剛體i-運(yùn)動(dòng)學(xué)amp3動(dòng)力學(xué)

華中科技大學(xué)物理學(xué)院姜巍2012年3月21日力學(xué)VII–剛體力學(xué)

MechanicsofRigidBody運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1節(jié)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律第3節(jié)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能第4節(jié)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律第5節(jié)滾動(dòng)與進(jìn)動(dòng)形狀和大小都不改變的物體§3—1剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)

剛體上任意兩點(diǎn)間的連線在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，保持原方向不變。剛體：轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)。一、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)。剛體的一般運(yùn)動(dòng)：既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸的平動(dòng)+繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的描述：剛體的任一位移總可以表示為一個(gè)隨轉(zhuǎn)軸的平動(dòng)加繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+問題：質(zhì)點(diǎn)需要3個(gè)物理量描述，剛體需要幾個(gè)物理量來描述？6個(gè):3個(gè)平動(dòng)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)(歐拉角)質(zhì)心ABA'B'A"B"選哪個(gè)點(diǎn)來代表？2.剛體的平動(dòng)質(zhì)心

連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的一條直線在運(yùn)動(dòng)的各個(gè)時(shí)刻的位置都彼此平行。剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為平動(dòng)。

剛體作平動(dòng)時(shí)，其上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同，故可用任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表剛體整體的運(yùn)動(dòng)。通常用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來代表整體的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)質(zhì)心：質(zhì)量分布的中心質(zhì)心的位矢N個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m1,m2,,mN定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心注意密度均勻的剛體：或質(zhì)心重心?幾何對(duì)稱中心質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)應(yīng)的位矢質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的速度：質(zhì)心的加速度：設(shè)mi受力則：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：0——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)如同一質(zhì)點(diǎn)，只是將質(zhì)量全部集中于該點(diǎn),是質(zhì)點(diǎn)系受的所有外力。啞鈴炮彈演示：錐體上滾

剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即：剛體的平動(dòng)等效為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，只是將質(zhì)量全部集中于該點(diǎn),所受的力是質(zhì)點(diǎn)系受的所有外力。對(duì)于剛體平動(dòng)，其符合質(zhì)點(diǎn)的(直線運(yùn)動(dòng)的)靜力學(xué)/運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)，線動(dòng)量和能量守恒定律。注：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。例：3.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述轉(zhuǎn)軸剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)都保持靜止轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體各點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)

或某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)最簡(jiǎn)單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在同一時(shí)間內(nèi),各點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)角相等，但線速度不同。用角量來描述轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律較為方便。(1)角位置定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程(3)角速度(4)角加速度轉(zhuǎn)軸剛體qq參考方向xppqrqr單位：q

：弧度(rad)w：弧度/秒(rad·s-1)b弧度/秒(rad·s-2)2：(2)角位移描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量dtdq=22dtddtdqwb==w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角量與線量的基本關(guān)系角量的方向：矢量式右手螺旋法則

是矢量角位移不是矢量1.力矩（1）在垂直oo

的平面內(nèi)（2）不在垂直oo

的平面內(nèi)oo.P對(duì)剛體繞oo軸的轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)

總可分解成兩個(gè)分量：計(jì)算時(shí),只需考慮的力矩,即Mz.第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(參考點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上)oo.P在軸上任選參考點(diǎn)O,則任一質(zhì)元A對(duì)O的角動(dòng)量為:質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理:(Z軸)轉(zhuǎn)軸剛體2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

只有力矩的z向分量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有作用!故求此分量Mz的表達(dá)式:——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Z軸)轉(zhuǎn)軸剛體將Mz改寫為M，則——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律將Lz改寫為L(zhǎng)，則——對(duì)定軸的角動(dòng)量——?jiǎng)傮w對(duì)定軸(z軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

由剛體上各質(zhì)元相對(duì)于固定轉(zhuǎn)軸的分布決定，與外力無關(guān)，是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：Jmm反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律:J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性Jm剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量:3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（1）分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)（2）質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)(如:剛體)Mrdm在SI制中，J的單位：kg·m2質(zhì)量元dm的計(jì)算方法如下：質(zhì)量為線分布：質(zhì)量為面分布：質(zhì)量為體分布：線密度面密度體密度例1.

