看差分后序列的樣本自相關(guān)圖來判斷序列的平穩(wěn)性，而Dickey－Fuller檢驗則對單位根是否存在進行正式檢驗。Maddala（1992）建議讀者在判斷一時間序列是否是非平穩(wěn)時，應(yīng)該同時觀察其樣本自相關(guān)圖，并進行單位根檢驗。如果擾動項εt是一階自回歸的AR（1）過程，那么要對其進行單位根檢驗，可以通過擴展的Dickey－Fuller檢驗。該檢驗將方程（7.6）式的右邊擴展為包含?xt-1的項，即

（7.7）這種情況下，對δ=0檢驗的單位根檢驗t統(tǒng)計量允許擾動項存在一階序列自相關(guān)。（7.7）式中擴展的Dickey－Fuller檢驗的漸近分布同（7.6）式中的Dickey－Fuller檢驗一樣，使用相同的臨界值。如果εt服從平穩(wěn)的AR（p）過程，則在方程（7.6）式的右邊加上p項滯后項，即加上 并檢驗xt-1

的系數(shù)是否為零。實際上我們并不知道εt序列自相關(guān)數(shù)據(jù)生產(chǎn)過程，一般做法是引入足夠多期的?xt滯后以使得（7.7）式中的εt不存在序列自相關(guān)。如果干擾項包含有移動平均（MA）項，那么就需要更多期滯后，因為一個MA過程可以看成是一個無窮階自回歸過程，具體參見Ng和Perron（1995）關(guān)于截斷滯后的MonteCarlo模擬。應(yīng)用單位根檢驗的另外兩個重要問題是：（i）若時間序列存在結(jié)構(gòu)變動，如1973年的石油禁運，則較容易接受存在單位根的零假設(shè)（易犯第二類錯誤），參見Perron（1989）。（ii）若數(shù)據(jù)是季節(jié)調(diào)整的，也較容易接受存在單位根檢驗的零假設(shè)，參見Ghysels和Perron（1992）。出于這個原因，Davidson和MacKninnon（1993）建議使用非季節(jié)調(diào)整的數(shù)據(jù)。對存在趨勢項和漂移項的消費序列做以下回歸：

（7.8）

括號內(nèi)的數(shù)值為t統(tǒng)計量。零假設(shè)為回歸中Ct-1

的系數(shù)為零。表7.1給出了Dickey－Fuller的t統(tǒng)計量（-0.42）以及相應(yīng)的5%臨界值（-3.5875）。表7.1為Eviews運行結(jié)果。其中@TREND(1978)表示從1978年開始的時間趨勢。由于所計算出的t統(tǒng)計量沒有超過相應(yīng)的臨界值，因此無法拒絕單位根存在的零假設(shè)?？梢缘玫浇Y(jié)論，Ct是不平穩(wěn)的。這也印證了我們在圖7.2中所給出的Ct

樣本自相關(guān)圖所得到的結(jié)果?？紤]到擾動項可能存在序列自相關(guān)，我們把?Ct-1和?Ct-2引入方程（7.8）式中，我們可以得到：

（7.9）由于Ct-1

系數(shù)的t統(tǒng)計量仍然沒有超過相應(yīng)的5％臨界值（-3.6032），因此我們在考慮擾動項二階自相關(guān)時仍無法拒絕Ct

非平穩(wěn)的零假設(shè)。我們也可以檢驗其一階差分序列是否平穩(wěn)。令，運行以下的回歸：（7.10）表7.1Dickey-Fuller檢驗NullHypothesis:CONSUMPTIONhasaunitrootExogenous:Constant,LinearTrendLagLength:0(Fixed)t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic

0.422328

0.9983Testcriticalvalues:1%level-4.3393305%level-3.58752710%level-3.229230*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.AugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariable:D(CONSUMPTION)Method:LeastSquaresSample(adjusted):19792005Includedobservations:27afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

CONSUMPTION(-1)0.0140310.0332230.4223280.6765C-789.4701841.2434-0.9384560.3574@TREND(1978)278.6287114.09852.4420030.0223R-squared0.743859

