名師課件：高中數(shù)學人教A版 選擇性必修 第二冊 等差數(shù)列的概念

4.2.1等差數(shù)列的概念第一課時復習鞏固1.數(shù)列定義:按照確定的順序排成的一列數(shù),簡記為:{an}2.數(shù)列的分類：(1)按項數(shù)分：有窮數(shù)列，(2)按項之間的大小關系：無窮數(shù)列遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列，常數(shù)列.4.數(shù)列的實質(zhì)：5.數(shù)列的遞推公式:如果已知{an}的首項(或前幾項),且從第二項起任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示,這個公式叫做數(shù)列的遞推公式.3.通項公式:數(shù)列{an}中第n項an與n之間的關系式數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù).

復習鞏固6.數(shù)列的前n項和定義:把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項的和，即

7.求數(shù)列{an}的通項公式方法情景引入通過前面的學習，我們了解了數(shù)列的一般概念后,我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列,建立它們的通項公式和前n項和公式,并運用它們解決實際問題和數(shù)學問題,從中感受數(shù)學模型的現(xiàn)實意義與應用.下面,我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手.請看下面幾個問題中的數(shù)列.探究新知1.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成,最中間是圓形的天心石,圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板,從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9,18,27,36,45,54,63,72,81.①2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型號的女裝上衣對應的尺碼分別是38,40,42,44,46,48.②3.測量上海市垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度,得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度(單位:℃)依次為25,24,23,22,21.③思考：觀察上述數(shù)列中的項，每一項與它前一項之間有什么關系？第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù).解惑提高1.等差數(shù)列：一般地，如果一數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;2.等差數(shù)列定義的符號語言：

一、等差數(shù)列的定義：這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示.（或

an+1-an=

d

n∈N*

）an-an-1=d，(

n≥2)，其中d為常數(shù).

名師點析：(1)定義中強調(diào)“從第2項起”,因為第1項沒有前一項.(2)每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(與n無關).(3)公差d是每一項(從第2項起)與它的前一項的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.1．判斷題(1)數(shù)列a，2a，3a，4a，…是等差數(shù)列

（）(2)數(shù)列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差數(shù)列（）(3)若an－an+1=3(n∈N*)，則{an}是公差為3的等差數(shù)列（）(4)若a2－a1=a3－a2,則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列（）小試牛刀

2.求出下列等差數(shù)列的公差.（1）1，6，11，16，……（2）-8，-6，-4，-2，……（3）10，5，0，-5，……（4）21，19，17，15，……（5）3，3，3，3，……d=5d=2d=-5d=-2d=0思考：觀察所給的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：(1)2,___,4；(2)－1,___,5；(3)a

,_______,b；(4)0,___,0.探究新知320

解惑提高

由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.二、等差中項這三個數(shù)滿足關系式：

若a,b是方程x2-2x-3=0的兩根,則a,b的等差中項為(

)小試牛刀

C探究新知

a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d

…an=an-1+d=a1+(n-1)d(n≥2)又∵當n=1時，上式也成立∴an=a1+(n-1)d方法1：由等差數(shù)列的定義可得不完全歸納法an+1-an=d探究新知

∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d(n≥2)上述各式兩邊同時相加，得an-a1=(n-1)d方法2：∵由等差數(shù)列的定義可得疊加法又∵當n=1時，上式也成立∴an=a1+(n-1)dan+1-an=d∴

an=a1+(n-1)d三、等差數(shù)列的通項公式：若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則

an=a1+(n-1)d解惑提高名師點析(1)等差數(shù)列的通項公式由首項a1和公差d完全確定，已知一個等差數(shù)列的首項和公差確定，該數(shù)列就唯一確定了.(2)等差數(shù)列的通項公式中共涉及an,a1

,n,d這四個變量,已知其中三個量，通過解方程就可以求出第四個量.

(3)從函數(shù)角度認識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則

an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上.小試牛刀在下列等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求an解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10an=a1+(n-1)d典型例題例1.(1)已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=5-2n，求數(shù)列{an}的公差和首項；(2)求等差數(shù)列8，5，2,······的第20項；(3)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，·····的項？如果是，是第幾項？解：(1)由已知得，a1=3,d=a2-a1=1-3=-2,

所以，數(shù)列{an}的公差為-2，首項為3.

（3）由題意得，a1=-5，d=-4，

∵an=a1+(n-1)d=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1

令-4n-1=-401

∴n=100∴-401是這個數(shù)列的第100項（2）依題意得，a1=8，d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49等差數(shù)列通項公式的應用解惑提高求等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧1.等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項公式,只需求出首項與公差.2.等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個數(shù),那么就可以由通項公式求出第四個數(shù),這一求未知量的過程,我們通常稱之為“知三求一”.3.通項公式可變形為an=dn+(a1-d),可把an看作自變量為n的一次函數(shù).

典型例題等差數(shù)列的判定與證明用定義法判定(或證明)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本步驟為:(1)作差an+1-an.(2)對差式進行變形.(3)當an+1-an是一個與n無關的常數(shù)時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當an+1-an不是常數(shù),而是與n有關的代數(shù)式時,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.解惑提高鞏固練習在數(shù)列{an}中,

an=pn+q(p、q是常數(shù))，證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.證明:an+1-an=[p(n+1)+q]-(pn+q)

=

p(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.

課堂小結1.等差數(shù)列定義：an-an-1=d（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)3通項公式