機(jī)械測(cè)試技術(shù)課件2

測(cè)試技術(shù)(1)四、周期信號(hào)的頻域描述

在有限區(qū)間上，一個(gè)周期信號(hào)x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件*時(shí)可展開成傅里葉級(jí)數(shù)：

式中，注意：an是n或nω0的偶函數(shù)，a-n=an；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有b-n=-bn。

(2.12)(2.13)(2.14) 信號(hào)x（t）的另一種形式的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式：

式中，

An稱信號(hào)頻率成分的幅值，φn稱初相角。注意：An是n或nω0的偶函數(shù)，A-n=An；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有φ-n=-φn。

比較式（2.12）和式（2.15），可見：（2.15）n＝1,2,……（2.16）

n＝1,2,…… （2.17）

小結(jié)與討論式中第一項(xiàng)a0/2為周期信號(hào)中的常值或直流分量

；從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號(hào)的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波

；將信號(hào)的角頻率ω0作為橫坐標(biāo)，可分別畫出信號(hào)幅值A(chǔ)n和相角φn隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號(hào)的幅頻譜和相頻譜圖。

由于n為整數(shù)，各頻率分量?jī)H在nω0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角φn的離散譜線。

周期信號(hào)的頻譜是離散的!

例1 求圖2.11所示的周期方波信號(hào)x（t）的傅里葉級(jí)數(shù)。 解：

信號(hào)x（t）在它的一個(gè)周期中的表達(dá)式為：

根據(jù)式（2.13）和（2.14）有：圖2.11周期方波信號(hào)

注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosnω0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而一個(gè)奇函數(shù)在上、下限對(duì)稱區(qū)間上的積分值等于零。

根據(jù)式（2.12），便可得圖2.11所示周期方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：

圖2.12周期方波信號(hào)的頻譜圖奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)計(jì)算特點(diǎn)

x(t)為奇函數(shù)

由于x(-t)=-x(t)，因此， 由式（2.16）進(jìn)而有（2.18）（2.19）x(t)為偶函數(shù)由于x(-t)=x(t)，因而有進(jìn)而有圖2.14偶函數(shù)例，圖中函數(shù)為對(duì)稱于縱軸的三角波（2.20）（2.21）傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)成指數(shù)函數(shù)的形式

由歐拉公式可知

： 代入式（2.12）有：

令 則 或（2.22）（2.23）（2.24）（2.25） 求傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)

Cn

Cn是離散頻率nω0的函數(shù)，稱為周期函數(shù)x(t)的離散頻譜。Cn一般為復(fù)數(shù)，故可寫為 且有（2.26）（2.27）（2.28）（2.29）離散頻譜的兩個(gè)重要性質(zhì)每個(gè)實(shí)周期函數(shù)的幅值譜是n（或nω0）的偶函數(shù)

。當(dāng)周期信號(hào)有時(shí)間移位τ時(shí)，其振幅譜不變，相位譜發(fā)生±nω0τ弧度的變化。

周期信號(hào)的頻譜的特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜是離散譜；周期信號(hào)的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處；周期信號(hào)的幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。解：根據(jù)式（2.26）有

例2求周期矩形脈沖的頻譜，設(shè)周期矩形脈沖的周期為T，脈沖寬度為τ，如圖2.16所示。圖2.16周期矩形脈沖

由于ω0=2π/T，代入上式得 定義

則式（2.36）變?yōu)?根據(jù)式（2.25）可得到周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為（2.36）（2.37）（2.38）（2.39）圖2.17周期矩形脈沖的頻譜（T=4τ）

通常將0≤ω≤2π/T這段頻率范圍稱周期矩形脈沖信號(hào)的帶寬，用符號(hào)ΔC表示：

我們來考慮當(dāng)周期矩形脈沖信號(hào)的周期和脈寬改變時(shí)它們的頻譜變化的情形。

(2.40)圖2.18信號(hào)脈沖寬度與頻譜的關(guān)系

信號(hào)的脈沖寬度相同而周期不同時(shí)，其頻譜變化情形：圖2.19信號(hào)周期與頻譜的關(guān)系

五、周期信號(hào)的功率

一個(gè)周期信號(hào)x（t）的功率為：

將式（2.15）代入式（2.41），有

根據(jù)正交函數(shù)的性質(zhì)，式（2.41）展開后的結(jié)果為：

上式等號(hào)右端的第一項(xiàng)表示信號(hào)x（t）的直流功率，而第二項(xiàng)則為信號(hào)的各次諧波的功率之和。（2.41）（2.42）（2.43）

又因?yàn)?，故式?.43）又可寫為式(2.43)和式(2.44)稱巴塞伐爾（Parseval）定理。它表明：周期信號(hào)在時(shí)域中的信號(hào)功率等于信號(hào)在頻域中的功率。定義周期信號(hào)x（t）的功率譜為 其中Pn表示信號(hào)第n個(gè)功率譜點(diǎn)。功率譜的性質(zhì):Pn是非負(fù)的；Pn是n的偶函數(shù)；Pn不隨時(shí)移τ而改變。（2.44）（2.45）六、非周期信號(hào)的頻域描述

