2023年福建龍海市高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的（）A．4 B．5 C．6 D．73．如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是1034．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．5．已知集合，，，則()A． B． C． D．6．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)（其中，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，，其相鄰一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，該對(duì)稱(chēng)軸處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象()A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．已知平面向量滿(mǎn)足與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三棱柱中，，側(cè)棱底面，且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則球的表面積的最小值為_(kāi)____．14．已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若，，則與的夾角為_(kāi)_____.15．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_(kāi)______．16．函數(shù)的極大值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.（1）證明:平面平面;（2）若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，求證：；（3）若，且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．19．（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).20．（12分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.22．（10分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線段上，且。將沿折起，使點(diǎn)到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問(wèn)題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類(lèi)既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問(wèn)題，實(shí)有其合理之處.解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過(guò)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問(wèn)題往往有很好效果.2．C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過(guò)程.3．D【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以?xún)砂嗟目偲骄譄o(wú)法計(jì)算，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道，所以?xún)砂嗟目偲骄譄o(wú)法計(jì)算，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.4．B【解析】

設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設(shè)，則，在中，易得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．5．A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】,選B7．C【解析】

由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論．【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中，的圖象過(guò)點(diǎn)，，可得，，解得：．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，可得：，可得函數(shù)解析式為：故把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．9．A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．10．D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設(shè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則三棱柱的側(cè)面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè)，∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí)，能通過(guò)題意了解到題目傳達(dá)的意思，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，能夠利用題目條件，畫(huà)出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題14．【解析】

依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭菉A角為的兩個(gè)單位向量所以，又，所以，，所以，因?yàn)樗裕还蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，以及夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】由分層抽樣的知識(shí)可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應(yīng)填答案．16．【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為，可知，通過(guò)計(jì)算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式，可以求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）證明：因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn)，所以.在中，分別為的中點(diǎn)，所以，且.于是在中，，所以為直角三角形，且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，，，所以平?又平面，所以平面平面.（2）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即，取,得.設(shè)平面的法向量,則即，取,得.所以，又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問(wèn)題.18．(1)x=1(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】

（1）令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；（2）轉(zhuǎn)化思想，要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證；（3）不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，，設(shè)，分類(lèi)討論進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）令，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；所以，所以的零點(diǎn)為．（2）由題意，，要證，即證，即證，令，則，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，，設(shè)，，記，△，①當(dāng)△時(shí)，即時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增．于是當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)，，又，故，又當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)△，即時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為，，又，于是，故當(dāng)時(shí)，，從而在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，于是，即舍去，綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】（1）考查函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)；（2）考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)求極值；（3）考查分類(lèi)討論思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導(dǎo)；屬于難題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可。【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù)，則，解得，檢驗(yàn)符合；②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。故滿(mǎn)足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，利用所學(xué)知識(shí)分析解決新定義問(wèn)題。20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面即可；（2）求出點(diǎn)A到平面的距離，然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接，由是平行四邊形及N是的中點(diǎn)，得N也是的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；?）過(guò)A作交于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，由是菱形及，得為三角形，則，由平面，得，從而側(cè)面為矩形，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.21．（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理得，點(diǎn)在直