求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過環(huán)心。解：若是半徑為R的薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果如何？OdmOR在圓環(huán)上取質(zhì)量元dm結(jié)果形式不變例2.

求質(zhì)量為m,半徑為R,厚為l的均勻圓盤的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：lr取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),其質(zhì)量為：顯然：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。例3.如圖所示,一個(gè)均勻半圓薄板的質(zhì)量為m,半徑為R.以其直徑邊為轉(zhuǎn)軸,它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量多大？解:取窄條狀面元dS.設(shè)面密度為.dShdhd對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為Rd?X例4.求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒

對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLo解：取如圖坐標(biāo)dm=dx以質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸的J：可見：同一物體繞不同的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同！ABL/2L/2CXo以棒一端為轉(zhuǎn)軸的J：（3）平行軸定理JC是通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

JA是通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

兩軸平行，相距L/2。上述結(jié)論可以推廣：——平行軸定理

若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行,相距為d,剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：ABLC231mLJA=2121mLJC=一些常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)棒細(xì)棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體長(zhǎng)的易控些，理由見下頁(yè)

長(zhǎng)桿哪個(gè)易控些？為什么？短鉛筆小實(shí)驗(yàn)小實(shí)驗(yàn)竿子長(zhǎng)些還是短些安全？例:已知qqmB()A()LmLL2LOOq

從小傾角處?kù)o止釋放兩勻直細(xì)桿地面短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)求兩者瞬時(shí)角加速度之比bb1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122b根據(jù)MJbbMJJM解：例4.一根長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒,其一端有一固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置,求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。

解：重點(diǎn)求繞o的力矩，即桿的重力矩M；

Xodmgdmxmm重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩=全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。mgC合力矩處在角時(shí),質(zhì)元dm的重力矩為4.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用lcosθm/L由即mgCXoxc21求角速度？例6.

在半徑為R,質(zhì)量為m，J=mR2的滑輪上掛一細(xì)繩，細(xì)繩兩端各掛兩物m1>m2。m2m1解：m1、m2作為質(zhì)點(diǎn)處理滑輪作剛體處理,m1gT1m2gT2T1T2根據(jù)牛頓定律：y由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：聯(lián)立解得：

求:兩物的加速度a及滑輪的角加速度.動(dòng)畫今日科學(xué)家：阿基米德(Archimedes)阿基米德(Archimedes)古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。出生于西西里島的敘拉古。阿基米德到過亞歷山大里亞，據(jù)說他住在亞歷山大里亞時(shí)期發(fā)明了阿基米德式螺旋抽水機(jī)。后來阿基米德成為兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者，并且享有“力學(xué)之父”的美稱。“第一位講科學(xué)的工程師”阿基米德的主要貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)-幾何學(xué)：復(fù)雜曲線(拋物線)圍成的面積與體積(微積分的前身)圓周率的計(jì)算大數(shù)表示天文學(xué)天象儀器地球是圓球狀的，并圍繞著太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)物理學(xué)浮力定律杠桿定律作品始終融合數(shù)學(xué)和物理非常多的工程技術(shù)發(fā)明阿基米德的軼事杠桿原理“給我個(gè)支點(diǎn)，我可以翹起地球”浮力原理的發(fā)現(xiàn)相傳敘拉古赫農(nóng)王讓工匠替他做了一頂純金的王冠。但是在做好后，國(guó)王疑心工匠做的金冠并非全金，但這頂金冠確與當(dāng)初交給金匠的純金一樣重。工匠到底有沒有私吞黃金呢？保衛(wèi)祖國(guó)臨終遺言"Donotdisturbmycircles“Greek:

μ?μουτο??κ?κλου?τ?ραττε今日笑話Amechanicalengineer,achemicalengineer,andatheoreticalphysicistarestuckonadesertedislandwithonlyacanofbeansforfood.Sincenoneofthemhasacanopener,theysetaboutthinkingofhowtoopenthecan.

Themechanicalenginnersays,"Ifwetakethisbigrockanddropitontopofthecan,thegravitationalforcewillincreasethepressureinsidethecanandforceittoexplode!"Theotherquicklyshootthisdown,pointingoutthatitwillalsosquishthebeans.

Afterawhile,thechemicalenginnersays,"Ifwegrinduptheseshellsandmixthemwiththesaltwater,itwillproduceanacidstrongenoughtoeatth