第七章求極值及解線性規(guī)劃問題命令與例題

第七章

求極值及解線性規(guī)劃問題命令與例題

7.1求函數(shù)的局部極值

Mathematica求函數(shù)局部極小值的一般形式為:

FindMinimum[目標(biāo)函數(shù),{自變量名1，初始值1},{自變量名2，初始值2},…]具體的擬合命令有:命令形式1：FindMinimum[f[x],{x,x0}]功能：以x0為初值,求一元函數(shù)f(x)在x0附近的局部極小值。命令形式2：FindMinimum[f[x],{x,{x0,x1}}]功能：以x0和x1為初值，求一元函數(shù)f(x)在它們附近的局部極小值。命令形式3：FindMinimum[f[x],{x,x0,xmin,xmax}]功能：以x0為初值,求一元函數(shù)f(x)在x0附近的局部極小值,如果中途計(jì)算超出自變量范圍[xmin,xmax],則終止計(jì)算。命令形式4：FindMinimum[f[x,y,...],{x,x0},{y,y0},…]功能：以點(diǎn)(x0,y0,…)為初值,求多元函數(shù)f(x,y,…)在(x0,y0,…)附近的局部極小值

例1:

求函數(shù)y=3x4-5x2+x-1,在[-2,2]的極大值、極小值和最大值、最小值。解:先畫出函數(shù)圖形，再確定求極值的初值和命令。Mathematica

命令為:In[1]:=Plot[3x^4-5x^2+x-1,{x,-2,2}從圖中看到函數(shù)在-1和1附近有兩個(gè)極小值點(diǎn)，在0附近有一個(gè)極大值點(diǎn)，用Mathematica

命令求之：In[2]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,1}]Out[2]={-2.19701,{x->0.858028}}In[3]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,-1}]Out[3]={-4.01997,{x->-0.959273}}In[4]:=FindMinimum[-

(3x^4-5x^2+x-1),{x,0}]Out[4]={0.949693,{x->0.101245}}In[5]:=3x^4-5x^2+x-1/.x->-2In[6]:=3x^4-5x^2+x-1/.x->2故所求函數(shù)在[-2,2]的x=2處取得最大值29,

在x=-0.959273處取得最小值為-4.01997

例2:

求函數(shù)z=e2x(x+y^2+2y)，在區(qū)間[-1,1][-2,1]內(nèi)的極值。解:

本題限制了求極值的范圍，為確定初值，借助等高線圖Mathematica命令為In[7]:=ContourPlot[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,-1,1},{y,-2,1},Contours->20,ContourShading->False,PlotPoints->30]從圖中可知函數(shù)在（0.45,-1.2）可能有極值，取x0=0.45，y0=-1.1,再用求極值命令I(lǐng)n[8]:=FindMinimum[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,0.45},{y,-1.1}]Out[8]={-1.35914,{x->0.5,y->-1.}}求得函數(shù)在x=0.5,，y=-1取得極小值-1.35914。例3:

求函數(shù)f(x,y,z)=x4+siny-cosz,在點(diǎn)（0，5，4）附近的極小值。解:In[9]:=FindMinimum[x^4+Sin[y]Cos[z],{x,0},{y,5},{z,4}]Out[9]={-2.,{x->0.,y->4.71239,z->6.28319}}故函數(shù)在（0,4.71239,6.28319）取得極小值-2。7.2解線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，應(yīng)用很廣。線性規(guī)劃問題可以描述為求一組非負(fù)變量，這些非負(fù)變量在滿足一定線性約束的條件下，使一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)取得極小（大）值的問題，線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為：目標(biāo)函數(shù)：minS=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+….+a1nxn=b1a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2約束條件：……….am1x1+am2x2+….+a

mnxn=bmx1,x2,…,xn

0這里x1,x2,…,xn

是變量，ci,aij

,bi都是已知常數(shù)，且bi

0，約束條件常用符號(hào):s.t.表示。

線性規(guī)劃的一般形式為：目標(biāo)函數(shù)：minS=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+….+a1nxn

