博弈論原理完全信息靜態(tài)博弈

第二講

完全信息靜態(tài)博弈

本章介紹完全信息靜態(tài)博弈。完全信息靜態(tài)博弈即各博弈方同時(shí)決策，且所有博弈方對(duì)各方得益都了解的博弈。囚徒的困境、齊威王田忌賽馬、猜硬幣、石頭剪子布、古諾產(chǎn)量決策都屬于這種博弈。完全信息靜態(tài)博弈屬于非合作博弈最基本的類(lèi)型。本章介紹完全信息靜態(tài)博弈的一般分析方法、納什均衡概念、各種經(jīng)典模型及其應(yīng)用等。

2.1基本分析思路和方法2.1.1上策均衡2.1.2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2.1.3劃線法2.1.4箭頭法2.1.1上策均衡上策：不管其它博弈方選擇什么策略，一博弈方的某個(gè)策略給他帶來(lái)的得益始終高于其它的策略，至少不低于其他策略的策略囚徒的困境中的“坦白”；雙寡頭削價(jià)中“低價(jià)”。上策均衡：一個(gè)博弈的某個(gè)策略組合中的所有策略都是各個(gè)博弈方各自的上策，必然是該博弈比較穩(wěn)定的結(jié)果.上策均衡不是普遍存在的

2.1.2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法嚴(yán)格下策：不管其它博弈方的策略如何變化，給一個(gè)博弈方帶來(lái)的收益總是比另一種策略給他帶來(lái)的收益小的策略。嚴(yán)格下策反復(fù)消去：1，01，30，10，40，22，0左中右上下1，01，30，40，2左中1，01，3左中2.1.3劃線法1，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚徒困境-1，11，-11，-1-1，1猜硬幣2，10，00，01，3夫妻之爭(zhēng)2.2納什均衡2.2.1納什均衡的定義2.2.2納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)2.2.3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2.2.1納什均衡及應(yīng)用舉例關(guān)于納什均衡納什均衡是著名博弈論專(zhuān)家納什（JohnNash）對(duì)博弈論的重要貢獻(xiàn)之一。納什在1950年和1951年的兩篇重要論文中，在一般意義上給定了非合作博弈及其均衡解，并證明了解的存在性。納什的這一貢獻(xiàn)奠定了非合作博弈論的理論基礎(chǔ)，納什所定義的均衡被稱(chēng)為“納什均衡”。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者薩繆爾森有一句幽默的話：你可以將一只鸚鵡訓(xùn)練成經(jīng)濟(jì)學(xué)家，因?yàn)樗枰獙W(xué)習(xí)的只有兩個(gè)詞：供給與需求。博弈論專(zhuān)家坎多瑞引申說(shuō)：要成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)家，這只鸚鵡必須再多學(xué)一個(gè)詞，這個(gè)詞就是“納什均衡”。通俗地說(shuō)，納什均衡含義就是：給定你的策略，我的策略是最好的策略；給定我的策略，你的策略也是你最好的策略，即雙方在對(duì)方給定的策略下不愿意調(diào)整自己的策略。納什均衡符號(hào)解釋策略空間：博弈方的第個(gè)策略：博弈方的得益：博弈：在博弈中，如果由各個(gè)博弈方的各一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合中，任一博弈方的策略si*，都是對(duì)其余博弈方策略的組合的最佳對(duì)策，即對(duì)任意都成立，則稱(chēng)為的一個(gè)“納什均衡”。2.2.2納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)

一致預(yù)測(cè)：如果所有博弈方都預(yù)測(cè)一個(gè)特定博弈結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，所有博弈方都不會(huì)利用該預(yù)測(cè)或者這種預(yù)測(cè)能力選擇與預(yù)測(cè)結(jié)果不一致的策略，即沒(méi)有哪個(gè)博弈方有偏離這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果的愿望，因此預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)成為博弈的最終結(jié)果只有納什均衡才具有一致預(yù)測(cè)的性質(zhì)一致預(yù)測(cè)性是納什均衡的本質(zhì)屬性一致預(yù)測(cè)并不意味著一定能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，因?yàn)橛卸嘀鼐?，預(yù)測(cè)不一致的可能占優(yōu)戰(zhàn)略均衡占優(yōu)戰(zhàn)略占優(yōu)戰(zhàn)略是指一個(gè)參與人所有可選擇的戰(zhàn)略中嚴(yán)格優(yōu)于其他戰(zhàn)略的那個(gè)戰(zhàn)略，即是i的占優(yōu)戰(zhàn)略意味著對(duì)于所有的2.2納什均衡及應(yīng)用舉例重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡注：重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的思路是，首先找到某個(gè)參與人的劣戰(zhàn)略（假定存在），把這個(gè)劣戰(zhàn)略剔除掉，重新構(gòu)建一個(gè)不包含已剔除戰(zhàn)略的新的博弈；然后再剔除掉這個(gè)新博弈中的某個(gè)參與人的劣戰(zhàn)略，一直到只剩下一個(gè)唯一的戰(zhàn)略組合為止。2.3納什均衡的應(yīng)用2.3.1古諾的寡頭模型2.3.2反應(yīng)函數(shù)2.3.3伯特蘭德寡頭模型2.3.4公共資源問(wèn)題2.3.5反應(yīng)函數(shù)的問(wèn)題和局限性2.3.1古諾的寡頭模型基本假設(shè)

1.一個(gè)市場(chǎng)有兩家廠商生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量分為q1和q2。市場(chǎng)總產(chǎn)量為Q＝q1十q2。