Meandependentvar3506.630AdjustedR-squared0.722514

S.D.dependentvar2984.976S.E.ofregression1572.395

Akaikeinfocriterion17.66303Sumsquaredresid59338198

Schwarzcriterion17.80701Loglikelihood-235.4509

F-statistic34.84918Durbin-Watsonstat0.676174

Prob(F-statistic)0.000000

系數(shù)的t統(tǒng)計量為－0.22，大于5％的顯著性水平－2.9810，因此我們無法拒絕一階差分序列單位根存在的假設(shè)。系數(shù)的t統(tǒng)計量為－3.65，小于5％的顯著性水平－2.9862，也就是說，我們拒絕了二階差分序列單位根存在的假設(shè)。這也印證了我們在圖7.7和圖7.8中所給出的?Ct、?2Ct

樣本自相關(guān)圖所得到的結(jié)果，于是可以得出結(jié)論，Ct是I（2）過程。上述所有的單位根檢驗都是以序列非平穩(wěn)作為零假設(shè)，而以序列平穩(wěn)作為備擇假設(shè)。由Kwaitowski等（1992）、Leybourne和McCabe（1994）給出的兩個單位根檢驗以序列平穩(wěn)作為零假設(shè)，而以序列非平穩(wěn)作為備擇假設(shè)。前者就是KPSS檢驗，類似于Dickey－Fuller檢驗；后者是Leybourne－McCabe檢驗，類似于擴展的Dickey－Fuller檢驗。7.2.2趨勢穩(wěn)定和差分穩(wěn)定許多宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)都有以下兩種上升趨勢之一：

趨勢穩(wěn)定：（7.11）

差分穩(wěn)定：（7.12）

其中εt是穩(wěn)定的。模型（7.11）式包含一個確定性趨勢和一個平穩(wěn)過程，，隨t變化而變化。而模型（7.12）式是一個帶漂移項的隨機游走過程。(7.12)式中的位移參數(shù)γ和（7.11）式中的β參數(shù)作用相同，兩者都使xt隨時間推移而向上移動。模型（7.11）式的作用類似于在回歸中引入時間趨勢，使得回歸變量去除趨勢而變得平穩(wěn)。只有當每個回歸變量都服從式（7.11）式的過程時，去除趨勢才是有意義的。此外，模型（7.12）式需要經(jīng)過差分才能得到平穩(wěn)序列。去除趨勢和差分法是使時間序列平穩(wěn)的兩種完全不同的方法。選擇（7.11）式或（7.12）式應(yīng)基于單位根檢驗。關(guān)于這兩個模型更多的理論可參考Nelson和Plosser（1982）以及Stock和Waston（1988）。Nelson和Plosser對美國的所有宏觀歷史數(shù)據(jù)進行了Dickey－Fuller檢驗，發(fā)現(xiàn)除失業(yè)率外的所有時間序列都是差分穩(wěn)定的。Plosser和Schwert（1978）也認為分析大部分宏觀時間序列時，最好先進行差分，而不應(yīng)不作任何處理。原因是，如果這些序列是差分平穩(wěn)的，那么對原數(shù)據(jù)回歸所得到的統(tǒng)計量將不再適用，其分布發(fā)生了變化。此外，如果原數(shù)據(jù)是趨勢穩(wěn)定的，那么對模型差分后得到的誤差項是移動平均形式的，忽略該問題會使模型的估計量無效。需要強調(diào)的是，如果回歸變量不平穩(wěn)，則標準漸近理論不再適用，而用這些變量回歸得到的t和F統(tǒng)計量也不再服從標準分布，具體參見Durlauf和Phillips（1988）。Granger和Newbold（1974）探討了對非平穩(wěn)時間序列回歸所產(chǎn)生的一些問題。他們指出，如果xt和yt是相互獨立的隨機游走過程，將yt對xt回歸，應(yīng)該會發(fā)現(xiàn)yt

