同濟大學理論力學孫杰第七章剛體平面運動

第七章剛體的平面運動一、平面運動的基本概念平面運動——實例(在其自身平面內運動)其上各點到某固定平面的剛體運動時，距離始終保持不變。研究剛體平面運動的任務：

（1）確定剛體在任一瞬時的位置；

（2）剛體上各點在任一瞬時的速度實例剛體平面運動的判定

!

點的運動軌跡!

和加速度。

1、平面圖形S2、垂線A1

A2結論：剛體的平面運動可以簡化——平面運動方程

確定直線AB的運動二、平面運動的簡化三、平面運動方程截面(A為基點)平面運動平面圖形(直線AB)：始終在平面a2內：其始終作平動為平面圖形在其自身平面內的運動。四、平面運動的分解討論：1.2.定軸轉動平動yxSBAx’y’j–j

’=q轉動平動OSyx：與基點有關。：與基點無關。qB’j

’A’BAjv、

aw、

a基點平面運動=常數(shù)結論1：結論2：平面圖形S

的運動平動可以分解為隨基點的平動與基點的選擇有關轉動與基點的選擇無關和繞基點的轉動五、平面圖形內各點的速度1、基點法大?。悍较颍捍怪庇贏B

的連線AB(

合成法)相對速度B點相對于A點的運動(隨圖形繞A點作轉動)wvBA——速度合成公式基點平動速度投影定理

2、速度投影法垂直于AB

的連線將同一平面圖形上

任意兩點速度之間的關系速度平行四邊形速度合成公式向AB連線方向投影：——平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影彼此相等。圖示四連桿機構中，曲柄以角速度＝3rad/s繞O軸轉動。求在圖示位置時桿AB和桿O1B的角速度。例1解：以A為基點將上式投影到x軸和y軸求B點的速度B正負號（平面運動）位置（1）基點法（2）速度投影法用投影法不能求出uA＝w

OAwABwO1B90°―q

解析法幾何法BwO1B例2BC＝l解：（1）求AB的角速度以C為基點wBCj（三角塊BCD）lrR（2）求D點的速度以C為基點wBC180°―jP25

習題：2(基點法)（三角塊BCD）六、平面圖形的瞬時速度中心瞬時速度中心

——由

若則需速度矢量大小相等方向相反，如圖中P點。若以瞬心P為基點，平面圖形上瞬時速度為零的點

瞬時轉動中心速度瞬心則平面圖形上任意點B的速度：大?。悍较颍号cw保持一致瞬心法w?速度瞬心

?基點法問題：＝

uBP垂直于BP速度瞬心圓周運動vB=vBP瞬心法可知(瞬時概念)相對速度第一種情形已知平面圖形上兩點的速度AB速度瞬心的特點1、瞬時性

——不同的瞬時，有不同的速度瞬心；

2、唯一性

——某一瞬時只有一個速度瞬心；

3、瞬時轉動特性

——平面圖形在某一瞬時的運動幾種典型情況的瞬心確定90o90oP但這兩點的速度矢可以視為繞瞬心作瞬時轉動。矢量方位。方位互不平行。第三種情形平面圖形沿固定曲線作無滑第二種情形已知平面圖形上兩點的速度而且二矢量S90o90oABSAB90o90o(

純滾動

)PPP這兩點的速度矢不相互相平行，并且都垂直于兩點的連線。矢的大小與方向。等。動的滾動。第四種情形瞬時平動SAB(a)AB(b)P時的角速度。P平面圖形上的各點速度都相等。平面圖形的速度瞬心在無窮遠。90o90o方向?方向?——平面圖形在該瞬已知某瞬時兩點速度相互平行。但不垂直于兩點的連線，如圖(a)?；蛞阎獌牲c速度垂直于連線，且相等，如圖(b)。已知：AB＝60cmBG＝GD＝50cmOE＝10cm，OE＝10rad/s求：圖示位置時AB

例3解：P1為EG桿的瞬心P1P2wEGwBG＝

EGP2為GB桿的瞬心uE＝wEGEP1＝BGwAB例3討論題P25

習題：1P26習題：3、4瞬心法

機構如圖示，桿OA繞O作勻角速度轉動。

巳知：DC=6r，OA=ED=r。求：滑桿F的速度和桿ED的角速度。解:vAvCvBwED“CD”:vDCvCvDxBC作平動

vC=vF=vBAB作瞬時平動

vB=以C為基點x:wDCOACBDE30wF例4滑桿F平動桿OA轉動桿CD平面運動vF桿ED轉動桿CD平面運動桿ED轉動分析運動瞬心法?瞬心P桿AB平面運動vAvCcos60