2.市場(chǎng)出清價(jià)格P(即可以將產(chǎn)品全部賣(mài)出去的價(jià)格)是市場(chǎng)總產(chǎn)量的函數(shù)P=P(Q)=a－q1－q2=8－Q。3.兩廠商沒(méi)有固定成本且單位生產(chǎn)成本相同，即4.兩廠商同時(shí)決定各自產(chǎn)量，即決策前不知道另一方產(chǎn)量。該博弈中兩博弈方的得益(即兩廠商各目的利潤(rùn))分別為:2.3.1古諾的寡頭模型如果假設(shè)策略組合(q1*,q2*)是本博弈的最終結(jié)果，則(q1*,q2*)必使得兩博弈方的得益達(dá)到最大值,即滿足:2.3.1古諾的寡頭模型兩式分別對(duì)q1、q2求偏導(dǎo)并令偏導(dǎo)數(shù)都等于零,由此可得q1*,q2*應(yīng)滿足方程組:解之得該方程組唯一的一組解:兩博弈方的均衡得益(利潤(rùn))分別為:當(dāng)有均衡總產(chǎn)量為：2.3.1古諾的寡頭模型若對(duì)上述博弈結(jié)果作效率評(píng)價(jià)，可以再?gòu)膬蓮S商總體利益最大化的角度作一次產(chǎn)量選擇，根據(jù)市場(chǎng)條件求實(shí)現(xiàn)總得益(總利潤(rùn))最大的總產(chǎn)量。設(shè)總產(chǎn)量為Q，則總得益為：U＝PQ－cQ＝Q(8－Q)－2Q＝6Q－Q2很容易求得使總得益最大的總產(chǎn)量：Q*＝3最大總得益：U*＝9172.3.1古諾的寡頭模型結(jié)論1結(jié)論2兩廠商的總體來(lái)看，根據(jù)總體利益最大化確定產(chǎn)量效率更高。換句話說(shuō)，如果兩廠商更多考慮合作，先定出使總利益最大的產(chǎn)量，后各自生產(chǎn)1.5單位，則各自可分享到的利益為4.5，比只考慮自身利益的獨(dú)立決策行為得到的利益要高。

在獨(dú)立決策、缺乏協(xié)調(diào)機(jī)制的兩個(gè)企業(yè)之間，上述合作的結(jié)果并不容易實(shí)現(xiàn)，即使實(shí)現(xiàn)了也往往是不穩(wěn)定的。原因主要是，在這個(gè)策略組合下，雙力都可以通過(guò)獨(dú)自改變(增加)自己的產(chǎn)量而得到更高的利潤(rùn)。184.5,4.53.75,55,3.754,4廠商2不突破突破以自身最大利益為目標(biāo)：各生產(chǎn)2單位，各自得益為4以?xún)蓮S商總體利益最大：各生產(chǎn)1.5單位，各自得益為4.5如果將遵守限額還是突破限額作為廠商面臨的選擇，這實(shí)際上也是一種“囚徒困境”。2.3.1古諾的寡頭模型在上面討論的兩寡頭古諾模型中，對(duì)廠商2的任意產(chǎn)量q2

，廠商1的最佳對(duì)策產(chǎn)量q1

，就是使白己在廠商2生產(chǎn)q2的情況下利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，即q1是最大化問(wèn)題：的解。上式對(duì)q1求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于0由此得：2.3.2反應(yīng)函數(shù)這樣我們得到了廠商1對(duì)于廠商2的每—個(gè)可能q2的最佳產(chǎn)量的計(jì)算公式，它是q2的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，我們稱(chēng)這個(gè)連續(xù)函數(shù)為廠商1對(duì)廠商2產(chǎn)量的一個(gè)“反應(yīng)函數(shù)”。由于這兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)都是連續(xù)的線性函數(shù)，因此可以用坐標(biāo)平面上的兩條直線表示它們,如圖:同樣，我們可再求出廠商2對(duì)廠商1產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)：2.3.2反應(yīng)函數(shù)q26363(2,2)從圖中可以看出，當(dāng)一方的產(chǎn)量選擇為0時(shí)，另一方的最佳反應(yīng)為3。是實(shí)現(xiàn)市場(chǎng)總利潤(rùn)最大的產(chǎn)量，這時(shí)候等于由一個(gè)廠商壟斷市場(chǎng)，市場(chǎng)總體利潤(rùn)就是該廠商的利益；當(dāng)一方的產(chǎn)量達(dá)到6時(shí)，另一方被迫選擇0，因?yàn)檫@時(shí)后者堅(jiān)持生產(chǎn)已經(jīng)無(wú)利可圖。在兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的兩條直線上，只有它們的交點(diǎn)(2，2)代表的產(chǎn)量組合，是由相互對(duì)對(duì)方的最佳反應(yīng)產(chǎn)量構(gòu)成的，與前面得到的結(jié)論完全—樣，是該模型的“均衡產(chǎn)量”。注：R1(q2)上的所有點(diǎn)(q1,q2)，q1是對(duì)q2的最佳反應(yīng)，但q2