和xt間沒有明顯關(guān)系，也就是說，估計回歸方程

中的β

，估計值應(yīng)該會接近于零且t統(tǒng)計量不顯著。然而，實際情況并非如此，對容量為50的隨機樣本進行試驗且重復(fù)100次，Granger和Newbold發(fā)現(xiàn)|t|的概率為23％，2<|t|<4的概率為24％，|t|>4的概率為53％。Granger和Newbold（1974）稱這種現(xiàn)象為偽回歸，因為回歸所發(fā)現(xiàn)的顯著關(guān)系實際上并不存在。所以，當時間序列包括單位根時，回歸要特別謹慎，盡管OLS回歸可得到較高的R2和顯著的t統(tǒng)計量，但結(jié)果可能并無實際意義。Phillips（1986）研究了偽回歸的漸近性質(zhì)，并肯定了上述結(jié)論。實際上，Phillips證明了當T→∞時，對假設(shè)H0:β=0檢驗的t統(tǒng)計量依概率收斂于∞。這意味著當T→∞時，t統(tǒng)計量拒絕原假設(shè)H0:β=0的概率為1。如果xt和yt是如（7.11）式所描述的相互獨立的趨勢穩(wěn)定序列，那么當T→∞時，yt對xt回歸得到的R2將會趨于1，具體參見Davidson和MacKinnon（1973）。更全面的論述參見Granger（2001）。7.2.3協(xié)整繼續(xù)之前的消費－收入例子。將對回歸，得到（7.13）

可以證明Ct和Yt都是非平穩(wěn)序列。由于我們對兩個非平穩(wěn)序列做回歸，所以（7.13）式可能是偽回歸，回歸得到的t和F統(tǒng)計量可能是無效的。Ct和Yt

都是非平穩(wěn)的，圖7.1顯示兩者都有上升均衡，這兩個隨機游走過程可能是同步的。協(xié)整背后的思想是，如果Ct和Yt

間的某一線性組合是平穩(wěn)的，則稱變量Ct和Yt

間存在協(xié)整關(guān)系。更正式的表達是，如果Ct和Yt

都是I（1）過程，且它們的某一線性組合 是I（0）過程，那么Ct和Yt

間存在協(xié)整關(guān)系，β為協(xié)整參數(shù)。這個定義可以擴展到多變量的情況，若各變量均有一個單位根，且存在某個線性組合是平穩(wěn)過程，那么我們說這些變量所構(gòu)成的向量是協(xié)整的。協(xié)整關(guān)系可解釋為，向量內(nèi)各個組成部分間存在的長期穩(wěn)定關(guān)系。經(jīng)濟中長期關(guān)系的例子有貨幣數(shù)量論、購買力平價以及消費的恒久收入理論等。需要強調(diào)的是，對非平穩(wěn)時間序列取差分會破壞這些經(jīng)濟變量間長期關(guān)系中一些重要的、有價值的信息。而協(xié)整理論應(yīng)用非平穩(wěn)序列本身而非它們的一階差分來估計它們間的長期關(guān)系。為了解釋該方法，我們給出格蘭杰表達定理（GrangerRepresentationTheorem）的一個應(yīng)用，該理論說明協(xié)整變量總能通過一個誤差修正模型來表達。讓我們基于Engle和Granger（1987）年提出的理論來說明。假設(shè)Ct和Yt

，t＝1，2，……T，都是I（1）過程，并通過下面兩式生成

（7.14）

其中

，且|ρ|<1

（7.15）

其中

，且α=β

也即，εt服從平穩(wěn)的AR（1）過程，而νt是一隨機游走過程。假設(shè)服從相互獨立的雙元正態(tài)分布，均值為

零，方差為

。首先，我們可以得到用εt和νt表示的Ct和Yt

的簡約式，由下式給出：

（7.16）（7.17）由于εt

是I（0）過程，而νt是I（1）過程，由（7.16）和（7.17）式，的Ct和Yt

實際上是I（1）過程。根據(jù)聯(lián)立方程識別的階條件，由（7.14）和（7.15）式所得到的方程組是不可識別的，因為每個方程都沒有排他性限制。但如果我們構(gòu)造（7.14）和（7.15）式兩個結(jié)構(gòu)方程的線性組合，所得到的擾動項分布既不是平穩(wěn)的AR（1）過程，也不是隨機游走，那么（7.14）和（7.15）式都是可識別的。注意到如果ρ=1，那么εt是隨機游走過程，εt