b1a21x1+a22x2+….+a2nxn

b2約束條件：……….am1x1+am2x2+….+a

mnxn

bm

式中符號(hào)“”可以是關(guān)系符號(hào)：>,<,=,,

中的任意一個(gè)。Mathematica解一般線性規(guī)劃問題的命令形式有:具體的擬合命令有:命令形式1：ConstrainedMin[f,{inequalities},{x1,x2,…}]功能：求在給定約束條件inequalities下，線性目標(biāo)函數(shù)f極小值和對(duì)應(yīng)的極小點(diǎn)。命令形式2：ConstrainedMax[f,{inequalities},{x1,x2,…}]功能：求在給定約束條件inequalities下，線性目標(biāo)函數(shù)f極大值和對(duì)應(yīng)的極大點(diǎn)。注意：

命令1結(jié)果形式為：{極小值,{自變量1->極小值點(diǎn)1，自變量2->極小值點(diǎn)2，…}}。命令2結(jié)果形式為：{極大值,{自變量1->極大值點(diǎn)1，自變量2->極大值點(diǎn)2，…}}。上面命令中的f為線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù),它必須是變量x1,x2,…的線性函數(shù)。上面命令中的inequalities為線性規(guī)劃中的約束不等式組,每個(gè)關(guān)系式必須用逗號(hào)分隔。上面命令中的x1,x2,…線性規(guī)劃中的自變量名稱,它們必須取非負(fù)值且可以用其它符號(hào)名。例4:

求線性規(guī)劃問題

MaxS=17x1-20x2+18x3x1-x2+x3<10s.t.x1+x3<5x1<5解:Mathematica

命令為:In[10]:=ConstrainedMax[17x1-20x2+18x3,{x1-x2+x3<10,x1<5,x1+x3>20},{x1,x2,x3}]Out[10]={160,{x1->0,x2->10,x3->20}}計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極大值為160，對(duì)應(yīng)的極大值點(diǎn)為（0，10，20）。例5:

求線性規(guī)劃問題

Minm=13x-y+5zx+y>=7,

s.t.y+z<10,x>2,y>0,z>0解:Mathematica

命令為:In[11]:=ConstrainedMin[13x-y+5z,{x+y>=7,y+z<10,x>2,y>0,z>0},{x,y,z}]Out[11]={16,{x->2,y->10,z->0}}計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極小值為16，對(duì)應(yīng)的極小值點(diǎn)為（0，10，0）。例6:

現(xiàn)有三種食品A1,A2,A3,各含有兩種營(yíng)養(yǎng)成分B1,B2,每單位食物Ai含有Bj成分的數(shù)量及每種食物的單價(jià)如下表所示:問應(yīng)如何選購(gòu)食物,才能既滿足對(duì)營(yíng)養(yǎng)成分B1,B2的需要,又使費(fèi)用最少？解:設(shè)購(gòu)買食品A1,A2,A3的數(shù)量分別為x1,x2,x3,花費(fèi)的費(fèi)用為S,則本問題可以用以下的數(shù)學(xué)模型來描述：

MinS=4x1+2x2+3x32x1+4x3

5

s.t.2x1+3x2+x3

4x1,x2,x3

0種類成分A1A2A3營(yíng)養(yǎng)成分需要量

B12045

B12314單價(jià)423用Mathematica

命令為:In[12]:=ConstrainedMax[4x1+2x2+3x3,{2x1+4x3>=5,2x1+3x2+x3>=4,x1>=0,x2>=0,x3>=0},{x1,x2,x3}]Out[12]={67/12,{x1->0,x2->11/12,x3->5/4}}計(jì)算結(jié)果顯示購(gòu)買11/12數(shù)量的食品A2,5/4數(shù)量的食品A3可以滿足本問題的要求,此時(shí)的花費(fèi)的費(fèi)用為67/12。--------------------------------------------------------------------------------------------------------例7:

求線性規(guī)劃問題

Minf=-x-3y-3z,

3x+y+2z+v=5

s.t.x+z+2v+w=2x+2z+u+2v=6x,y,z,u,v,w>0解:Mathematica

命令為:In[13]:=ConstrainedMin[-x-3y-3z,{3x+y+2z+v==5,x+z+2v+w==2,x+2z+u+2v==6},{x,y,z,u,v,w}]Out[13]={-15,{x->0,y->5,z->0,u->6,