不是對(duì)q1的最佳反應(yīng)，而R2(q1)上的點(diǎn)則剛好相反。q26363q1(2,2)2.3.2反應(yīng)函數(shù)2.3.3反應(yīng)函數(shù)的局限性反應(yīng)函數(shù)法的概念和思路非常簡(jiǎn)單明了，它可以分析一般的具有無(wú)限多種策略，有連續(xù)策略空間的博弈模型，因此反應(yīng)函數(shù)法在博弈分析中非常有用。但這并不等于說(shuō)有了反應(yīng)函數(shù)的概念，就可以解決所有博弈的分析，或者分析出所有博弈的最終結(jié)果。因?yàn)樵谠S多博弈中，博弈方的策略是很有限的而不是很多的，更不是連續(xù)的，博弈方的得益函數(shù)并不是連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，所以無(wú)法用先求導(dǎo)找出各個(gè)博弈方的反應(yīng)函數(shù)，再解聯(lián)立方程組的方法求均衡，反應(yīng)函數(shù)法在分析這樣的博弈模型時(shí)不能發(fā)揮作用。在有些博弈問(wèn)題中，各個(gè)博弈方的得益函數(shù)比較復(fù)雜，因而各自的反應(yīng)函數(shù)也比較復(fù)雜，并不總是能夠保證各個(gè)博弈方的反應(yīng)函數(shù)有交點(diǎn)，特別是不能保證有惟一的交點(diǎn)。將反應(yīng)函數(shù)擴(kuò)展到混臺(tái)策略時(shí)，就很容易出現(xiàn)多重交點(diǎn)反應(yīng)函數(shù)的圖形。(a)(b)2.3.4伯特蘭德寡頭模型基本假設(shè)1.雙寡頭壟斷市場(chǎng)2.產(chǎn)品有一定差別（同類(lèi)產(chǎn)品，但在品牌、質(zhì)量和包裝等方面有所不同，產(chǎn)品之間有很強(qiáng)的替代性，但又不是完全可替代。）3.兩廠商無(wú)固定成本，邊際生產(chǎn)成本分別為c1和c2。4.兩廠商同時(shí)決策。伯特蘭德1883年提出了另一種形式的寡占模型，這種模型與選擇產(chǎn)量的古諾模型的區(qū)別在于，伯特蘭德模型中各廠商所選擇的是價(jià)格而不是產(chǎn)量。當(dāng)廠商1和廠商2價(jià)格分別為P1和P2時(shí)，它們各自的需求函數(shù)為：2.3.4伯特蘭德寡頭模型其中d1、d2＞0是兩廠商產(chǎn)品的替代系數(shù)，

從上式可以看出產(chǎn)品之間是有差別的。兩博弈方的得益函數(shù)分別為：求出兩廠商對(duì)對(duì)方策略(價(jià)格)的反應(yīng)函數(shù)分別為：用反應(yīng)函數(shù)法分析這個(gè)博弈。上兩式分別對(duì)P1和P2求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得：2.3.4伯特蘭德寡頭模型

均衡(P1*，P2*)是兩反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)，即必須滿足：求解此方程組：記：2.3.4伯特蘭德寡頭模型將P1*，P2*代入得益函數(shù)則可進(jìn)一步得到兩廠商的均衡得益。具體地，如果進(jìn)一步假設(shè)模型中的參數(shù)分別為：則可以得到：

P1*＝P2*＝20，u1*＝u2*＝324。2.3.4伯特蘭德寡頭模型可以驗(yàn)證，這種價(jià)格決策與古諾模型中的產(chǎn)量決策一樣，其納什均衡也不如各博弈方通過(guò)協(xié)商、合作得到的最佳結(jié)果，因此也是囚徒困境的一種。上述模型是伯特蘭德模型較簡(jiǎn)單的情況，可以推廣到n個(gè)寡頭的價(jià)格決策，并且產(chǎn)品也可以是無(wú)差別的?；炯僭O(shè)長(zhǎng)度為1的線性城市，消費(fèi)者均勻分布在[0,1]區(qū)間。兩個(gè)商店，商店1在x=0處，商店2在x=1處，他們出售相同的產(chǎn)品。兩商店的單位成本均為c；價(jià)格分別為p1，p2，需求分別為D1，D2。消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)商品的旅行成本與離商店的距離成正比，單位距離成本為t。消費(fèi)者具有單位需求，即消費(fèi)1個(gè)單位或者0個(gè)單位。現(xiàn)在考慮兩商店之間價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的納什均衡。如果住在x處的消費(fèi)者在兩個(gè)商店之間是無(wú)差異的，即住在其左邊的都在商店1購(gòu)買(mǎi)，住在其右邊的都在商店2購(gòu)買(mǎi),則且此時(shí)有2.3.5豪泰林（Hotelling）價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型01商店1商店2x顧客注：上述模型中，產(chǎn)品的差異即消費(fèi)者的位置差異，也就是消費(fèi)者的旅行成本。成本越高，產(chǎn)品的差異越大，每個(gè)商店的壟斷越強(qiáng)，均衡價(jià)格和利潤(rùn)越大。上面的分析假定兩商店分別位于城市的兩個(gè)極端。事實(shí)上，均衡結(jié)果對(duì)于商店的位置是很敏感的。考慮另一個(gè)極端，若兩商店在同一個(gè)位置，則他們出售的是完全一樣的產(chǎn)品，則消費(fèi)者關(guān)心的只是價(jià)格，均衡結(jié)果就會(huì)變?yōu)?.3.5豪泰林（Hotelling）價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型模型拓展商店1在x=a(>0)處，商店2在x=1-b(b>0)處，且假定a<1-b，即商店1在商店2的左邊。消費(fèi)者的旅行成本為二次式其他假設(shè)不變。2.3.5豪泰林（Hotelling）價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型2，10，00，01，2芭蕾女男足球芭蕾足球性別戰(zhàn)博弈納什均衡：足球，足球；芭蕾，芭蕾先動(dòng)優(yōu)勢(shì)2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例-3，-32，00，20，0退BA進(jìn)退進(jìn)獨(dú)木橋納什均衡：A進(jìn)，B退；A退，B進(jìn)。斗雞博弈村子里有兩戶富戶，有兩種可能：一家修，另一家就不修；一家不修，另一家就得修。冷戰(zhàn)期間美蘇搶占地盤(pán)：一方搶占一塊地盤(pán)，另一方就占另一塊。夫妻吵架，一方厲害，另一方就出去躲躲。注意：在混合戰(zhàn)略納什均衡條件下，也可能兩敗俱傷。2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例5，14，49，-10，0等待小豬大豬按等待按4大于10大于-1智豬博弈納什均衡：大豬按，小豬等待，各得四個(gè)單位（4，4）。多勞者不多得！2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例類(lèi)似的例子大豬小豬博弈股份公司中大股東小股東監(jiān)督納什均衡：大股東擔(dān)當(dāng)監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任，小股東搭便車(chē)村中的富人窮人修路納什均衡：大戶修路股市的大戶小戶炒股納什均衡：大戶搜集信息，小戶跟大戶2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例公共地悲劇