和νt的線性組合也是隨機游走，這種情況下（7.14）和（7.15）式都是不可識別的。根據(jù)Engle－Granger的定義，Ct?βY被稱為協(xié)整關(guān)系，而(1,?β)稱為協(xié)整向量。這個協(xié)整關(guān)系是唯一的，可以用反證法來證明。假設(shè)還存在另一個協(xié)整關(guān)系Ct?γY，Ct?γY是I（0）過程，那么兩個協(xié)整關(guān)系的差(γ?β)Yt也應(yīng)該是I（0）過程。注意到Y(jié)t是I（1）過程，當且僅當γ=β，上述結(jié)論才會對Yt的每個取值都成立。對（7.14）和（7.15）式取差分，并把兩個差分方程寫成包含(?Ct,?Yt)’的方程組，可以得到：

（7.18）通過將ηt代替?νt，將

代替?εt

，以及將

代替εt-1

，可以得到第二個等式。在（7.18）式兩邊都乘以左邊系數(shù)的逆，可以得到以下VAR模型：

（7.19）

其中ht

和gt分別為ut

和ηt

的線性組合。注意到如果ρ=1，那么VAR方程中就不包括水平變量Ct-1和Yt-1

。令

，并定義 ，那么（7.19）式中的VAR方程可以寫成以下形式：

（7.20）

（7.21）這就是誤差修正模型（Error-CorrectionModel,ECM）的最基本形式。Zt-1

是誤差修正項，它代表了偏離長期均衡的不平衡項。注意到如果ρ=1，那么δ=0，且ECM中將不包含Zt-1

。正如Banerjee等（1993）所指出的，ECM模型的“貢獻在于解決或協(xié)調(diào)了時間序列分析者和偏好計量方法者之間的爭論?！鼻罢咧荒軕?yīng)用于經(jīng)過差分后能合理地被假設(shè)為平穩(wěn)的時間序列，而后者則側(cè)重于分析水平數(shù)據(jù)間的均衡關(guān)系。前者可能因差分而損壞了長期均衡關(guān)系，而后者忽視了偽回歸問題。相反地，ECM模型同時使用水平數(shù)據(jù)和差分數(shù)據(jù)分析協(xié)整關(guān)系，更多的分析可參考Banerjee等（1993）。為檢驗兩變量間是否有協(xié)整關(guān)系，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法。 第一步，用OLS估計(7.14)式，得到β的估計量，該估計量是超一致的（superconsistent），也即當T∞時,。用計算 。第二步，用而不是Zt-1

，采用OLS法估計（7.20）式和（7.21）式的ECM模型。Banerjee等（1993）進行了充分的MonteCarlo模擬以研究小樣本下的偏倚。另一種檢驗方法是由Johansen（1988）提出的最大似然法。關(guān)于協(xié)整文獻的詳細介紹可以參考Dolado等（2001）。Engle和Ganger（1987）給出了協(xié)整的正式檢驗。該方法是先回歸（7.13）式，再檢驗殘差是否有單位根。也就是說，對回歸（7.13）式得到的殘差應(yīng)用DF檢驗或ADF檢驗。實際上，如果Ct和Yt不是協(xié)整的，那么它們間的任意線性組合都是非平穩(wěn)的。由于檢驗的對象是回歸得到殘差項，所以它們的近似分布不同于通常的單位根檢驗。Davidson和MacKinnon（1993）給出了該協(xié)整檢驗的漸近臨界值。例如，對于消費方程的殘差項進行DF檢驗：

