湖南大學(xué)數(shù)值分析課件 緒論

數(shù)值計算方法主講孟純軍湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)院第1章緒論隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計算愈來愈顯示出其重要性?？茖W(xué)計算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計，高科技研究等都離不開科學(xué)計算。因此，作為科學(xué)計算的數(shù)學(xué)工具數(shù)值計算方法已成為各高等院校數(shù)學(xué)、物理和計算機(jī)專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是工科碩士研究生的學(xué)位必修課。數(shù)值分析或數(shù)值計算方法主要是研究如何運用計算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解的理論和方法.對那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時有十分有效.計算機(jī)解決科學(xué)計算問題時經(jīng)歷的幾個過程實際問題——〉數(shù)學(xué)模型——〉數(shù)值計算方法——〉程序設(shè)計——〉上機(jī)運行求出解實際問題——〉數(shù)學(xué)模型：由實際問題應(yīng)用科學(xué)知識和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計算方法——〉程序設(shè)計——〉計算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計算數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計算方法重點研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計算時間的最?。ㄒ簿褪怯嬎阗M用）,占用內(nèi)存空間少.有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過實際計算，對比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點，又有應(yīng)用的廣泛性與實驗的高度技術(shù)性特點，是一門與使用計算機(jī)密切結(jié)合的實用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。1.1數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法例示例1..1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個根。解例1..1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個根。解1.2誤差概念和有效數(shù)在任何科學(xué)計算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.我們從下面這個例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.

例:試求擺長為L的單擺運動周期.誤差的分類模型誤差從實際問題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.觀測誤差一般數(shù)學(xué)問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。截斷誤差在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。舍入誤差在計算機(jī)上運算時受機(jī)器字長的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。誤差和有效數(shù)字誤差估計由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的，但有可能給出估計。誤差界就是用于誤差估計的。在實際計算絕對誤差和相對誤差時，由于準(zhǔn)確數(shù)x未知，因此常用表示有效數(shù)字在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)(浮點數(shù)）是度量近似數(shù)精度的常用三種。實際計算時最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時也就隱含了絕對誤差和相對誤差界。誤差估計引入微分符號兩個數(shù)相加（減），和的誤差等于兩個數(shù)的誤差之和（減）。（誤差穩(wěn)定）兩個數(shù)相乘（除），積的相對誤差等于兩個數(shù)的相對誤差之和（差）。（相對誤差穩(wěn)定）兩個數(shù)相乘，積的誤差等于第一個數(shù)乘以第二個數(shù)的相對誤差加上第二個數(shù)乘以第一個數(shù)的相對誤差。（誤差什么情況下會嚴(yán)重擴(kuò)大？）兩個數(shù)相除，商的誤差等于分母乘以分子的誤差減去分子乘以分母的誤差，然后除以分母的平方。（誤差什么情況下會嚴(yán)重擴(kuò)大？）兩個數(shù)相乘，如果有大因子，積的誤差可能嚴(yán)重擴(kuò)大兩個數(shù)相除，如果除數(shù)很小，商的誤差可能會嚴(yán)重擴(kuò)大兩個相近的異號數(shù)相加，和的相對誤差可能嚴(yán)重擴(kuò)大兩個相近的同號數(shù)相減，差的相對誤差可能嚴(yán)重擴(kuò)大計算函數(shù)值產(chǎn)生的誤差例題計算表明：

x*=99.999;y=x*^2+x*-1010；y=-0.2010x*已經(jīng)有5位有效數(shù)字，但y的誤差比較大。誤差控制的一般原則簡化計算步驟，減少運算次數(shù)避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時,防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.選擇穩(wěn)定的數(shù)值方法，控制誤差的傳播.1.3算法的優(yōu)化算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小,收斂斂速要快。即運算量小,機(jī)器用時少.從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.從實現(xiàn)算法的觀點看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實現(xiàn).例題穩(wěn)定算法與病態(tài)問題nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152.04387810070.02123782016-10.1568900080.0188108971750.84327600采用下面的遞推格式：

I=0;>>fori=20:-1:1I=-0.2*I+1/(5*i);end>>e=abs(I-log(1.2))e=2.7756e-017>>II=0.1823誤差的積累能夠控制的算法，稱為穩(wěn)定的算法。上面例題中的第