設(shè)某村莊有n個(gè)農(nóng)戶，該村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。出于這片草地的面積有限，因此只能讓不超過(guò)某一數(shù)量的羊群吃飽，如果在這片草地上放牧羊只的實(shí)際數(shù)量超過(guò)這個(gè)限度，則每只羊都無(wú)法吃飽，從而每只羊的產(chǎn)出(毛、皮、肉的總價(jià)值)就會(huì)減少，甚至只能勉強(qiáng)存活或要餓死。2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例模型假設(shè)假設(shè)1：各農(nóng)戶在決定自己的養(yǎng)羊數(shù)量時(shí)不知道其他農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)的，即決策是同時(shí)作出的。假設(shè)2：所有農(nóng)戶都清楚這片公共草地最多能養(yǎng)多少只羊和在羊只總數(shù)的不同水平下每只羊的產(chǎn)出。這就構(gòu)成了n個(gè)農(nóng)戶之間關(guān)于養(yǎng)羊數(shù)的一個(gè)博弈問(wèn)題，并且是一個(gè)靜態(tài)博弈。在此博弈中，博弈方是n個(gè)農(nóng)戶；他們各自的策略空間就是他們可選擇的養(yǎng)羊數(shù)目的取值范圍。

當(dāng)各農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)為q1、q2、…、qn時(shí)，在公共草地上放牧羊只的總數(shù)為Q＝q1＋q2＋…＋qn

根據(jù)前面的介紹，每只羊的產(chǎn)出是羊只總數(shù)Q的減函數(shù)V＝V(Q)＝V(q1，q2，…，qn)

假設(shè)購(gòu)買(mǎi)和照料每只羊的成本對(duì)每個(gè)農(nóng)戶都是相同的不變常數(shù)c，則農(nóng)戶i養(yǎng)qi只羊的得益函數(shù)為：2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例為了使討論比較簡(jiǎn)單及能得到直觀的結(jié)論，對(duì)模型做進(jìn)一步設(shè)定：在技術(shù)上把羊的數(shù)量看做是連續(xù)可分，則分別求三農(nóng)戶各自對(duì)其他兩農(nóng)戶策略(養(yǎng)羊數(shù))的反應(yīng)函數(shù)，得：

反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)(q1*,q2*,q3*)就是博弈的納什均衡。求得q1*＝q2*＝q3*＝24，u1*＝u2*＝u3*＝576。2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例為了對(duì)公共資源的利用效率作出評(píng)價(jià)，我們同樣也可討論總體利益最大的最佳羊只數(shù)量。設(shè)在該草地上羊只的總數(shù)為Q。則總得益為：

使總得益u最大的養(yǎng)羊數(shù)Q*必使總得益函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0，求得：

Q*

＝48，u*

＝2304

該結(jié)果比三農(nóng)戶各自獨(dú)自決定時(shí)得益的總和576×3=1728大了許多。而此時(shí)的養(yǎng)羊數(shù)Q*

＝48則比三農(nóng)戶獨(dú)立決策時(shí)草地上的羊只總數(shù)3×24＝72小。因此，三農(nóng)戶獨(dú)立決策時(shí)實(shí)際上使草地處于過(guò)度放牧的情況，浪費(fèi)了資源，農(nóng)戶也沒(méi)有獲到最好的效益。

如果各農(nóng)戶能將養(yǎng)羊數(shù)自覺(jué)限制在48／3＝16只，則他們都能得到更多的利益。他們面臨的也是—種囚徒困境的局面，這個(gè)例子再一次證明了納什均衡，或者說(shuō)非合作博弈的結(jié)果有可能是低效率的。2.3.6納什均衡一些其他應(yīng)用舉例這個(gè)例子證明了很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家很早就認(rèn)識(shí)到的一個(gè)問(wèn)題：如果一種資源沒(méi)有排他性的所有權(quán)，就會(huì)導(dǎo)致這種資源的過(guò)度使用。表現(xiàn)在公共資源上就是，人們完全從自利動(dòng)機(jī)出發(fā)時(shí)，公共資源傾向于被過(guò)度利用、低效率使用和浪費(fèi)，且過(guò)度利用會(huì)達(dá)到任何利用它們的人都無(wú)法得到實(shí)際好處的程度。公共資源利用方面常會(huì)出現(xiàn)這樣的悲劇，原因是每個(gè)可以利用公共資源的人都面臨著一種囚徒的困境。類(lèi)似的例子：工廠污染治理、公海捕撈……