（7.22）Davidson和MacKinnon（1993）給出的協(xié)整檢驗的5％漸近臨界值為－2.98。由于所得到的t值大于臨界值，所以無法拒絕非平穩(wěn)的零假設(shè)。還可以加上殘差的兩期滯后差分和趨勢項，通過擴展的DF檢驗也無法拒絕單位根存在的假設(shè)。因此，該兩個I（1）過程不是協(xié)整的。這說明通過回歸得到的關(guān)系是假的。如果兩個變量都是I（1），那么除非這兩個變量是協(xié)整的，否則一個變量對另一個變量回歸將會得到偽回歸。當然，一般回歸中可能遺漏了其他I（1）變量，加入遺漏變量后，有可能得到協(xié)整關(guān)系。也就是說，因為遺漏變量問題而使得兩I（1）過程不具協(xié)整關(guān)系。第三節(jié)自回歸條件異方差金融時間序列（如匯率、通貨膨脹、股票價格等）可能會隨時間的變化而出現(xiàn)條件異方差問題。通貨膨脹和匯率的變動可能是由于政府政策的變化，而股票價格的變動可能會受某個公司并購或托管等傳言的影響。這就暗示著這些時間序列可能存在異方差的問題。Engle（1982）年通過將t時刻的擾動項條件方差對近期的擾動項平方回歸，建立該類異方差模型。一個簡單的自回歸條件異方差（AutoregressiveConditionallyHeteroskeastic）模型由下式給出：

（7.23）

其中?t說明解釋變量為εt的條件方差，包含時刻t之前可獲得的所有信息。在（7.23）式中，εt的條件方差對的p階滯后項回歸，稱為ARCH（p）過程。由于（7.23）式左邊是方差，意味著所有γi（i=0,1,…p）都必須是非負的。Engle（1982）給出了一個簡單的同方差檢驗，對零假設(shè)

的檢驗，可以應(yīng)用一般的F檢驗得到，即將回歸殘差項的平方對其滯后期（

）和常數(shù)項回歸得到，多數(shù)計量軟件都會報告檢驗解釋變量聯(lián)合顯著性的F統(tǒng)計值。另外，可以計算回歸得到的中心化R2，并乘以T，那么在零假設(shè)H0成立時，該統(tǒng)計量服從分布。該檢驗類似于一般的異方差檢驗，不同之處是對OLS殘差平方的滯后項做回歸，而不是對各個解釋變量做回歸。一個簡單的ARCH（1）過程

（7.24）

上式可以通過

生成，其中ut～i.i.d.N(0,1)。通過調(diào)整參數(shù)

以使ut的方差標準化為1，這種情況下εt的條件均值由

給出（在t時刻，是已知的）。同樣地，條件方差也很容易地得到

因為

。同樣，也很容易證明條件協(xié)方差為零

，其中

。無條件均值可以通過重復(fù)取條件期望直到最初期以求得。例如，基于t-1期以前信息的

的期望為顯然所有前期條件期望值都為零，所以＝0。同樣，利用t-1期以前的信息推導(dǎo)

可以得到重復(fù)取條件期望值，最后可以得到當t→∞時，εt的無條件方差為 ，其中|γ1|<1，γ

0>0。因此，ARCH（1）過程是異方差的。ARCH模型的參數(shù)可以用GLS或最大似然法估計。此外，還可以用Davidson和MacKinnon（1993）提出的雙倍長回歸（Double-lengthRegression）法來估計，

（i）基于OLS估計量的一步有效估計量；

（ii）最大似然估計量。本文介紹由Engle（1982）提出的GLS法。回歸模型為

（7.25）

其中Y為T×1向量，X為T×k矩陣。

第一，得到OLS估計量和OLS殘差e。

第二，運行以下回歸：

,得到一個異方差檢驗。

第三，計算 ，并將 對 和

做回歸，估計得到的參數(shù)值記為，通過計算 得到

。

第四，應(yīng)用從第三步得到的重新計算,以及自變量

，j＝1，……，k，其中

（7.26）

第五，用 對

，j＝1，……，k，做回歸，并得到系數(shù)的最小二乘估計量，其中

通過計算

來改進值。如果不全是正的，那么該方法不適用，具體參見

Judgeetal（1985）和Engle（1982）。Bollerslev（1986）擴展了ARCH模型。擴展的ARCH模型（GARCH(p,q)）可以寫成

（7.27）在這種情況下，εt的條件方差取決于它的q期滯后值和εt平方的p期滯后值。最簡單的GARCH(1,1)模型由下式給出

（7.28）GARCH(p,q)的LM檢驗與ARCH(p＋q)的LM檢驗類似。這種檢驗方法是通過將OLS殘差的平方對其（p＋q）期滯后值回歸。檢驗統(tǒng)計量為R2乘以T，在異方差的零假設(shè)下漸近服從 分布。對消費－收入數(shù)據(jù)，為檢驗同方差零假設(shè)，將（7.13）式的殘差對其滯后值做回歸，假設(shè)服從ARCH（1）過程，可以得到