=vDcos30vDcos60

=vDC–

vCcos30vC/CDcos30

=vD/CDcos60投影法=wDC

在瓦特行星傳動機構中，平衡桿O1A繞O1軸轉動，并借連桿AB帶動曲柄OB；而曲柄OB活動的裝置在O軸上，如圖所示。在O軸上裝有齒輪Ⅰ，齒輪Ⅱ的軸安裝在連桿AB的另一端。已知：r1＝r2＝30cm，O1A＝75cm，AB＝150cm；平衡桿的角速度O1＝6rad/s。求：當＝60和＝90時，曲柄OB和齒輪Ⅰ的角速度。例5DPwABwO1由題意分析得解：輪Ⅱ與固連的連桿AB一起作平面運動。由A、B兩點速度方向可找出其速度瞬心P。PDD為Ⅰ、Ⅱ輪嚙合點

又

wABwOBwOuA＝wO1

O1AwO1輪Ⅰ上輪Ⅱ上小結有三種計算方法同一平面圖形上

兩點的v

關系平面運動剛體上點的v

投影法瞬心法基點法常用正確找出圖形的瞬心能找到瞬心P方便投影在兩點連線方向w不出現(xiàn)有效對角線為合矢量P

不能確定時特點注意點使用場合比較已知平面圖形上

一點

A的七、平面圖形內各點的加速度兩邊求導：B點相對于A點的運動B點隨圖形繞A點轉動aB加速度a、圖形的角速度w與角加速度，確定平面圖形上任一點B的加速度a。——加速度合成公式

平面圖形內任一點的加速度，等于隨基點平動的加將當則有速度(

牽連加速度)與繞基點轉動的法向、切向加速度(

相對加速度)的矢量和。aB向AB的連線方向投影：

車輪沿直線作純滾動。已知輪的半徑為R，輪心的速度和加速度分別為

vO

和

aO。例6解：

以O為基點則輪的角加速度為由于P點為速度瞬心(純滾動)wa曲線軌道?t分析P點的加速度輪的角速度為求：圖示瞬時車輪上速度瞬心

P

的加速度sO

=

j

R加速度合成公式結論：速度為零的點——速度瞬心，加速度不為零。大小

方向

？？√√√√√√所以wa

圖示機構中，OA＝12cm，AB＝30cm，AB桿的B端以vB＝2m/s，aB＝1m/s2向左沿固定平面運動。例7解：由A、B兩點的速度方向可知wOAB桿作平面運動AB桿作瞬時平動。則有求圖示瞬時，AB桿的角速度和角加速度。以A為基點，求B點的加速度。大小方向在y

軸上投影結論：瞬時平動剛體的角速度為零，角加速度不為零。√√√√？√√√？√ya

A＝nv

AOA

2a

BA＝AB

a

AB

tABOa

A

t求a

O?

求a

A＝OA

a

O

ta

Oa

AB在x

軸上投影＝a

B–

aBAsin30

twOABrR圓輪在曲面做純滾動，OA桿做勻速轉動。巳知：w=

10rad/s,

OA

=

r

=

10cm，

AB

=

l

=

40cm，

R

=

20cm。求：圓輪、桿AB的角加速度。例8vAvB解:wB=vB/

rAB作瞬時平動vB=vAwAB=0=w

r=ww

BPOABrRjaAnaBnaBAnaBtaBAtwABaABaAn=w

2raBn=vB2/(

R

+

r)AB:aBAn=0y:aBAt=-

688.5cm/s2aB

=aBt/

raAB

=aBAt/

lvAvB以A為基點，求點B的加速度sinj=

0.25cosj=

0.968aBt

=-172cm/s2

aBw=常P27

習題：1P28習題：3、4aBtcos

j

-aBn

sin

j

=-

aAn

sin

j=-17.2rad/s2

aBn=aBAt

cos

j+aAn=-17.2rad/s2

圖示平面機構，半徑為R的輪子沿固定水平軌道作純滾動，桿OA以勻角速度繞O軸轉動。已知：w

=

2rad/s，OA=R

=15cm，BD

=

BC

=

45cm，AD

=

30cm，OD鉛垂。在圖示位置時，OA處于水平，BD