防止辦法：制度、道德納什均衡及應(yīng)用舉例練習(xí)——尋找納什均衡6，63，53，55，30，44，05，34，00，4C2R1R2C1C3R3參與人B參與人A練習(xí)——尋找納什均衡練習(xí)——找出兩對(duì)夫妻的納什均衡0，00，66，00，0死了妻子相互仇恨夫妻活著死了活著丈夫0，00，-6-6，02，2死了恩愛(ài)夫妻活著死了活著妻子丈夫練習(xí)——尋找納什均衡2.4混合策略和混合策略納什均衡例1：社會(huì)福利博弈（支付矩陣如下表）流浪漢找工作游蕩政府救濟(jì)3，2-1，3不救濟(jì)-1，10，0顯然，該博弈沒(méi)有納什均衡。2.4混合策略和混合策略納什均衡例2：猜硬幣博弈-1，11，-11，-1-1，1正面反面猜硬幣方蓋硬幣方正面反面該博弈是一個(gè)零和博弈，沒(méi)有納什均衡。如（正面，正面）不是納什均衡，因?yàn)榻o定B選正面，A的最優(yōu)選擇是反面。類(lèi)似地，（反面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）都不是納什均衡。這兩個(gè)例子雖然不存在上面所定義的納什均衡，但具有混合策略納什均衡。猜對(duì)則猜者贏1元，蓋者輸1元反之，猜者輸1元，蓋者贏1元2.4混合策略和混合策略納什均衡取勝關(guān)鍵：1、不能讓另一方猜到自己的策略，盡可能猜出對(duì)方策略2、博弈方一定要避免自己的選擇帶有規(guī)律性3、以一定的概率選擇策略納什均衡的弱點(diǎn)：1、多重性。同一博弈里有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)納什均衡，即一般懷況下不能保證其唯一性.2、有些納什均衡并不合理。2.4混合策略和混合策略納什均衡石頭、剪子、布游戲老虎、杠子、雞、蟲(chóng)子游戲撲克游戲橄欖球賽戰(zhàn)爭(zhēng)中2.4.1純策略和混合策略納什均衡混合策略定義在博弈中，博弈方的策略空間為，則博弈方以概率分布隨機(jī)在其個(gè)可選策略中選擇的“策略”，稱(chēng)為一個(gè)“混合策略”，其中對(duì)都成立，且

如果一個(gè)策略規(guī)定參與人在每一個(gè)給定的信息情況下只選擇一種特定的行動(dòng)，則稱(chēng)該策略為純策略。若一個(gè)策略規(guī)定參與人在給定信息情況下以某種概率分布隨機(jī)地選擇不同的行動(dòng)，則稱(chēng)該策略為混合策略。在博弈的策略式表述中，混合策略可定義為在純策略空間上的概率分布。2.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法如何尋找混合戰(zhàn)略納什均衡？支付最大化法支付等值法由于混合戰(zhàn)略伴隨的是支付的不確定性，因此參與人關(guān)心的是其期望效用。最優(yōu)混合戰(zhàn)略：是指使期望效用函數(shù)最大的混合戰(zhàn)略（給定對(duì)方的混合戰(zhàn)略）在兩人博弈里，混合戰(zhàn)略納什均衡是兩個(gè)參與人的最優(yōu)混合戰(zhàn)略的組合。2.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法

23，

3-1，

1-1，

00，流浪流浪漢政府救濟(jì)不救濟(jì)尋找工作同樣，可以根據(jù)流浪漢的期望效用函數(shù)找到政府的最優(yōu)混合戰(zhàn)？？例1：社會(huì)福利博弈2.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法同樣可以求出政府救濟(jì)的概率：1/2；不救濟(jì)的概率：1/2。流浪漢：尋找工作的概率：0.2；流浪的概率：0.8每個(gè)參與人的戰(zhàn)略都是給定對(duì)方混合戰(zhàn)略時(shí)的最優(yōu)戰(zhàn)略即：流浪漢以0.2的概率選擇尋找工作，0.8的概率選擇游蕩2.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法假定最優(yōu)混合戰(zhàn)略存在，給定流浪漢選擇混合戰(zhàn)略（r，1-r），政府選擇純戰(zhàn)略救濟(jì)的期望效用為：3r+（-1）（1-r）=4r-1選擇純戰(zhàn)略不救濟(jì)的效用為：-1r+0（1-r）=-r如果一個(gè)混合戰(zhàn)略（而不是純戰(zhàn)略）是政府的最優(yōu)選擇，一定意味著政府在救濟(jì)與不救濟(jì)之間是無(wú)差異的。

4r-1=-rr=0.2同理，假定最優(yōu)混合戰(zhàn)略存在，給定政府的選擇混合戰(zhàn)略（s，1-s），流浪漢選擇純戰(zhàn)略尋找工作的期望效用為：2s+（1）（1-s）=s+1選擇純戰(zhàn)略流浪的效用為：3s+0（1-s）=3s如果一個(gè)混合戰(zhàn)略（而不是純戰(zhàn)略）是政府的最優(yōu)選擇，一定意味著政府在救濟(jì)與不救濟(jì)之間是無(wú)差異的。