（7.29）回歸得到的F統(tǒng)計量為23.05，在同方差的零假設(shè)下服從 分布。得到的F統(tǒng)計量的p值為0.000。相同條件下得到的LM統(tǒng)計量為R2乘以T，為12.95，在零假設(shè)下服從分布，其p值為0.000。所以我們拒絕同方差的零假設(shè)。這些結(jié)果可以通過運行Eviews得到：點擊使用（7.13）式回歸的殘差檢驗，并選擇滯后1期的ARCHLM檢驗，這個結(jié)果列于表7.2。本章中我們介紹了很多時間序列的基本概念，但僅涉及一些粗淺的內(nèi)容，希望能夠激發(fā)讀者繼續(xù)學習時間序列的興趣。表7.2ARCH檢驗ARCHTest:F-statistic23.04552

Probability0.000062Obs*R-squared12.95082

Probability0.000320TestEquation:DependentVariable:RESID^2Method:LeastSquaresSample(adjusted):19792005Includedobservations:27afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C400916.32430822.0.1649300.8703RESID^2(-1)1.4327990.2984644.8005750.0001R-squared0.479660

Meandependentvar7130007.AdjustedR-squared0.458847

S.D.dependentvar14027920S.E.ofregression10319378

Akaikeinfocriterion35.20813Sumsquaredresid2.66E+15

Schwarzcriterion35.30412Loglikelihood-473.3098

F-statistic23.04552Durbin-Watsonstat0.646454

Prob(F-statistic)0.000062第四節(jié)實證分析數(shù)據(jù)和變量的選取單位根檢驗協(xié)整分析及檢驗誤差修正模型的建立本節(jié)以我國1979-2004年數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),運用協(xié)整分析、向量自回歸、誤差修正模型和格蘭杰因果檢驗理論的分析框架,研究我國稅收和政府支出對經(jīng)濟增長的短期影響與長期關(guān)系。研究結(jié)果表明，我國經(jīng)濟增長與稅收、政府支出之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系；在長期，政府支出與經(jīng)濟增長是正相關(guān)的，而稅收與經(jīng)濟增長負相關(guān)；在短期，滯后兩期的政府支出是經(jīng)濟增長的原因。7.4.1數(shù)據(jù)和變量的選取這里我們使用的數(shù)據(jù)包括，1979-2004年以當期價格核算的GDP，稅收收入（TAX）及政府支出（GOV），其中，稅收收入采用中口徑的稅收，包括預(yù)算內(nèi)和預(yù)算外財政收入，在我國由于小口徑稅收收入并不能真正反映其對資本、勞動和技術(shù)的影響，真正體現(xiàn)這種影響的是大口徑的稅收水平，因此僅僅研究小口徑的稅收對經(jīng)濟增長的影響是不準確的，必須把整個政府收入水平作為研究對象。為保持收支的對稱性，政府支出包括預(yù)算內(nèi)和預(yù)算外的。為消除物價上漲帶來的影響，我們以1978年為基期，利用GDP平減指數(shù)對其余各年的GDP、TAX、GOV進行價格調(diào)整，并將序列GDP、TAX、GOV進行對數(shù)化處理，以消除異方差和數(shù)據(jù)的劇烈波動。其中，LGDP表示GDP的對數(shù)，⊿LGDP表示其一階差分；LTAX表示稅收收入TAX的對數(shù)，⊿TAX表示其一階差分；LGOV表示政府支出GOV的對數(shù)，⊿LGOV表示其一階差分，⊿為差分算子。7.4.2單位根檢驗根據(jù)協(xié)整理論，只有具有相同單整階數(shù)的兩個變量才有可能存在長期均衡關(guān)系。因此，在對三者之間進行協(xié)整分析時，首先用ADF單位根檢驗方法來檢驗時間序列的單整階數(shù)。采用Dickey-Fuller的ADF單位根檢驗，其檢驗的一般方法為：