（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜（二）能量譜（三）傅里葉變換的性質(zhì)（四）功率信號(hào)的傅里葉變換（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜

設(shè)x（t）為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個(gè)周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級(jí)數(shù)的形式： 式中

將式（2.50）代入式（2.49）得

當(dāng)T→∞時(shí)，區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-∞,∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T變?yōu)闊o窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω。(2.49)(2.50)(2.51)

由式（2.51）得到 將式（2.52）中括號(hào)中的積分記為： 它是變量ω的函數(shù)。則（2.52）式可寫為： 將X(ω)稱為x（t）的傅里葉變換，而將x(t)稱為X(ω)的逆傅里葉變換，記為：

(2.52)(2.53)(2.54)(2.55)

非周期函數(shù)x（t）存在有傅里葉變換的充分條件是x（t）在區(qū)間(-∞,∞)上絕對(duì)可積，即 但上述條件并非必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。 若將上述變換公式中的角頻率ω用頻率f來替代，則由于ω=2πf，式（2.53）和（2.54）分別變?yōu)?/p>

(2.56)(2.57)小結(jié)：從式（2.57）可知，一個(gè)非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)df的是諧波ej2πf的系數(shù)，決定著信號(hào)的振幅和相位。X(f)或X(ω)為x(t)的連續(xù)頻譜。由于X(f)一般為實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為 將上式中的(或，當(dāng)變量為ω時(shí)）稱非周期信號(hào)x(t)的幅值譜，φ(f)（或φ(ω)）稱x(t)的相位譜。(2.59) 例4 求圖示單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜。 解：由式（2.56）有 于是圖2.21單邊指數(shù)函數(shù)

e-atξ(t)(a>0)圖2.22單邊指數(shù)函數(shù)e-atξ(t)(a>0)的頻譜 例5圖2.23所示為一矩形脈沖（又稱窗函數(shù)或門函數(shù)），用符號(hào)gT(t)表示： 求該函數(shù)的頻譜。 解：

圖2.23矩形脈沖函數(shù)(2.59)

其幅頻譜和相頻譜分別為： 可以看到，窗函數(shù)gT(t)的頻譜GT(ω)是一個(gè)正或負(fù)的實(shí)數(shù)，正、負(fù)符號(hào)的變化相當(dāng)于在相位上改變一個(gè)π弧度。

(2.60)(2.61)(2.62)圖2.24矩形脈沖函數(shù)的頻譜GT(ω)矩形脈沖函數(shù)與sinc函數(shù)之間是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，若用rect（t）表示矩形脈沖函數(shù)則有：（二）能量譜

一個(gè)非周期函數(shù)x（t）的能量定義為 將式（2.54）代入上式可得 對(duì)于實(shí)信號(hào)x(t)，有，式(2.64)變?yōu)?2.63)(2.64)

由此最后得 式（2.64）亦稱巴塞伐爾方程或能量等式。它表示，一個(gè)非周期信號(hào)x(t)在時(shí)域中的能量可由它在頻域中連續(xù)頻譜的能量來表示。 式（2.64）亦可寫成 其中，,稱S(ω)為x(t)的能量譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱能量譜函數(shù)。(2.65)(2.66)圖2.27矩形脈沖函數(shù)的能量譜曲線及能量表示(三)傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱性（亦稱對(duì)偶性）線性尺度變換性奇偶性時(shí)移性頻移性（亦稱調(diào)制性）卷積時(shí)域微分和積分頻域微分和積分對(duì)稱性（亦稱對(duì)偶性） 若有則有線性 如果有則(2.67)(2.68)尺度變換性

如果有則對(duì)于實(shí)常數(shù)a，有若信號(hào)x（t）在時(shí)間軸上被壓縮至原信號(hào)的1/a，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬a倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號(hào)幅值的1/|a|。信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有的頻帶寬成反比。(2.69)圖2.29窗函數(shù)的尺度變換（a=3）奇偶性x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù)x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)），X(ω)為ω的實(shí)、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)），X(ω)為ω的虛、奇函數(shù)；x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù)

(2.73)(2.74)5.時(shí)移性

如果有 則 例8求圖2.30所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜。 解：該函數(shù)的表達(dá)式可寫為

可視為一個(gè)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時(shí)移至t0點(diǎn)位置所形成。則

幅頻譜和相頻譜分別為(2.75)圖2.30具有時(shí)移t0的矩形脈沖圖2.31具有時(shí)移的矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形6.頻移性（亦稱調(diào)制性） 如果有則ω0 ——常數(shù)。(2.76)圖2.32x(t)cosω0t的頻譜7.卷積時(shí)域卷積

如果有

則 式中x(t)*h(t)表示x(t)與h(t)的卷積。頻域卷積 如果有

則(2.79)(2.81)證明：（時(shí)域卷積）根據(jù)卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時(shí)移性知，代入上式得(2.80)圖2.34卷積的