s+1=3ss=0.52.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法對(duì)的解釋?zhuān)喝绻骼藵h以找工作的概率小于0.2,則政府選擇不救濟(jì),如果大于0.2,政府選擇救濟(jì),只有當(dāng)概率等于0.2時(shí),政府才會(huì)選擇混合戰(zhàn)略或任何純戰(zhàn)略.對(duì)*=0.5的解釋如果政府救濟(jì)的概率大于0.5,流浪漢的最優(yōu)選擇是流浪,如果政府救濟(jì)的概率小于0.5,流浪漢的最優(yōu)選擇是尋找工作.2.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法混合戰(zhàn)略納什均衡的含義：納什均衡要求每個(gè)參與人的混合戰(zhàn)略是給定對(duì)方的混合戰(zhàn)略下的最優(yōu)選擇。因此在社會(huì)福利博弈中，，*=0.5是唯一的混合戰(zhàn)略納什均衡。從反面來(lái)說(shuō)，如果政府認(rèn)為流浪漢選擇尋找工作的概率嚴(yán)格小于0.2，那么政府唯一最優(yōu)選擇是純戰(zhàn)略,不救濟(jì)；如果政府以1的概率選擇不救濟(jì)，流浪漢的最優(yōu)選擇是尋找工作，這又將導(dǎo)致政府選擇救濟(jì)的戰(zhàn)略，流浪漢則選擇游蕩。如此等等。政府的目的：救濟(jì)不救窮流浪漢尋找工作的概率小于0.2政府概率為1：不救濟(jì)流浪漢尋找工作政府救濟(jì)2.4.2混合戰(zhàn)略納什均衡—求解方法

令蓋硬幣方以r的概率選正面，以1-r的概率選反面，即P蓋=(r,1-r)；猜硬幣方以q的概率猜正面，以1-q的概率猜反面，即P猜=(q,1-q)，有：

V蓋(p蓋，p猜)=r[(-1)×q+1×(1-q)]+(1-r)[1×q+(-1)×(1-q)]=-4qr+2q+2r-1例2：猜硬幣博弈猜硬幣博弈模型的混合戰(zhàn)略

V猜(p蓋，p猜)=q[1×r+(-1)×(1-r)]+(1-q)[(-1)×r+1×(1-r)]=4qr-2q-2r+1解：MaxV蓋(p蓋，p猜)r得：q*=1/2MaxV猜(p蓋，p猜)q得：r*=1/2

猜硬幣博弈模型的混合戰(zhàn)略混合策略NE是蓋方在策略空間{正面，反面}上以概率分布P蓋*，=（1/2，1/2）進(jìn)行選擇，猜方也在策略空間{正面，反面上以概率p猜*=（1/2，1/2）進(jìn)行選擇。混合戰(zhàn)略與反應(yīng)函數(shù)當(dāng)q＜1/2r*=R（q）=1當(dāng)q=1/2[0，1]當(dāng)q＞1/20猜方的最優(yōu)反應(yīng)反應(yīng)，記為q*=R（r）混合戰(zhàn)略與反應(yīng)函數(shù)當(dāng)r＜1/2q*=R（r）=0，當(dāng)r=1/2[0，1]，當(dāng)r＞1/21，作為NE，各個(gè)參與人的反應(yīng)應(yīng)該同時(shí)為最優(yōu)，那么只要求兩個(gè)反應(yīng)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)，用圖示法：混合戰(zhàn)略與反應(yīng)函數(shù)rq01（正面）1(正面)1/21/2r*=R(q)q*=R(r)例3監(jiān)督博弈

監(jiān)督博弈來(lái)自于監(jiān)督檢查存在成本，因而監(jiān)督者不會(huì)總是對(duì)被監(jiān)督者的所有情形都實(shí)施檢查，而是隨機(jī)地采取檢查或不檢查的策略，被監(jiān)督者也知道監(jiān)督者的這種策略選擇，因而也以隨機(jī)的方式選擇努力或不努力的策略。這樣，監(jiān)督者與被監(jiān)督者之間就展開(kāi)混合戰(zhàn)略博弈，我們現(xiàn)在感興趣的是找出這種博弈的均衡。

a是應(yīng)稅款，C是檢查成本，F(xiàn)是罰款。假設(shè)：a＜C+F此博弈無(wú)純戰(zhàn)略Nash均衡設(shè)雙方的混合戰(zhàn)略分別為：則由可得：收稅方與納稅方的反應(yīng)函數(shù)分別為：納稅方收稅方逃稅C不逃稅D檢查A(a-c+F,-a-F)(a-c,a)不檢查B(0,0)(a,-a)例4：小偷和守衛(wèi)的博弈V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守衛(wèi)小偷加重對(duì)守衛(wèi)的處罰：短期中的效果是使守衛(wèi)真正盡職在長(zhǎng)期中并不能使守衛(wèi)更盡職，但會(huì)降低盜竊發(fā)生的概率0-D-D’守衛(wèi)得益((睡)SPt小偷偷的概率1V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守衛(wèi)小偷加重對(duì)小偷的處罰：短期內(nèi)能抑制盜竊發(fā)生率長(zhǎng)期并不能降低盜竊發(fā)生率，但會(huì)是的守衛(wèi)更多的偷懶0-P-P’小偷得益(偷)VPg守衛(wèi)睡的概略1例5：夫妻之爭(zhēng)的混合策略反應(yīng)函數(shù)及納什均衡2，10，00，01，3時(shí)裝1/3足球2/3丈夫q時(shí)裝3/4足球1/4妻子r夫妻之爭(zhēng)qr3/4r=R1(q)q=R2(r)1/311例6：水污染博弈舉例分析