α、β、δ

、θ

為參數(shù)，t為時間趨勢因素，ε為隨機誤差項，是服從獨立同分布的白噪聲過程。其中檢驗過程中滯后項的確定采用AIC和SC準則，檢驗如表7.3和表7.4所示。表7.3序列的ADF單位根檢驗變量檢驗形式（C，T，K）ADF統(tǒng)計量1%臨界值5%臨界值10%臨界值LGDP（C，0，2）-0.694682-3.2474-2.9907-2.6348（C，T，2）-2.314598-4.3942-3.6118-3.2418（0，0，2）3.169970-2.6649-1.9559-1.6231LTAX（C，0，0）0.439955-3.7076-2.9798-2.6290（C，T，0）-0.871265-4.3552-3.5943-3.2321（0，0，0）3.215128-2.6560-1.9546-1.6226LGOV（C，0，0）-0.412542-3.7076-2.9798-2.6290（C，T，0）-1.592010-4.3552-3.5943-3.2321（0，0，0）2.731109-2.6560-1.9546-1.6226注：檢驗形式（C，T，K）分別表示單位根檢驗方程包括常數(shù)項、時間趨勢項和滯后期，N表示不包括C或T，加入滯后項是為使殘差項為白噪聲。表7.4序列一階差分的ADF單位根檢驗變量檢驗形式（C，T，K）ADF統(tǒng)計量1%臨界值5%臨界值10%臨界值⊿LGDP（C，0，1）-3.713402-3.7343-2.9907-2.6348（C，T，1）-3.700787-4.3942-3.6118-3.2418（0，0，1）-0.656156-2.6649-1.9559-1.6231⊿LTAX（C，0，0）-4.605997-3.7204-2.9850-2.6290（C，T，0）-4.517997-4.3738-3.6027-3.2367（0，0，0）-3.773110-2.6603-1.9552-1.6228⊿LGOV（C，0，0）-3.879150-3.7204-2.9850-2.6318（C，T，0）-3.898820-4.3738-3.6027-3.2367（0，0，0）-3.027606-2.6603-1.9552-1.6228注：檢驗形式（C，T，K）分別表示單位根檢驗方程包括常數(shù)項、時間趨勢項和滯后期，N表示不包括C或T，加入滯后項是為使殘差項為白噪聲。我們原序列進行ADF單位根檢驗，根據(jù)赤池信息標準AIC和貝葉斯標準SC的值選出最可靠的檢驗結(jié)果，檢驗結(jié)果證明原序列是非平穩(wěn)的，因此我們不能對變量進行簡單的回歸方法進行分析。對原序列的一階差分進行的ADF單位根檢驗，在經(jīng)過一階差分之后發(fā)現(xiàn)三個序列是平穩(wěn)的。7.4.3協(xié)整分析及檢驗關(guān)于協(xié)整檢驗，本節(jié)將采用Johansen以及Johansen和Juselius提出的基于向量自回歸VAR（P）模型的分析技術(shù)進行檢驗。在進行檢驗前首先要確定模型的最優(yōu)滯后階數(shù)，這里根據(jù)無約束VAR模型的殘差分析和AIC標準來確定，其最優(yōu)滯后階數(shù)為3。由于協(xié)整檢驗是對無約束VAR模型施以向量協(xié)整約束后的VAR模型，因此進行協(xié)整檢驗選擇的滯后階數(shù)應(yīng)該等于無約束VAR模型的最優(yōu)滯后階數(shù)減1，即協(xié)整檢驗的VAR模型滯后階數(shù)為2。表7.5Johansen協(xié)整檢驗結(jié)果（lags=2）特征值似然比統(tǒng)計量5%臨界值1%臨界值原假設(shè)0.55024635.2542829.6835.65r=00.47026916.8760215.4120.04r≤10.0936722.2621543.766.65r≤2注：r為協(xié)整向量個數(shù)。由表7.5可得，變量LGDP、LTAX、LGOV存在長期均衡關(guān)系，在5%的置信水平下，它們之間有2個協(xié)整關(guān)系，且長期穩(wěn)定的協(xié)整方程為（括號內(nèi)數(shù)值為標準差）：

(0.47539)(0.50154)令其殘差用EC表示，其誤差修正項EC的表達式為：然后對EC進行ADF單位根檢驗，其檢驗形式為有常數(shù)項，有趨勢項，并利用AIC準則確定其滯后期為1，得到的ADF統(tǒng)計值為-3.760631，在5%的置信水平下，其臨界值為-3.6118，說明殘差項EC為平穩(wěn)的，不存在單位根。進一步說明LGDP、LTAX、LGOV之間存在長期穩(wěn)定的關(guān)系。反映長期關(guān)系的協(xié)整方程表明，政府支出與GDP是正相關(guān)的，增加政府支出，可以促進經(jīng)濟增長；而稅收收入TAX與GDP是負相關(guān)的，適當降低稅負，有利于GDP的提高。7.4.4誤差修正模型的建立協(xié)整系統(tǒng)有三種等價的表達形式：向量自回歸模型VAR、移動平均模型MA和誤差修正模型ECM，其中ECM最能直接描述短期波動與長期均衡的綜合，其應(yīng)用最為普遍。向量誤差修正模型（VECM）是一個有約束的VAR模型，并在解釋變量中含有協(xié)整約束，因此它適用于已知有協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)序列。當有一個大范圍的短期動態(tài)波動時，VEC表達式會限制內(nèi)生變量的長期行為收斂于它們的協(xié)整關(guān)系。因為一系列的部分短期調(diào)整可以修正長期均衡的偏離，所以協(xié)整項被稱為是誤差修正項，誤差修正模型是短期動態(tài)模型。當變量序列不平穩(wěn)的時候，采用ECM可以避免偽回歸的問題。我們通過對上面所建立的經(jīng)濟增長、政府支出和稅收收入的長期均衡方程分析，表明存在△LGDP的誤差修正模型：

其中：由于誤差修正模型的滯后階數(shù)是無約束VAR模型的一階差分變量的滯后階數(shù)，根據(jù)無約束VAR模型的最優(yōu)滯后期為3，在此將誤差修正模型的滯后期確定為2，使殘差滿足白噪聲的要求。限于篇幅，本節(jié)只提供了△LGDP的誤差修正模型(括號內(nèi)數(shù)值為t統(tǒng)計值)，如下式所示。

△LGDP=0.088-0.021ECt-1+0.681△LGDPt-1

（0.02001）（0.01206）（0.018836） -0.618△LGDPt-2-0.011△LTAXt-1-0.009△LTAXt-2

（0.19690）（0.01102）（0.01025）從誤差修正模型來看，誤差修正項ECt-1系數(shù)為負，符合反向修正機制，其修正速度為-0.021，也說明稅收收入偏離均衡水平對產(chǎn)出有負面的影響。具體來說，如果協(xié)整方程的誤差修正項是正的，無論是稅收收入過多或過低，都將導(dǎo)致產(chǎn)出降低。本章思考與練習 7.1考慮AR(1)模型

，

其中

，（1）證明如果

，那么對所有的t均有

，

，也即，期望值與方差和時間t無關(guān)。注意到，如果

，那么 為無窮大；如果 ，那么 為負值。（2）證明 ，

即只取決于兩期的距離s。根據(jù)（1）和（2）證明，AR(1)模型是弱平穩(wěn)的。（3）產(chǎn)生一個AR(1)序列，其中T＝250，＝0.25，ρ的取值分別為

。 繪出該AR(1)序列并求出關(guān)于s的自相關(guān)函數(shù)ρs。 7.2考慮MR(1)模型 ，其中（1）證明期望值與方差與時間t無關(guān)，即

，。（2）證明 ，且當 時，有

，即證明