假設(shè)在沒(méi)有政府監(jiān)管的環(huán)境里，有A，B兩個(gè)企業(yè)，存在完全信息靜態(tài)博弈，企業(yè)對(duì)外不排污的情況下收益分別為：Ia和Ib，企業(yè)對(duì)外排污時(shí)收益分別Pa，Pb．由于環(huán)境改善的長(zhǎng)期性和正的外部性，使得對(duì)環(huán)保投資往往大于從其中得到的短期的直接得益，即Ia<Pa，Ib<Pb。構(gòu)造收益矩陣如表1所示，最終達(dá)到納什均衡(Ia，Ib)，即策略組合(排污，排污)構(gòu)成企業(yè)排污的惟一納什均衡解，最終導(dǎo)致水環(huán)境的惡化，經(jīng)濟(jì)學(xué)上典型的私人最優(yōu)與社會(huì)最優(yōu)背離最終帶來(lái)負(fù)外部性效應(yīng)。

例6：水污染博弈舉例分析例6：水污染博弈舉例分析

從上述分析可看出在完全市場(chǎng)情況下，包括政府不干涉市場(chǎng)機(jī)制和地方保護(hù)主義作用下，阻止企業(yè)排污上失靈。企業(yè)作為追求私人利益最大化的理性人在環(huán)境保護(hù)問(wèn)題上必然采取非合作博弈，最終達(dá)到的均衡是建立在環(huán)境的負(fù)收益的基礎(chǔ)上。為了公眾以及下一代利益，流域水環(huán)境保護(hù)權(quán)責(zé)應(yīng)交由政府承擔(dān)。這時(shí)政府必須作為代表公眾利益的博弈方，它的任務(wù)就是執(zhí)行各種制度規(guī)則，制止企業(yè)排污，保證公眾的生活環(huán)境質(zhì)量。

例6：水污染博弈舉例分析

政府管制下水環(huán)境博弈模型

該博弈格局參與主體為排污企業(yè)以及代表流域公眾利益的政府。這是個(gè)不確定性的動(dòng)態(tài)博弈，企業(yè)先進(jìn)行排污或凈化的選擇，只有企業(yè)在選擇排污策略時(shí)，政府與企業(yè)之間的博弈關(guān)系才存在。隨后政府可采取的策略主要有：直接管制、排污削減補(bǔ)貼、排污收費(fèi)以及排污交交易四種。例6：水污染博弈舉例分析

直接管制是指政府依據(jù)流域最優(yōu)排污量直接限定企業(yè)的排污量，直接體現(xiàn)政府的管理職能；排污削減補(bǔ)貼是指政府提供排污凈化補(bǔ)貼給排污企業(yè)以激勵(lì)企業(yè)自行治污，其相當(dāng)于市場(chǎng)機(jī)制中將排污權(quán)賦予排污企業(yè)情形，而政府則作為公眾代表向企業(yè)支付補(bǔ)償；排污收費(fèi)是指政府對(duì)排污企業(yè)課稅或?qū)嵭惺召M(fèi)，其實(shí)質(zhì)是開(kāi)征所謂的庇古稅，利用行政手段實(shí)現(xiàn)外部效應(yīng)內(nèi)部化；排污交易是指政府在確定最優(yōu)排污量基礎(chǔ)上，引入市場(chǎng)機(jī)制允許排污企業(yè)交易排污指標(biāo)，這實(shí)則是一種政府管制與市場(chǎng)機(jī)制的雙重結(jié)合。

例6：水污染博弈舉例分析與其他動(dòng)態(tài)博弈不同的是，此博弈格局中政府扮演著管制者的角色，處于一種相對(duì)強(qiáng)勢(shì)地位，也就是說(shuō)政府的策略既定后，企業(yè)可選的策略很少，只能在既定范圍內(nèi)抉擇。因此在這種特殊格局下，博弈最優(yōu)均衡直接取決于政府可選策略與現(xiàn)實(shí)條件配合的優(yōu)劣程度(見(jiàn)圖1)。

例6：水污染博弈舉例分析1.排污收費(fèi)下的混合策略博弈分析

在排污問(wèn)題上，政府和企業(yè)的利益是根本對(duì)立的，政府設(shè)法控制企業(yè)排污，而企業(yè)設(shè)法瞞過(guò)政府排污這樣政府和企業(yè)就構(gòu)成了排污博弈事件的兩個(gè)參與人。假設(shè)政府管制費(fèi)用為h，企業(yè)在不排污時(shí)發(fā)生的治理成本c，政府對(duì)企業(yè)的罰金為d，這里的罰金是政府則作為公眾代表向企業(yè)支付補(bǔ)償，即排污收費(fèi)。排污帶來(lái)的企業(yè)形象損失為m，政府因不監(jiān)管排污企業(yè)造成對(duì)聲譽(yù)的影響為n，這里我們考慮的是企業(yè)排污會(huì)帶來(lái)惡劣的社會(huì)影響，因?yàn)槊襟w的存在，這個(gè)影響?yīng)毩⒂谡谋O(jiān)管，即不論政府監(jiān)管與否，只要企業(yè)排污，必對(duì)企業(yè)造成負(fù)面的影響。如果政府在這種情況下采取監(jiān)管，則增加聲譽(yù)，反之減少聲譽(yù)。聲譽(yù)由媒體和上級(jí)政府共同評(píng)定。其中政府對(duì)企業(yè)排污時(shí)的處罰稅應(yīng)高于政府的監(jiān)管費(fèi)用，即d>h，政府監(jiān)管與企業(yè)排污博弈矩陣如表2所示。

例6：水污染博弈舉例分析對(duì)支付矩陣分析可知，該博弈圖不存在純策略的納什均衡，現(xiàn)從定義出發(fā)求混合策略的納什均衡解。設(shè)企業(yè)排污的概率為x，不排污的概率為(1-x)，政府監(jiān)管的概率為y，不監(jiān)管的概率為(1-y)，x，分別y滿足O<x<1,O<y<1。

例6：水污染博弈舉例分析企業(yè)的期望效用函數(shù)為：u(x，1-x)=[y(-d-m)+(1一y)(-m)]+(1-x)[y(-c)+(1-y)(-c)]對(duì)X求偏導(dǎo)得，au/ax=-yd-m+c，令其偏導(dǎo)等于0。得y=(c-m)/d；當(dāng)y<(c-m)/d時(shí)企業(yè)選擇不排污，當(dāng)y>(c—m)/d時(shí)，企業(yè)選擇排污，當(dāng)y=(c-m)/d時(shí)，企業(yè)對(duì)排污與否持無(wú)所謂態(tài)度。例6：水污染博弈舉例分析

對(duì)y分析，ay/ac>0，即政府的管制概率與企業(yè)的治理排污成本成正比，企業(yè)的治理污染費(fèi)用越高，企業(yè)越傾向排污，而政府也越傾向于管制；ay/am<0；8y/8d<0，政府的管制概率與企業(yè)對(duì)自身形象的重視度和政府對(duì)其排污的罰金數(shù)額成反比，即企業(yè)對(duì)自身形象越重視，政府的治污力度越大，企業(yè)越不傾向排污，政府的管制力度也會(huì)相應(yīng)降低。這種情況在大企業(yè)中較多，大排污者由于被查處排污所繳的稅金與罰款較多，加上自己資金相對(duì)雄厚，受公眾的關(guān)注較多，對(duì)自身的形象更重視，因此一般是污染在內(nèi)部進(jìn)行治理；而對(duì)于中小企業(yè)，由于資金有限加上稅金低，企業(yè)注重的只是眼前的發(fā)展，公眾對(duì)企業(yè)的輿論影響微乎其微，在這種情況下，小企業(yè)一般是把污染排放于環(huán)境，政府應(yīng)通過(guò)對(duì)其稅收集中治理。

例6：水污染博弈舉例分析政府的期望效用函數(shù)為：v(y，1-y)=y[x(-h+d+n)+(1-x)(-n)]+(1-y)[x(-h)+(1-x)*0]，對(duì)y求偏導(dǎo)，得av/ay=2xn+xd-h，令其偏導(dǎo)等于0，得x=h/2n+d；當(dāng)x>h/2n+d時(shí)，政府選擇監(jiān)管；當(dāng)x<h/2n+d時(shí)，政府不予監(jiān)管；當(dāng)x=h/2n+d時(shí)，政府對(duì)監(jiān)管與否持無(wú)所謂態(tài)度。

例6：水污染博弈舉例分析

對(duì)x分析，ax/Oh>0，即企業(yè)排污的概率與政府的管制費(fèi)用成正比，即政府對(duì)企業(yè)的管制成本越大，企業(yè)越傾向于排污；ax/an<0，ax/ad<0，企業(yè)排污的概率同排污對(duì)政府造成的信譽(yù)影響和政府在企業(yè)排污時(shí)的處罰金額成反比，即政府對(duì)自身形象越重視，對(duì)企業(yè)排污處罰力度增大時(shí)，企業(yè)越傾向于不排污。如果政府的上級(jí)部門(mén)對(duì)政府的績(jī)效考核的標(biāo)準(zhǔn)是綠色GDP，而不是簡(jiǎn)單的GDP的增長(zhǎng)率，那么政府會(huì)增加對(duì)排污企業(yè)的監(jiān)管力度；如果公眾特別是媒體能充分發(fā)揮監(jiān)督作用，在輿論壓力下政府也會(huì)增加監(jiān)管力度。

例6：水污染博弈舉例分析2.排污交易下的博弈分析

排污權(quán)交易是政府將環(huán)境污染物分割為一定標(biāo)準(zhǔn)單位，然后在市場(chǎng)上公開(kāi)標(biāo)價(jià)出售一定數(shù)量的污染權(quán)，即實(shí)行污染權(quán)交易，每一份污染權(quán)允許購(gòu)買(mǎi)者可排放一單位的污染物。同時(shí)，政府允許企業(yè)之間對(duì)污染權(quán)進(jìn)行有償交易。當(dāng)治理成本高于排污權(quán)市場(chǎng)價(jià)格時(shí)，排污者傾向于少治理而多購(gòu)買(mǎi)排污權(quán)；反之，排污者會(huì)多治理，余出更多的排污權(quán)在市場(chǎng)出售。這樣，既節(jié)約了治理成本，充分發(fā)揮水環(huán)境容量的效益，又可以促進(jìn)治污技術(shù)更新與發(fā)展。

排污權(quán)交易制度的排污權(quán)具有可交易性，使得排污權(quán)交易處于排污收費(fèi)制度。排污收費(fèi)是由政府確定排污價(jià)格，各排污企業(yè)只是接受價(jià)格，無(wú)權(quán)重新調(diào)整資源配置、改變資源價(jià)格；而排污交易是排污企業(yè)在市場(chǎng)激勵(lì)的作用下，通過(guò)價(jià)格變動(dòng)、重新調(diào)整產(chǎn)權(quán)、實(shí)現(xiàn)資源的最優(yōu)化配置。排污權(quán)交易市場(chǎng)供求關(guān)系與價(jià)格可調(diào)整由圖2所示。

例7：水污染博弈舉例分析2.5